Problema sobre relatividade

[Patricia Sandre]

Senhores,

Vamos imaginar a seguinte situação:
Um trem que se desloca com uma velocidade igual a 0,95C tem uma barra de ferro de massa mo (massa de repouso). Podemos afirmar que no referencial do trem, a massa dessa barra será a mesma para qualquer que seja a velocidade do trem, uma vez que barra está parada em relação ao trem, pois afinal a massa medida será sempre a massa de repouso (mo).
Vamos supor que a massa de repouso dessa barra seja 1kg.
Para um observador na estação (fora do trem) que vê o trem se deslocar a 0,95c, a massa daquela mesma barra de ferro aumentará em 3,2025 vezes em relação a sua massa de repouso (o fator gama δ é 3,2025 para V = 0,95c).
Portanto, a massa da barra de ferro no referencial do observador será de 3,205 kg (m=δ.mo).
Agora a seguinte questão: Se pudéssemos medir o peso dessa barra de ferro, quais seriam os pesos no referencial do trem e no referencial do observador?
Como a aceleração da gravidade não muda nos dois referenciais (g), então podemos dizer que os pesos são 1Kgf (referencial do trem) e 3,205 kgf (referencial da estação) ?
Se os resultados acima estão corretos, então podemos dizer que o peso, isto é, a ação da gravidade atua na massa inercial da barra de ferro e não apenas na massa de repouso?

P = m.g = (mo + Ec/C2) = mo.g + (Ec/C2).g , onde Ec é a energia cinética da barra.

Também não consigo entender porque os pesos são diferentes nos dois referenciais.

[jap]

Cara Patrícia,

Obrigado pela sua questão!

É preciso ter muito cuidado com o uso do termo "massa relativista", ! Esta massa relativista não é estritamente proporcional à massa gravitacional e só, num certo sentido, é que mede a inércia de um corpo. Ao contrário da massa em repouso de um corpo, que é um invariante de Lorentz, a massa só é proporcional à massa gravitacional em certas circunstâncias.

Chamo a atenção para este artigo http://www.physicstoday.org/vol-42/iss-6/vol42no6p31_36.pdf

onde é feita a discussão deste assunto. Embora não concorde com o autor na necessidade de abolir o conceito de massa relativista dos livros de textos (é um conceito útil em muitas circunstâncias mas também muito falacioso...), ele explica a dada altura o problema da incorrecta utilização de como massa gravitacional...

[Patricia Sandre]

Cara Patrícia,

Obrigado pela sua questão!

É preciso ter muito cuidado com o uso do termo "massa relativista", ! Esta massa relativista não é estritamente proporcional à massa gravitacional e só, num certo sentido, é que mede a inércia de um corpo. Ao contrário da massa em repouso de um corpo, que é um invariante de Lorentz, a massa só é proporcional à massa gravitacional em certas circunstâncias.

Chamo a atenção para este artigo http://www.physicstoday.org/vol-42/iss-6/vol42no6p31_36.pdf

onde é feita a discussão deste assunto. Embora não concorde com o autor na necessidade de abolir o conceito de massa relativista dos livros de textos (é um conceito útil em muitas circunstâncias mas também muito falacioso...), ele explica a dada altura o problema da incorrecta utilização de como massa gravitacional...

Caro professor,

Muito interessante este artigo postado em seu comentário.
Mas sinceramente, agora estou mais confusa depois que li este artigo.
Eu sempre considerei que massa energia por serem equivalentes, com o aumento da velocidade a "massa" e energia aumentam (proporcionalmente) pelo fator gama.
Pelo que entendi do artigo, parece que não faz muito sentido dizer que a massa aumenta com a velocidade embora errôneamente isso seja difundido nos livros textos.
Outra questão que fiquei em dúvida é sobre o princípio da equivalência de massa e energia.
A princípio, estritamente falando, massa e energia não são as mesma coisas.
Pelo que entendi, seguindo essa linha de raciocínio, pois chegaríamos a conclusão absurda de que a energia de uma partícula em movimento não aumenta, e seria acrescentado a diferença como um aumento na massa.
Isso estaria fisicamente incorreto, apesar de existir a equivalência.

Mas voltando ao problema anterior, a barra de ferro então teria o mesmo peso nos dois referenciais (estação e trem)?

[Ricardo Faria]

Senhores,

Vamos imaginar a seguinte situação:
Um trem que se desloca com uma velocidade igual a 0,95C tem uma barra de ferro de massa mo (massa de repouso). Podemos afirmar que no referencial do trem, a massa dessa barra será a mesma para qualquer que seja a velocidade do trem, uma vez que barra está parada em relação ao trem, pois afinal a massa medida será sempre a massa de repouso (mo).
Vamos supor que a massa de repouso dessa barra seja 1kg.
Para um observador na estação (fora do trem) que vê o trem se deslocar a 0,95c, a massa daquela mesma barra de ferro aumentará em 3,2025 vezes em relação a sua massa de repouso (o fator gama δ é 3,2025 para V = 0,95c).
Portanto, a massa da barra de ferro no referencial do observador será de 3,205 kg (m=δ.mo).
Agora a seguinte questão: Se pudéssemos medir o peso dessa barra de ferro, quais seriam os pesos no referencial do trem e no referencial do observador?
Como a aceleração da gravidade não muda nos dois referenciais (g), então podemos dizer que os pesos são 1Kgf (referencial do trem) e 3,205 kgf (referencial da estação) ?
Se os resultados acima estão corretos, então podemos dizer que o peso, isto é, a ação da gravidade atua na massa inercial da barra de ferro e não apenas na massa de repouso?

P = m.g = (mo + Ec/C2) = mo.g + (Ec/C2).g , onde Ec é a energia cinética da barra.

Também não consigo entender porque os pesos são diferentes nos dois referenciais.

Patrícia, Boa noite

A questão colocada aqui é saber se a massa relativística é igual a massa gravitacional.
Eu fiz uma pesquisa em alguns livros de física que eu tenho e encontrei um problema análogo ao seu. Eu vou transcrevê-lo:

Questão: "Se um sistema de partículas são fechados em uma caixa, cuja as paredes sejam perfeitamente refletoras e aumentarmos a energia cinética das partículas, de quanto aumentará o peso da caixa" ?
A analogia seria como se aumentasse a temperatura da "barra de ferro" na qual está sendo fornecida energia ao sistema. (aumento da velocidade de vibração dos átomos de ferro, etc).
Resposta do problema proposto pelo livro: " Se assim o desejarmos, as partículas contidas dentro da caixa poderão ser até mesmo fotões, cuja massa de repouso é igual a zero. Nesse caso, a massa gravitacional da caixa (definida como sendo peso da caixa dividida por g) será E(total)/C2. Este resultado é previsto pela teoria da relatividade geral e confirmado experimentalmente. Devemos observar que a massa do sistema de fotões não é igual à soma das massas de cada fotão em separado. A massa de repouso do foton é zero. Se mais fotões forem introduzidos na caixa, a massa gravitacional aumentará de uma quantidade ∆M=∆E/C2, onde ∆E é a energia total dos fótons.”
O livro texto é Fundamentos da Física 1 - autor Jay Orear. O exercício está na página 131.
Eu até pensei no seguinte experimento: Duas barras de ferro estão numa balança com a mesma temperatura. Se uma das barras for aquecida e aumentar a temperatura o que ocorrerá?
Pela proposição do problema acima, a barra de ferro com maior temperatura terá maior peso, pois foi fornecido energia ao sistema.
Em analogia a questão posta, o peso da barra de ferro (e do trem) é maior do que a barra (e do trem) em repouso. Pelo menos foi isso que eu entendi. Por favor, me corrijam, pois não sou físico, eu apenas estou me guiando no que autor do livro disse e não li o artigo do Sr. Lev B. Okun , pois infelizmente meu inglês é péssimo.

[jap]

(...)
Eu até pensei no seguinte experimento: Duas barras de ferro estão numa balança com a mesma temperatura. Se uma das barras for aquecida e aumentar a temperatura o que ocorrerá?
Pela proposição do problema acima, a barra de ferro com maior temperatura terá maior peso, pois foi fornecido energia ao sistema.

Sim, sem dúvida, nesta questão do aquecimento de uma barra estamos todos de acordo: há um aumento da massa da barra de ferro,



Trata-se aqui de um aumento da massa de repouso da barra (o centro de massa da barra está em repouso em relação ao observador) e há equivalência entre a massa inercial e gravitacional pelo que sim, a barra quente pesa mais.

A questão da barra que vai no comboio, é um pouco diferente. Tal como esta barra não aquece só por ter maior velocidade (a temperatura é uma medida da energia média das partículas da barra em relação ao centro de massa), também não é assim tão óbvio que a massa (gravitacional, no problema em causa) aumente! O problema está realmente na definição do que é a massa do corpo em movimento (inercial ou relativista)...voltarei a este assunto mais tarde.

[Ricardo Faria]

(...)
Eu até pensei no seguinte experimento: Duas barras de ferro estão numa balança com a mesma temperatura. Se uma das barras for aquecida e aumentar a temperatura o que ocorrerá?
Pela proposição do problema acima, a barra de ferro com maior temperatura terá maior peso, pois foi fornecido energia ao sistema.

Sim, sem dúvida, nesta questão do aquecimento de uma barra estamos todos de acordo: há um aumento da massa da barra de ferro,



Trata-se aqui de um aumento da massa de repouso da barra (o centro de massa da barra está em repouso em relação ao observador) e há equivalência entre a massa inercial e gravitacional pelo que sim, a barra quente pesa mais.

A questão da barra que vai no comboio, é um pouco diferente. Tal como esta barra não aquece só por ter maior velocidade (a temperatura é uma medida da energia média das partículas da barra em relação ao centro de massa), também não é assim tão óbvio que a massa (gravitacional, no problema em causa) aumente! O problema está realmente na definição do que é a massa do corpo em movimento (inercial ou relativista)...voltarei a este assunto mais tarde.

Caro mestre,

Tu tens toda razão. Esta analogia não se aplica ao caso da barra de ferro em movimento, pois a posição do CM da barra está em movimento em relação ao observador. A Análise que fiz foi muito simplista, mas como eu disse no meu comentário anterior, não sou físico mas sim um leigo curioso.
No caso da caixa de fotons (exemplo do livro) ou da barra de ferro aquecida o CM está em repouso no referencial do observador, embora os átomos de ferro estejam vibrando com maior velocidade devido ao aumento de temperatura.
Neste sentido, há um aumento na massa de repouso do sistema “barra de ferro”.
O problema é que existem vários termos e conceitos de massa (repouso, inercial, relativística, gravitacional). O conceito de massa de repouso é o mais simples de se entender. Segundo a teoria da relatividade existe a equivalência entre massa
gravitacional e inercial. (Mi=Mg)
Mas a questão a saber é se a massa inercial é o mesmo que massa relativística na qual esta é uma função da velocidade. (m= δ.mo).
Mas vamos admitir que a barra ao invés de fazer um movimento retilíneo uniforme (MRU) no problema proposto pela Patrícia, a barra fosse um cilindro e estivesse girando em torno do seu eixo com velocidade angular φ.
A energia cinética da barra: Ec=I.φ2/2
Podemos dizer (ou não?) que o peso da barra aumenta em relação a barra em repouso ? Neste caso, o CM da barra está em repouso no referencial do observador.
Vamos considerar uma outra situação:
Se a barra estivesse fazendo um movimento circular uniforme com raio bem longo em torno do observador. Qual seria a massa inercial?
Acredito que os efeitos relativísticos continuam valendo, como a barra está fazendo uma trajetória de raio muito longo, deve ocorrer a contração de Lorentz.
Podemos dizer (ou não?) que o peso da barra aumenta em relação a barra em repouso ? Neste caso, a distância entre o CM-observador e CM-barra é constante, sendo igual ao raio da trajetória circular da barra, embora a barra esteja em movimento circular uniforme no referencial do observador.

[Patricia Sandre]

Caro mestre,

Tu tens toda razão. Esta analogia não se aplica ao caso da barra de ferro em movimento, pois a posição do CM da barra está em movimento em relação ao observador. A Análise que fiz foi muito simplista, mas como eu disse no meu comentário anterior, não sou físico mas sim um leigo curioso.
No caso da caixa de fotons (exemplo do livro) ou da barra de ferro aquecida o CM está em repouso no referencial do observador, embora os átomos de ferro estejam vibrando com maior velocidade devido ao aumento de temperatura.
Neste sentido, há um aumento na massa de repouso do sistema “barra de ferro”.
O problema é que existem vários termos e conceitos de massa (repouso, inercial, relativística, gravitacional). O conceito de massa de repouso é o mais simples de se entender. Segundo a teoria da relatividade existe a equivalência entre massa
gravitacional e inercial. (Mi=Mg)
Mas a questão a saber é se a massa inercial é o mesmo que massa relativística na qual esta é uma função da velocidade. (m= δ.mo).
Mas vamos admitir que a barra ao invés de fazer um movimento retilíneo uniforme (MRU) no problema proposto pela Patrícia, a barra fosse um cilindro e estivesse girando em torno do seu eixo com velocidade angular φ.
A energia cinética da barra: Ec=I.φ2/2
Podemos dizer (ou não?) que o peso da barra aumenta em relação a barra em repouso ? Neste caso, o CM da barra está em repouso no referencial do observador.
Vamos considerar uma outra situação:
Se a barra estivesse fazendo um movimento circular uniforme com raio bem longo em torno do observador. Qual seria a massa inercial?
Acredito que os efeitos relativísticos continuam valendo, como a barra está fazendo uma trajetória de raio muito longo, deve ocorrer a contração de Lorentz.
Podemos dizer (ou não?) que o peso da barra aumenta em relação a barra em repouso ? Neste caso, a distância entre o CM-observador e CM-barra é constante, sendo igual ao raio da trajetória circular da barra, embora a barra esteja em movimento circular uniforme no referencial do observador.

Ricardo,

É como o professor disse. As situações exemplificadas por voce não se aplicam ao referido problema da barra se deslocando com velocidade "V" no referencial do observador.
Mas a questão apresentada realmente é essa, isto é, a massa relativística e a massa gravitacional podem ser igualadas ?
Eu imaginei um outro problema; Imagina um corpo (a "barra de ferro") em queda livre, o peso deste corpo aumenta em relação ao referencial do observador?
A equação que descreve o movimento seria:
dp/dt = F , onde F é a força gravitacional atuando no corpo causada pela aceleração da gravidade (g). Vamos considerar g constante.
Temos duas hipóteses:
1- A força F atua na massa de repouso; F = mo.g

Então temos: dp/dt = mo.g
∫d(m.V) = ∫ mo.g.dt ou seja: δ.mo.V = mo.g.t
Resolvendo a equação acima temos: V = g.t/(1+(at)2/C2)1/2

Esta equação é a expressão relativística para a velocidade de um corpo com uma aceleração constante (g).

2 – A outra hipótese é se a força atua na massa relativística : F= m.g
Se igualarmos a equação acima encontramos a expressão clássica: V = g..t
Desta forma, estaria incorreto.

[Ricardo Faria]

Patrícia, Boa noite,

Tudo bem, Patrícia, os exemplos apresentados no meu ultimo comentário foi considerando o centro de massa do corpo fixo em relação ao observador. Acho que por isso, o peso poderia aumentar no referencial do observador, Tais situações não se aplicam a sua questão, situação na qual o trem (barra de ferro) se move em relação ao observador. Eu não sei responder a sua questão considerando este aspecto do movimento relativo do centro de massa.

No entanto, no exemplo do seu comentário anterior (corpo em queda livre), você quer demonstrar que a gravidade atua somente na massa de repouso.
Se fosse assim, então a luz não sofreria desvio ao passar por um campo gravitacional. A luz não tem massa de repouso, somente massa inercial (E/C2).

[Newtein]

Senhores,

Vamos imaginar a seguinte situação:
Um trem que se desloca com uma velocidade igual a 0,95C tem uma barra de ferro de massa mo (massa de repouso). Podemos afirmar que no referencial do trem, a massa dessa barra será a mesma para qualquer que seja a velocidade do trem, uma vez que barra está parada em relação ao trem, pois afinal a massa medida será sempre a massa de repouso (mo).
Vamos supor que a massa de repouso dessa barra seja 1kg.
Para um observador na estação (fora do trem) que vê o trem se deslocar a 0,95c, a massa daquela mesma barra de ferro aumentará em 3,2025 vezes em relação a sua massa de repouso (o fator gama δ é 3,2025 para V = 0,95c).
Portanto, a massa da barra de ferro no referencial do observador será de 3,205 kg (m=δ.mo).
Agora a seguinte questão: Se pudéssemos medir o peso dessa barra de ferro, quais seriam os pesos no referencial do trem e no referencial do observador?
Como a aceleração da gravidade não muda nos dois referenciais (g), então podemos dizer que os pesos são 1Kgf (referencial do trem) e 3,205 kgf (referencial da estação) ?
Se os resultados acima estão corretos, então podemos dizer que o peso, isto é, a ação da gravidade atua na massa inercial da barra de ferro e não apenas na massa de repouso?

P = m.g = (mo + Ec/C2) = mo.g + (Ec/C2).g , onde Ec é a energia cinética da barra.

Também não consigo entender porque os pesos são diferentes nos dois referenciais.

Patricia voçe esta a misturar relatividade restrica com a geral. A relatividade restrita preve a existencia de um afenomeno chamado dilatação da massa ou massa relativistica (m=mo.y) mas isto só se aplica a referenciais enerciais não a referenciais acelerados como e o caso do seu. Para resolver este problema temos de pegar na relatividade gereal que já pode tratar de referenciais acelerados bem como todos os outros.