Primitivas e Integrais

por **Zé Teixeira** em Quinta Nov 30, 2006 11:41 pm

Primitivas

Comecemos pelo início: o que é uma primitiva?

Ora, como alunos do 12º ano, já todos vocês estão certamente familiarizados com o conceito de derivada. A primitiva é simplesmente o recíproco da derivada, isto é:

Seja f(x)

uma função qualquer. Chama-se primitiva de f(x)

, e denota-se F(x)

, a uma função tal que $F^\prime(x) = f(x)$ .

Ora, como é sabido, para as derivadas há resultados que estabelecem a existência, unicidade e regras de cálculo das derivadas das funções diferenciáveis. Passar-se-á o mesmo para as primitivas?

Existência:

Não o vou provar aqui, mas não podemos garantir a existência da primitiva de uma função; cada caso é um caso.

Unicidade:

Se a primitiva de uma função f(x)

existir, será ela única, isto é, verificar-se-á que se $F^\prime (x) = f(x)$ e $G^\prime (x) = f(x)$ , então F(x) = G(x)

?

A resposta é não, a primitiva de uma função não é única. Vejamos porquê:

Seja F(x)

uma função qualquer, e seja G(x) = F(x) + C

, sendo

uma constante arbitrária. Nestas condições, é evidente que $G^\prime (x) = F^\prime (x) + C^\prime = F^\prime (x) + 0 = F^\prime (x)$ . Portanto, se F(x)

é uma primitiva de f(x)

, tem-se $G^\prime (x) = F^\prime (x) = f(x)$ , logo, por definição, G(x)

é primitiva de f(x)

.

Ou seja, a primitiva de uma função não é única; dada uma função F(x)

primitiva de f(x)

, qualquer função G(x)

obtida por soma de uma constante a F(x)

é também primitiva de f(x)

; isto é, a primitiva de uma função é única a menos de uma constante.

Cálculo:

Bem, não há garantia de existência nem de unicidade; haverá, pelo menos, regras gerais para o cálculo das primitivas, no caso de existirem?

Infelizmente, não, não há

Há, no entanto, métodos úteis em certos casos particulares, como a primitivação por partes e a primitivação por substituição. Não vou descrever estes métodos porque ainda não os conheço em pormenor, se algum veterano mais experiente nisto que eu quiser explicá-los, agradecia.

O que se costuma fazer, quando as funções a primitivar são relativamente simples, é aquilo a que se chama primitivação imediata (em português corrente, primitivação a olhómetro), que consiste essencialmente em olhar para a função e intuir qual será a sua primitiva. Naturalmente, este método depende da experiência e habilidade da pessoa.

E é essencialmente isto que tenho a dizer sobre primitivação. Explicarei a integração no próximo post.

por **Zé Teixeira** em Sexta Dez 01, 2006 1:43 am

Integrais

Agora começa a parte gira

Suponhamos que eu tenho uma função contínua num intervalo [a,b]

e que quero achar a área compreendida entre as rectas x = a

,

,

e o gráfico da função, isto é, que quero achar a área entre o gráfico da função e o eixo das abcissas no intervalo [a,b]

:

Posso começar por subdividir o intervalo [a,b]

em intervalos mais pequenos, escolher o valor médio da função em cada um desses intervalos, e construir pequenos rectângulos com a largura do subintervalo considerado e a altura igual ao valor médio da função nesse intervalo. Calcula-se a área de cada rectângulo, soma-se e tem-se uma área aproximada da real:

Imagem

Ora, quanto mais pequenos forem os subintervalos, mais se aproxima a área calculada da área real. No limite quando a largura dos subintervalos tende para zero, a área calculada tende para a área real.

A área por baixo da curva de uma função f(x)

no intervalo [a,b]

define-se, então, como o integral de

a

de

, e escreve-se $\int _{a}^{b} f(x) dx$ . Dito de um modo pouco preciso mas bastante intuitivo, o integral de

a

de

é simplesmente a soma das áreas de rectângulos de largura infinitesimal (uma quantidade infinita de rectângulos destes, na verdade), ou seja, é a operação explicada acima de subdivisão e cálculo de áreas de rectângulos levada ao limite quando a largura dos intervalos (e portanto dos rectângulos) tende para zero.

Até agora tudo bem, mas o que fizemos foi apenas dar nomes às coisas; em vez de designar a área por

, passámos a chamar-lhe $\int _{a}^{b} f(x) dx$ .

MAS!, e aqui é que está a razão da utilidade dos integrais, prova-se que:

$\int _{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$

em que F(b)

é a primitiva de

no ponto

e

é a primitiva de

no ponto

.

O cálculo de uma área fica assim reduzido ao cálculo de uma primitiva.

EDIT: Como disse muito bem o Real, o integral definido de f(x)

de

a

é único. A demonstração é imediata, visto que, pelo que dissemos acima, no post sobre primitivas, a primitiva de uma função é única a menos de uma constante. Portanto, se tivermos duas primitivas de f(x)

, denotadas F(x)

e

, verifica-se a igualdade

G(b) - G(a) = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)

e portanto o integral definido não depende de C, logo é único. Normalmente, no cálculo de um integral, primitiva-se a função e faz-se C = 0

, para simplificar as contas.

Note-se, no entanto, que os integrais não servem só para calcular áreas. Em qualquer situação em que se queira somar uma quantidade infinita de parcelas infinitesimais, a ferramenta a usar é o integral. Vou dar um exemplo (que os veteranos vão com certeza reconhecer das aulas de electromagnetismo

):

Imaginemos que temos um fio feito de um material condutor eléctrico com comprimento

e espessura desprezável. Suponhamos que o fio está electricamente carregado (atenção, a carga no fio está parada; não há corrente, há carga eléctrica, apenas) com uma carga total

e que a densidade de carga é, portanto, $\frac{Q}{l} = \lambda$ . Consideremos agora um ponto

externo ao fio. Queremos calcular o campo eléctrico

criado no ponto

pela carga distribuída no fio. Ora, conhecemos a lei de Coulomb para o campo eléctrico, mas temos um problema: a lei só nos dá o campo eléctrico criado num ponto por uma carga pontual, e neste caso temos uma distribuição contínua de carga ao longo do fio. Como resolvemos este problema?

Comecemos por fazer uma operação semelhante à que fizemos quando quisemos achar a área por baixo do gráfico: dividamos o fio em pequenos segmentos iguais. Chamemos $\delta x$ ao comprimento de um desses segmentos. É evidente que, neste caso, a carga distribuída nesse pequeno segmento de fio é $\lambda \delta x$ . Se o segmento de fio tivesse comprimento zero (ou infinitesimal...), teríamos uma carga pontual com este valor, e portanto poderíamos usar a lei de Coulomb para calcular o campo criado por este segmento de fio no ponto

e, pelo princípio da sobreposição, calcular os campos criados pelos outros segmentos e somar os campos todos, obtendo assim o campo resultante.

Mas temos um problema, o segmento de fio não é infinitesimal... ainda. Se passarmos ao limite em que $\delta x\to 0$ , podemos usar a lei de Coulomb. Temos então um problema diferente: agora temos uma infinidade de segmentos de fio, não os podemos somar todos... ou podemos?

Basta usar a nossa nova ferramenta, o integral. Queremos somar uma quantidade infinita de segmentos infinitesimais, portanto integramos sobre o fio, de um extremo a outro, e voilà.

Vejamos como. Trabalhemos a duas dimensões, num plano (o fio e o ponto em que queremos achar o campo eléctrico definem um plano, portanto não precisamos de três coordenadas), e esteja uma extremidade do fio num ponto de abcissa

e a outra num ponto de abcissa

(sendo que o fio é paralelo ao eixo das abcissas, portanto a ordenada é igual nas duas extremidades). Seja dE_x

a porção infinitesimal de campo eléctrico na direcção do eixo das abcissas criado no ponto

por um segmento de fio, e analogamente para dE_y

. Como o campo total é a soma de todas as porções infinitesimais de campo (um infinidade delas!), temos que $E_x = \int _{a}^{b} dE_x$ e $E_y = \int _{a}^{b} dE_y$ (porque dE_x

e

são funções de

, logo integramos ao longo de

).

Basta agora acharmos uma expressão que nos dê a porção de campo eléctrico em função da posição

do segmento de fio considerado e integrar (na prática acha-se a porção de campo em função do ângulo entre a distância do ponto

ao fio e o segmento infinitesimal considerado e integra-se para o ângulo, é mais fácil assim). Não vou fazer isto aqui, porque envolve trigonometria e etc., e para se perceber bem requer alguns desenhos; além disso, o objectivo deste post era explicar integrais, não resolver o problema do fio.

Espero que com este post se consiga perceber o que é um integral, para que serve e como se usa. Qualquer dúvida, postem aqui.

por **Andre França** em Sexta Dez 01, 2006 5:39 pm

Esta' muito bom, Ze'!
Sim, de facto e' fundamental aprender nem que seja o mínimo de integração, e no fundo e' tão simples quanto derivar!

Percam tempo a ler isto, vale a pena!

por **Real** em Sexta Dez 01, 2006 7:45 pm

Sim senhor!! Está muito bom o teu post!
Conseguiste resumir muito bem um assunto que é, por natureza, muito extenso

Só quero deixar um ou dois comentários:

1) Apesar da primitiva não ser única, o integral definido é único (Zé prova isso: é fácil).

2) O teorema que afirma $\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$ é o Teorema Fundamental do Cálculo. Este teorema é provado na cadeira de Cálculo I, mas podem tentar ler: http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_Theorem_of_Calculus

Este teorema foi generalizado pelo Lord Kelvin (o Senhor da termodinâmica) nesta coisa belíssima:

$\int_M d\omega = \oint_{\partial M} \omega$

A que se chama o teorema de Stokes!
Talvez os veteranos consigam encontrar alguma analogia com o teorema de Gauss e o teorema de Stokes (não generalizado).

3) Zé, acho que a referência ao electromagnetismo no último post tá um pco confusa :X Faz um esquema no paint para ilustrar um pouco isso! Escreve também um exemplo: fio infinito ou a espira carregada.

por **Zé Teixeira** em Sexta Dez 01, 2006 8:15 pm

Quando puder (talvez hoje), faço os diagramas e as contas e explico o exemplo do fio carregado com mais detalhe. Achei bom inclui-lo para mostrar como se utilizam integrais na prática, acho que ilustra bem a ideia.

por **jap** em Sexta Dez 01, 2006 9:35 pm

Zé,
Obrigado pelos teus posts que são muito úteis

, decerto, para os caloiros.
Sugiro que se trate das equações diferenciais num post separado, para não ficar muito grande...

Detectei um pequeno problema no teu último post sobre integrais.

A expressão

$E_x = \int_a^b dE_xdx$

não está lá muito correcta. Estás a ver porquê? :wink:

por **Real** em Sexta Dez 01, 2006 9:56 pm

Vou tentar explicar aqui como se integra por partes e por substituição.
Estes métodos não são precisos para as olimpíadas, porque normalmente os integrais mais difíceis são dados.
Contudo, para quem estiver interessado em aprender mais alguma coisa: aqui vai.
De modo a que isto se torne intuitivo e simples, vou fazer coisas que põe os matemáticos com os cabelos em pé (mas também é isso que nós queremos não é?

)

Antes de mais, tenho de avisar que este post tem alguma notação que é diferente da dos posts do Zé!
A primitiva de uma função corresponde ao seu integral indefinido, que é denotado por $\int f(x) dx$ .
Ao que o Zé chama de integral, eu chamo de integral definido e é denotado por $\int_a^b f(x) dx$

Integração por partes

Ora, toda a gente sabe como se deriva o produto de duas funções:

(f(x).g(x))'=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)

Esta igualdade também pode ser escrita sob a forma:

f'(x).g(x)=(f(x).g(x))'-f(x).g'(x)

Se o membro da esquerda é igual ao membro da direita, então a derivada do membro da esquerda também é igual à do membro da direita. Assim sendo, o mesmo se aplica ao integral!
Integrando:

$\int f'(x).g(x)dx=\int (f(x).g(x))'dx-\int f(x).g'(x)dx$

Mas, pelo teorema fundamental do cálculo:

$\int (f(x).g(x))'dx = f(x).g(x) + C$

Substituindo vem:

$\int f'(x).g(x)dx=f(x).g(x)-\int f(x).g'(x)dx$

(neste caso, pode-se omitir a constante (porquê?))

Esta fórmula pode ser usada para simplificar primitivas!
Não se assustem :wink:

, aqui vai um exemplo:

Exemplo

$\int xe^x dx = ?$

Vamos identificar f(x)=x

e

Então vem que: f'(x)=1

e

Usando a fórmula que se deduziu acima:

$\int xe^x dx = xe^x -\int 1e^x dx=xe^x-e^x$

Et voilá!

Integração por substituição

Em termos formais, este método é mais complicado que o anterior. No entanto, com o exemplo que vou dar a seguir vai ficar tudo mais claro! Por isso, não percam a paciência! :wink:

Queremos calcular o integral:

$\int_a^b f(x) dx$

Mas imaginem que interessa fazer a substituição:

x=g(u)

Temos então de calcular:

$c=g^{-1}(a)$ e $d=g^{-1}(b)$

$\frac{dx}{du}=g'(u)$

Agora peço a quem seja mais sensível que feche os olhos, pois a seguinte equação contém violência explícita :twisted:

:

$\frac{dx}{du}=g'(u) \Leftrightarrow dx=g'(u) du$

Substituindo no integral inicial temos:

$\int_a^b f(x) dx = \int_c^d f(g(u))g'(u)du$

Exemplo 1

$\int (2-x)^3 dx=?$

Fazendo u=2-x

e

e substituindo, obtém-se:

$\int (2-x)^3 dx=-\int u^3 du = - \frac{1}{4} u^4 + C = -\frac{1}{4}(2-x)^4+C'$

Em que se usou: $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} +C$

Exemplo 2

$\int_2^{\sqrt{e+3}}\frac{4x}{x^2-3}dx=?$

Seja u=x^2-3

Então,

e

$\int_2^{\sqrt{e+3}}\frac{4x}{x^2-3}dx= \int_1^e \frac{2}{u} du = 2(\ln e-\ln 1)=2(1-0)=2$

Em que se usou: $\int \frac{1}{x} dx = \ln x$

Como podem verificar, estas duas técnicas simplificam imenso o cálculo dos integrais.
A dificuldade é mesmo saber que funções f(x) e g(x)

ou

escolher.
Isto é algo que se aprende só com a prática! No entanto, espero que tenham percebido a essência da coisa!

Os sites sobre o assunto no wikipedia estão bastante bons! Dêm uma vista de olhos:

http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts
http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_substitution

Espero que isto vos tenha sido útil para aprenderem mais alguma coisa sobre integrais :wink:

Se tiverem dúvidas, não perceberem algum passo, ou quiserem saber mais algum pormenor, por favor falem comigo ou com o Zé!!
Todos os posts são benvindos :wink:

por **jap** em Sexta Dez 01, 2006 10:04 pm

Boa, Diogo!

Com estas 2 técnicas básicas de integração, e boa intuição, um Físico pode ir mesmo muito longe!
PS- As violências explícitas, em particular contra a matemática pura, estéril e asséptica, são bem-vindas!

PS2 - Esclareço: não tenho nada contra a matemática pura - só tenho contra a pura, estéril e asséptica! :lol:

por **Zé Teixeira** em Sexta Dez 01, 2006 10:06 pm

jap Escreveu:Detectei um pequeno problema no teu último post sobre integrais.

A expressão

$E_x = \int_a^b dE_xdx$

não está lá muito correcta. Estás a ver porquê?

Claro, distracção minha. Como dE_x

já tem um factor

,

teria um factor dx^2

, o que não está correcto. A expressão é

$E_x = \int_a^b dE_x$

Vou editar no post original, obrigado pela correcção.

por **Real** em Sexta Dez 01, 2006 10:13 pm

Prof. Paixão, concordo totalmente consigo!!

Gosto também de acrescentar o adjectivo barroca :shock:

: às vezes é tanto o floreado introduzido que as conclusões são tudo menos claras!

por **jvstorres** em Sábado Dez 02, 2006 2:36 am

Recomendo vivamente a leitura do livro de cálculo do Tom Apostol! Apesar de parecer um bocadinho "cinzento", há capítulos que ainda não encontrei mais bem explicados em lado nenhum!

Para os que gostam de livros mais "coloridos", o Stewart é bastante recomendado pelos "ainginheiros" da FEUP... :lol:

por **jmgb** em Segunda Dez 11, 2006 3:10 am

Aqui no Técnico é comum comprar-se o livro "Introdução à Análise Matemática" de Jaime Campos Ferreira. No entanto, gosto de ver a maior parte das coisas no Apostol.

Quando ainda restam dúvidas... Google.com!

por **Real** em Segunda Dez 11, 2006 9:16 pm

Hmmm... Cheira-me que o Sr. Campos Ferreira é do IST não?

Cá eles recomendam o Calculus do Adams... Mas enfim.. é algo para pensar tirar fotocópias...
Não há nada que ultrapasse o http://www.wikipedia.org! MUUITO recomendado!

por **jmgb** em Segunda Dez 11, 2006 10:06 pm

Pois, o Campos Ferreira é de facto professor catedrático (jubilado) do IST. A Wikipedia às vezes tem gato... convém ir conferindo com bibliografia de referência... Em assuntos matemáticos, costumo preferir o Mathworld (http://www.mathworld.com) da Wolfram à Wikipedia...

por **vbmaster** em Segunda Dez 25, 2006 5:48 pm

Sim senhor, gostei de ler... comecei a pegar nos livros que me foram entretanto oferecidos para a preparação, e após umas breves leituras fiquei colado ao livro azul de "Introdução à Física" feito por professores do técnico. Isto porque é o que se assemelha menos a um manual e mais a um livro que se pode pegar e ir lendo sem nunca perder o interesse.

Entretanto deparei-me logo com certas teorias, como uma que me fascinou particularmente pela sua simplicidade estúpida, o príncipio de Fermat, de que as trajectórias da física são sempre as que minimizam o integral da função.

Ora, eu não sabia o que era integrais, logo fui ler ao apendice do livro de exerícios de física também oferecido, mas entretanto ainda não tinha chegado lá, estava agora a ler coisas sobre derivadas parcias, que também me pareceu simples e engraçado.

Obrigado pelo post Zé Teixeira.

Primitivas e Integrais

Primitivas e Integrais

Quem está ligado