Problema do Contrabandista

[Real]

Numa das sessões de preparação para as olimpíadas surgiu este problema e a solução dada não foi muito satisfatória...

"O barco do contrabandista sai da praia com velocidade perpendicular à linha da costa constante e igual a v. O barco da polícia encontra-se também ancorado junto à praia, mas a uma distância a do barco do contrabandista. Ambos os barcos partem ao mesmo tempo, mas o barco da polícia sai com um vector velocidade que aponta sempre para o barco do contranbandista e que tem módulo k*v. Os barcos interceptam-se a uma distância a da costa. Determine k."

O enunciado do problema é muito simples, mas ainda não consegui abordá-lo com sucesso...
Alguém tem alguma ideia?

[jap]

Boa Diogo,

Pelo envio do 1º problema "tricky" . Todos ao trabalho para tentar resolver o problema. Eu darei a solução neste fórum, de hoje a 8 dias.

[Nuno_Monteiro]

Sou só um aluno de 12º ano que está pré-seleccionados para a preparação com vista à representação de Portugal nas Olimpíadas Internacionais de Física (Irão) e Ibero-americanas de Física (Argentina) em 2007, por isso posso ter cometido vários erros de lógica.
No entanto cheguei a resposta K=1,035
Não tendo agora tempo para me alargar na explicação dos cálculos que efectueis vou apresentar a lógica que segui.
como sabemos que os barcos se vão encontrar a uma distância "a" da costa e que partem os dois distânciados por "a" podemos visualizar um quadrado de arestas "a" em que os 2 barcos inicialmente ocupam os dois vértices inferiores. o barco da polícia vai ter um movimento curvo e como o módulo da velocidade é constante, é um mov. curvilineo uniforme. Ou seja o barco estará sujeitoa uma aceleração normal an=((V)^2)/r. apartir da mesma analogia do quadrado vemos que o raio de curvatura é "a" logo a=an=((VK)^2)/a.
Daqui parti para a equação do movimento do barco da polícia que seria x=vkt+(1/2)[((vk)^2)/a]t^2
Como sabemos que quando apanhar a lança o barco percurreu um quarto de uma circunferencia de raio "a"(recurer outra vez á analogia do quadrado) sabemos que neste momento x=(a*"pi")/2
substituimos então na equaçao do parco o valor de "x" até obtermos a^2*"pi"=vkt(2a+vkt)
A equação de movimento da lancha(traficante) é x'=vt sabemos então q o ponto x'=a é o ponto de encontro então t=a/v veste local
Substituimos então t na equação encontrada anteriormente e obtemos K=1,035 ou K=-3,035 o valor da k negativo cantraria o meu esquema por isso considereio absurdo logo k=1,035[/b]

[Nuno_Monteiro]

peço desculpa por me ter alargado tanto na explicação

[jap]

Sou só um aluno de 12º ano que está pré-seleccionados para a preparação com vista à representação de Portugal nas Olimpíadas Internacionais de Física (Irão) e Ibero-americanas de Física (Argentina) em 2007, por isso posso ter cometido vários erros de lógica.
No entanto cheguei a resposta K=1,035
Não tendo agora tempo para me alargar na explicação dos cálculos que efectueis vou apresentar a lógica que segui.
como sabemos que os barcos se vão encontrar a uma distância "a" da costa e que partem os dois distânciados por "a" podemos visualizar um quadrado de arestas "a" em que os 2 barcos inicialmente ocupam os dois vértices inferiores. o barco da polícia vai ter um movimento curvo e como o módulo da velocidade é constante, é um mov. curvilineo uniforme. Ou seja o barco estará sujeitoa uma aceleração normal an=((V)^2)/r. apartir da mesma analogia do quadrado vemos que o raio de curvatura é "a" logo a=an=((VK)^2)/a.
Daqui parti para a equação do movimento do barco da polícia que seria x=vkt+(1/2)[((vk)^2)/a]t^2
Como sabemos que quando apanhar a lança o barco percurreu um quarto de uma circunferencia de raio "a"(recurer outra vez á analogia do quadrado) sabemos que neste momento x=(a*"pi")/2
substituimos então na equaçao do parco o valor de "x" até obtermos a^2*"pi"=vkt(2a+vkt)
A equação de movimento da lancha(traficante) é x'=vt sabemos então q o ponto x'=a é o ponto de encontro então t=a/v veste local
Substituimos então t na equação encontrada anteriormente e obtemos K=1,035 ou K=-3,035 o valor da k negativo cantraria o meu esquema por isso considereio absurdo logo k=1,035[/b]

Olá Nuno,

Muito boa tentativa

Mas há um pequeno erro no teu raciocínio. Revê tudo com cuidado para ver se o descobres

Fica aqui uma dica: o resultado correcto é k = (1+ sqrt(5))/2=1.618...

Já ouviram concerteza falar no número de ouro
Abraço,

[Nuno_Monteiro]

A unica vez em que abordei o número de ouro nas aulas foi, se não me engano no 9º ano por isso já não me lembro de quais são as suas utilidades. Por isso, se ele for necessário á reuolução deste cálculo vai-me ser um bocado difícil desbobrir o meu erro, mesmo assim vou tentar.

obrigado pela brevidade da resposta ao meu raciocinio.

[jap]

A unica vez em que abordei o número de ouro nas aulas foi, se não me engano no 9º ano por isso já não me lembro de quais são as suas utilidades. Por isso, se ele for necessário á reuolução deste cálculo vai-me ser um bocado difícil desbobrir o meu erro, mesmo assim vou tentar.

obrigado pela brevidade da resposta ao meu raciocinio.

Nuno,
O número de ouro não é necessário para nada para a resolução do problema - o número de ouro é o irracional (1+sqrt(5))/2 que, acontece, ser o resultado (solução) do problema. Mas repito - não é necessário sequer saber o que é o número de ouro para encontrar o resultado... só é preciso saber física e, talvez, abordar o problema de um ângulo não convencional

Já agora, deixo a outro olímpico mais conhecedor destas curiosidades matemáticas o desafio de "postar" uma mensagem a explicar a todos o que é o número de ouro e as suas interessantes propriedades...quem se oferece?

Eu prometo "postar" mais três ou quatro problemas de física cujo resultado é o intrigante, fascinante, mágico...número de ouro
Abraço

[vbmaster]

Lembro-me desse número "mágico" de quando li o Código da Vinci, e como é a razão de muitas coisas que há na natureza, por exemplo a altura do homem a dividir por comprimento da ponta dos dedos da mao esquerda até à direita tendo os braços esticados....(acho eu que este era um dos exemplos)...

Mas realmente, muito boa tentativa Nuno, nem estava a pensar em nada disso...

Mas agora vou é dormir....

[pmp]

Viva!
Chamo-me Pedro Ponte e à semelhança do Nuno também sou um aluno do 12º ano. Propôs-me à pre-selecção e tal como todos vós gosto de Física.

Esse exercício é deveras engraçado. Parti de um raciocínio semelhante ao do Nuno, tendo considerado que o barco percorre um distância correspondente a um arco de amplitude pi/2 de uma circuferência de raio a, e portanto, de valor a*pi/2. O contrabandista percorre no mesmo tempo a distância a. Como t=d/v, vem que:

a/v = a*pi/(2kv)

E, então:
k = pi/2

É um valor próximo do número de ouro, o que deve sugerir que a aproximação da trajectória do barco a um arco de circunferência não está muito errado. Ou deduzo mal? No entanto, vou continuar à caça desse número.

Já lhe conhecia do Código Da Vinci também e da série Núm3ros que recentemente estreou na TVI.

[jmgb]

Olhando rapidamente o problema sou tentado a dizer que a trajectoria se aproximará mais a uma hipérbole do que a um arco de circunferência (nos instantes finais a direcçao do movimento do barco da policia será muito semelhante à direcçao do barco do contrabandista)... Não tenho agora tempo para pensar no problema, mas prometo pensar nele com mais calma mais tarde.


Abraço.

[jmgb]

Boa tarde pessoal,

Depois de lanchar, não resisti, e parei o estudo de Análise Matemática para pensar um pouco no problema. Diverti-me a fazer rapidamente um pequeno programa que mostra que o meu palpite estava certo: a trajectória parece ser realmente hiperbólica. Vejam em http://pastebin.com/825835 (versão corrigida) e façam o plot dos pontos (em GNUplot por exemplo). No ficheiro "barcos.dat" (criado pelo programa), as colunas 1 e 2 têm as coordenadas do contrabandista e colunas 3 e 4 têm as coordenadas do barco da polícia.

Espero que este contributo sirva para avançarem mais na resolução do problema. Quanto a mim vou voltar ao estudo e rever porque motivo 1>0...


Abraço.

[vbmaster]

Boa tarde pessoal,

Depois de lanchar não resisti e parei o estudo de Análise Matemática para pensar um pouco no problema. Diverti-me a fazer rapidamente um pequeno programa que mostra que o meu palpite estava certo: a trajectória é fortemente hiperbólica. Vejam em http://pastebin.com/825809 e façam o plot dos pontos (em GNUplot por exemplo). No ficheiro "barcos.dat" (criado pelo programa), as colunas 1 e 2 têm as coordenadas do contrabandista e colunas 3 e 4 têm as coordenadas do barco da polícia.

Espero que este contributo sirva para avançarem mais na resolução do problema. Quanto a mim vou voltar ao estudo e rever porque motivo 1>0...


Abraço.

Bah, o meu gcc não conhece a função abs... pensei que faltasse a lib <math.h> mas ele não o compila na mesma... diz:

miguel@main ~ $ gcc lol.cpp
lol.cpp: In function 'int main()':
lol.cpp:20: error: 'abs' was not declared in this scope

EDIT: Pronto, criei uma função abs e calou-se... vamos lá ver como se trabalha com o gnuplot.

[jmgb]

vbmaster: faz gcc -lm programa.c

Vai ao pastebin buscar a ultima versao do codigo (em http://pastebin.com/825835). Corrigi um errozito (um erro de trigonometria básica).

Abraço.


PS: Está escrito em C e não C++.

[jap]

Boa tarde pessoal,

Depois de lanchar não resisti e parei o estudo de Análise Matemática para pensar um pouco no problema. Diverti-me a fazer rapidamente um pequeno programa que mostra que o meu palpite estava certo: a trajectória é fortemente hiperbólica. Vejam em http://pastebin.com/825809 e façam o plot dos pontos (em GNUplot por exemplo). No ficheiro "barcos.dat" (criado pelo programa), as colunas 1 e 2 têm as coordenadas do contrabandista e colunas 3 e 4 têm as coordenadas do barco da polícia.

Espero que este contributo sirva para avançarem mais na resolução do problema. Quanto a mim vou voltar ao estudo e rever porque motivo 1>0...


Abraço.

Bravo,
João

A trajectória não é, de facto, uma circunferência. Foi óptima a ideia da simulação . Agora toca a demonstrar, analiticamente, que k = (1+sqrt(5))/2!

PS - Para um físico que resolve problemas com simulações em C , 1 >0 == 1 (True) ! Continuação de bom estudo de análise!

[jmgb]

vbmaster, no GNUPlot deverás executar algo semelhante a:

gnuplot> plot "barcos.dat" using 3:4 t "Barcos"

(em que using 3:4 ordena que se utilizem as colunas 3 e 4 do ficheiro em causa)


Para os mais cépticos, aqui está o resultado da simulação para a=1000m e k=(1+sqrt(5))/2