Problema das três pulgas

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Problema das três pulgas

Mensagempor jap em Terça Nov 28, 2006 1:30 pm

Este é um problema famoso, parecido ao problema do contrabandista, mas de solução mais fácil...sobretudo depois de conhecerem o truque para resolver aquele problema (e não me refiro às monstruosas contas do meu colega Fernando :lol: )

Aqui vai o problema: tenho a certeza que vão encontrar a solução rapidamente! :D

Três pulgas A,B, C estão nos vértices de um triângulo equilátero de lado d. As pulgas começam a mover-se ao mesmo tempo, com a mesma velocidade v, sendo que a pulga A persegue a B, a B a C e a C a A, tal como no problema do contrabandista.

Qual é a distância percorrida por cada pulga? Quanto tempo demoram a encontrar-se? Qual é a forma da trajectória de cada pulga? (desta vez, é mesmo uma curva simples ... :wink: )

Aqui vai uma ajuda:


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José António Paixão
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Mensagempor vbmaster em Terça Nov 28, 2006 2:31 pm

Era exactamente essa imagem que tinha aqui rabiscado num folha que sobrou do estudo de ontem para matemática... :P

Mas com a minha sorte habitual (not :P ) devo conseguir chegar ao tempo que demoraram... :P
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Mensagempor JCaldeira em Terça Nov 28, 2006 4:17 pm

Eheh, conhecia este problema com um quadrado (e acho que eram formigas?), é bastante interessante... Força nisso! :)
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Mensagempor jap em Quarta Nov 29, 2006 2:19 am

JCaldeira Escreveu:Eheh, conhecia este problema com um quadrado (e acho que eram formigas?), é bastante interessante... Força nisso! :)


Pode facilmente generalizar-se para um polígono equilátero de n-lados; quanto à bicharada, há quem goste mais de formigas do que de pulgas... :lol:

Aliás, tenho no meu portfolio mais alguns problemas com bicharada :shock: ...
Estou a lembrar-me de um, muito simples, mas com piada, envolvendo uma formiga e uma aranha, posto amanhã... :wink:
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Mensagempor Real em Quarta Nov 29, 2006 7:49 am

Olá!

Eu ontem à noite cheguei a uma coisa do tipo: T=\frac{2}{3}\frac{d}{v} e l=\frac{2}{3}d. Não tive tempo para fazer o resto mas estava quase feito. Vou ver se dou agora um adianto na aula TP de electrónica :wink: Se conseguir resolver meto aqui a solução para n-gono regular :D . Já agora, no site do wolfram refere que um tal Bernhart resolveu para um polígono irregular e com pulgas de velocidades diferentes!!... :shock: O artigo é este:

Bernhart, A. "Polygons of Pursuit." Scripta Math. 24, 23-50, 1959.

Professor, será que consegue arranjar este pdf?

PS: desvantagem do dep. de física da FCUP: o café é horrível!!! :x (o que vale é que o da matemática é do melhor que há :P)
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Mensagempor Real em Quarta Nov 29, 2006 11:50 am

Já tenho resultados mais interessantes!
Aqui vai a figura:

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Sendo \vec{r} o vector posição de uma das pulgas (representado a vermelho) e \theta o ângulo representado a azul.

Resultados:

\ell=\frac{d}{1-\cos\frac{2\pi}{n}} e t=\frac{\ell}{v}

r=-\frac{\sqrt{3}}{2}vt+\sin(\frac{\pi}{n})d
\theta=-\ln(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{v}{\sin(\frac{\pi}{n})d}t)\frac{\sqrt{3}}{3}

Claro que a dependência em t pode ser eliminada substituindo o t da expressão para r na expressão para \theta, mas iria ficar uma expressão horrível :X

Num futuro próximo posto a resolução. Enquanto isso, força nas canetas! :wink:

PS: talvez as expressões fiquem mais bonitas considerando como origem um vértice do polígono..
PS2: espero não me ter enganado em nenhum cálculo :X
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Mensagempor jap em Quarta Nov 29, 2006 7:35 pm

Real Escreveu:Já tenho resultados mais interessantes!
Aqui vai a figura:

Imagem

Sendo \vec{r} o vector posição de uma das pulgas (representado a vermelho) e \theta o ângulo representado a azul.

Resultados:

\ell=\frac{d}{1-\cos\frac{2\pi}{n}} e t=\frac{\ell}{v}

r=-\frac{\sqrt{3}}{2}vt+\sin(\frac{\pi}{n})d
\theta=-\ln(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{v}{\sin(\frac{\pi}{n})d}t)\frac{\sqrt{3}}{3}

(...)



As expressões que encontraste para \elle t estão correctas. Ora explica como chegaste lá.
Mas a expressão para \theta(t) é estranha. Onde está o "bug"? :roll: ( e não me refiro às pulgas! :lol: ).

Aliás, a expressão da curva r(\theta) é muito simples :wink: Aqui fica a dica: É uma espiral logarítmica... :wink:
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Mensagempor Joao Guerreiro em Quarta Nov 29, 2006 9:42 pm

Tentei usar as mesmas ideias que no problema do contranbadista. Aqui vai:

Escolhemos duas pulgas que partem de vértices consecutivos.
Os vectores das velocidades dessas pulgas fazem um ângulo de \frac{2\pi}{n}.
Portanto a sua velocidade relativa é v-vcos(\frac{2\pi}{n}).

Logo temos \Delta x=(v-vcos(\frac{2\pi}{n}))\Delta t.

Integrando obtemos d=(v-vcos(\frac{2\pi}{n}))t ou seja t=\frac{d}{v-vcos(\frac{2\pi}{n})}.

Também ficamos com l=tv=\frac{d}{1-cos(\frac{2\pi}{n})}
última vez editado por Joao Guerreiro s Quarta Nov 29, 2006 9:45 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor jap em Quarta Nov 29, 2006 9:45 pm

Joao Guerreiro Escreveu:Tentei usar as mesmas ideias que no problema do contrabadista. Aqui vai:
(...)


Certíssimo, João! :D

E agora, qual é a forma da trajectória em coordenadas polares r(\theta), referidas ao centro do polígono? :roll:
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Mensagempor Real em Quarta Nov 29, 2006 9:47 pm

Professor, já que está "online" :wink:, existe algum problema com a expressão de \theta (t)?? Parece-me uma função bem comportada! Entretanto vou confirmar os cálculos, a ver se não cometi nenhuma gralha!
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Mensagempor jap em Quarta Nov 29, 2006 10:18 pm

Real Escreveu:Professor, já que está "online" :wink:, existe algum problema com a expressão de \theta (t)?? Parece-me uma função bem comportada! Entretanto vou confirmar os cálculos, a ver se não cometi nenhuma gralha!


Lá bem comportada, de facto é, mas parece-me estranha :? . Pode até estar correcta, não tive tempo de verificar. Vê se as tuas expressões conduzem à espiral logarítmica... :roll:
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Mensagempor Real em Quarta Nov 29, 2006 10:40 pm

Feitos os ditos cálculos "horríveis", aqui vai o monstro:

r(\theta)=\sin(\frac{\pi}{n})\frac{d}{3}(7-4e^{-\sqrt{3}\theta})

Até tem bom aspecto... Mas de certeza que ficava mais agradável considerando um vértice do polígono como origem... O termo constante e o sinal - na exponencial devem ter a ver com a translação...

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Mensagempor jap em Quarta Nov 29, 2006 10:52 pm

Real Escreveu:Feitos os ditos cálculos "horríveis", aqui vai o monstro:

r(\theta)=\sin(\frac{\pi}{n})\frac{d}{3}(7-4e^{-\sqrt{3}\theta})

Até tem bom aspecto... Mas de certeza que ficava mais agradável considerando um vértice do polígono como origem... O termo constante e o sinal - na exponencial devem ter a ver com a translação...

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Bom, prefiro de facto colocar a pulga no instante t = 0 num dos vértices (como manda o problema) e começar a contar o ângulo \theta a partir do eixo definido pelo centro do polígono e esse ponto inicial (vértice).

Nessa situação, generalizando o problema inicial para um polígono equilátero de n lados, fica mais bonito:

r = r_0 e^{-\theta\eta},onde r_0 = \frac{d}{2\sin(\pi/n)} e \eta =\tan(\pi/m) :wink:
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Lol

Mensagempor joaoramos em Quarta Dez 13, 2006 10:26 pm

se espiral logarítmica me dissesse alguma coisa
Bom trabalho Diogo
Hei de arranjar o teu tempo para me dedicar a estes problemas

Por enquanto ainda não me deixei ir abaixo :wink:

Um abraço,
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Mensagempor AlexandreH em Domingo Set 09, 2007 11:30 pm

ola, meu prof fez esta questao na aula da olimpiada, eu nao sabia como fazer....

mas o resultado dele foi:

o e exponencial elevado a cotg do angulo, poxa nao sei usar os simbolos matematicos aqui. e é o spiral logaritmo. o tempo nos fizemos decompondo o vetor velocidade ^^
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