Titanium

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Mensagempor jap em Domingo Dez 10, 2006 4:16 pm

Bom,

Isto é que foi uma actividade intensa ontem à noite (sorry, estive off estes dois dias sem acesso a net :cry: )

Voltando ao caso do planeta Titanium com um só buraco esférico - já chegaram à conclusão que a aceleração é constante no interior do buraco esférico ao longo da linha OA, parabéns! :D

Mas reparem, ainda é mais interessante: a aceleração é mesmo constante em todo o buraco esférico e não só ao longo da linha OA da figura :shock: . Ora verifiquem lá que é mesmo assim...

E já agora, vamos lá a terminar o problema e a calcular o tempo de queda e a velocidade com que o Guyla se estatela no ponto O. :wink:
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Mensagempor pmp em Domingo Dez 10, 2006 5:19 pm

Portanto, agora é só colocar os valores (\rho_{titanium}=4510~kg/m^3) :

t=\sqrt{\frac{3}{G\rho\pi}}=1781,7~s

Cerca de meia-hora de viagem!

v=\sqrt{\frac{4\pi G \rho R^2}{3}}=623~m/s

Ele vai espatifar-se! :D

A aceleração é pequenina, apenas 0,350~m/s^2.
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Mensagempor jap em Domingo Dez 10, 2006 8:43 pm

Pedro,

Obrigado pelos cálculos que fecham o 1º episódio da saga "Titanium"! :D

Em breve, o 2º episódio... :wink:
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Mensagempor jap em Domingo Dez 10, 2006 10:36 pm

Ainda antes de passarmos ao 2º episódio, gostava que reparassem no seguinte teorema, que é uma generalização dos vossos resultados:

O campo no interior de um buraco esférico cavado no interior de um planeta homogéneo é constante e igual ao campo que existia no centro do buraco, antes de ele ser escavado.

O buraco não precisa sequer de ter raio = R/2 como no enunciado! :shock: Devido à sua generalidade, e a ser tão contraintuitivo, acho este teorema muito bonito... :)

A demonstração do teorema acima é muito simples. Reparem na figura (manhosa, sorry!):

Imagem

Seja \vec co vector que aponta do centro do buraco para o centro do planeta; \vec ro vector que aponta do centro do buraco para um ponto genérico P no interior do buraco; então \vec r -\vec c é, por construção, o vector que aponta do centro do planeta para o ponto P.

Seja\vec go campo gravitacional no ponto P do planeta sem buraco; \vec g_{\rm pb}o campo nesse ponto, depois de escavado o buraco e \vec g_{\rm b} o campo causado pela massa (positiva :wink: ) que preenchia o buraco, no ponto P.

Então, como o campo gravítico de um conjunto de massas é a soma vectorial dos campos de cada uma das massas, temos que:

\vec g = \vec g_{\rm pb} + \vec g_{\rm b}


Ora

\vec g = \kappa (\vec r - \vec c), onde \kappa = -\frac{4\pi G\rho}{3}

e

\vec g_{\rm b} = \kappa \vec r

pelo que

\vec g_{\rm pb} = \kappa (\vec r - \vec c) - \kappa \vec r   = -\kappa \vec c

ou seja,

\vec g_{\rm pb} = \frac{4\pi G\rho}{3} \vec c,


como queríamos demonstrar (QED). :wink:
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Mensagempor Real em Domingo Dez 10, 2006 11:14 pm

LOL! :lol:
Extraordinariamente simples! Lindo! :D
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Mensagempor Zé Teixeira em Segunda Dez 11, 2006 12:59 am

jap Escreveu:Imagem

Seja \vec co vector que aponta do centro do buraco para o centro do planeta; \vec ro vector que aponta do centro do buraco para um ponto genérico P no interior do buraco; então \vec r +\vec c é, por construção, o vector que aponta do centro do planeta para o ponto P.


O vector que aponta do centro do planeta para o ponto P é \vec r -\vec c, se não estou em erro :P
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Mensagempor jap em Segunda Dez 11, 2006 1:19 am

Zé Teixeira Escreveu:
jap Escreveu:
O vector que aponta do centro do planeta para o ponto P é \vec r -\vec c, se não estou em erro :P


Sim, claro, obrigado Zé, já corrigi o desenho e as equações para estarem conformes. O erro resultou de ter resolvido mudar a notação`do meu rascunho em papel para postar no fórum e deu asneira :? ; no meu rascunho em papel, chamei "r" ao vector que no desenho era "r+c" e "r+c" ao "r" e, nesse caso, o sinal + estava certo. Só que ao mudar o nome aos vectores o sinal + tinha de passar a - , obviamente... :cry:
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Mensagempor jap em Segunda Dez 11, 2006 1:33 am

Os monstros comilões do planeta Titanium - 2

A população dos Gyula, os monstros vorazes do planeta Titanium, continuou a escavar o planeta que, devido a esta actividades destrutiva, ficou reduzido a um hemisfério :shock: :

Imagem


Qual é a aceleração da gravidade no centro da superfície exterior plana deste (semi) planeta? :roll:

Alguma sugestão de como "atacar" este problema?
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Mensagempor Andre França em Segunda Dez 11, 2006 5:58 pm

Fiz a usar o método "cebola", dividindo o planeta em cascas, e cheguei a um resultado que difere numa razão de 3sqrt(2)/4 da aceleração à superfície de um planeta com a mesma densidade e cheio, mas provavelmente cometi algum erro de cálculo a meio :?
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Mensagempor jap em Segunda Dez 11, 2006 6:20 pm

Andre França Escreveu:Fiz a usar o método "cebola", dividindo o planeta em cascas, e cheguei a um resultado que difere numa razão de 3sqrt(2)/4 da aceleração à superfície de um planeta com a mesma densidade e cheio, mas provavelmente cometi algum erro de cálculo a meio :?


É uma boa ideia usar o método "cebola" :D mas o resultado que encontraste não é o correcto... :cry: Erros de contas? :roll:
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Mensagempor Andre França em Quinta Dez 14, 2006 1:55 am

jap Escreveu:
Andre França Escreveu:Fiz a usar o método "cebola", dividindo o planeta em cascas, e cheguei a um resultado que difere numa razão de 3sqrt(2)/4 da aceleração à superfície de um planeta com a mesma densidade e cheio, mas provavelmente cometi algum erro de cálculo a meio :?


É uma boa ideia usar o método "cebola" :D mas o resultado que encontraste não é o correcto... :cry: Erros de contas? :roll:


Não sei se foi erro de contas ou mesmo erro no raciocínio. O que fiz foi ver qual a força exercida por cada uma das cascas (e verificar que é a mesma, para uma distribuição homogénea de massa), integrar em R (que no caso se torna uma multiplicação) e multiplicar por um factor de sqrt(2)/2 que corresponde às componentes em y (onde provavelmente está o meu erro).

Depois disso, experimentamos refazer as contas através de outros métodos, e o resultado sempre envolvia qualquer coisa dependente de ln(R) no fim... Provavelmente haverá algum método mais belo e trivial, mas ainda não chegamos lá :P
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Mensagempor Zé Teixeira em Quinta Dez 14, 2006 4:15 am

Andre França Escreveu:Depois disso, experimentamos refazer as contas através de outros métodos, e o resultado sempre envolvia qualquer coisa dependente de ln(R) no fim...


Ou isso, ou dividir por zero :P
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Mensagempor jap em Quinta Dez 14, 2006 11:16 am

Andre França Escreveu:(...)
Não sei se foi erro de contas ou mesmo erro no raciocínio. O que fiz foi ver qual a força exercida por cada uma das cascas (e verificar que é a mesma, para uma distribuição homogénea de massa), integrar em R (que no caso se torna uma multiplicação) e multiplicar por um factor de \sqrt(2)/2 que corresponde às componentes em y (onde provavelmente está o meu erro).
(...)

Verifica o factor \sqrt(2)/2 ... :roll:
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Mensagempor Joao Guerreiro em Quinta Dez 14, 2006 3:32 pm

A aceleração deu-me cerca de 5 m/s^2.

É este o resultado certo?
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Mensagempor jap em Quinta Dez 14, 2006 8:16 pm

Joao Guerreiro Escreveu:A aceleração deu-me cerca de 5 m/s.

É este o resultado certo?



João,


A aceleração não pode ser 5 m/s (não tem as unidades correctas :wink: ).

O valor é 3/4 da aceleração à superfície do planeta inteiro...isto é, antes dos Gyula lhe terem comido metade...ou seja, 0,5\rm~ms^{-2} (o planeta é pequenito...) :)
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