Só para acabar o ano :)

por **antonio_carneiro** em Quarta Dez 31, 2014 1:45 am

Bem, vou deixar aqui um problema, para acabarmos bem o ano

Uma barra é colocada sobre dois condutores paralelos unidos por um indutor de indutância

. A distância entre os condutores é

, e a massa da barra é

. A barra tem resistência desprezável, e desliza sem atrito sobre os carris condutores. Existe ainda um campo magnético de intensidade

e que aponta para baixo. Qual a lei do movimento da barra, em função dos parâmetros fornecidos, se lhe aplicarmos uma velocidade inicial $v_{0}$ ?

por **jap** em Quarta Dez 31, 2014 3:17 pm

Um clássico! :lol:

Abraço e votos de um bom Ano Novo, António!

jap

por **antonio_carneiro** em Quarta Dez 31, 2014 4:33 pm

Obrigado e igualmente professor

por **xpt0x** em Quarta Dez 31, 2014 5:22 pm

Onde é que eu já vi isto xD

por **antonio_carneiro** em Quarta Dez 31, 2014 8:49 pm

É bastante provável que já o tenhas visto xD

por **joaofrme** em Quinta Jan 01, 2015 10:50 pm

realmente não sei onde é que possas já ter visto este

por **antonio_carneiro** em Quinta Jan 08, 2015 6:54 pm

Rui e Joao, este nao e o problema da pdf, se estao a pensar nisso xD Alguém que tente :3

por **joaofrme** em Quinta Jan 08, 2015 7:23 pm

A sério!! Não tinha reparado :lol:

por **antonio_carneiro** em Quinta Jan 08, 2015 10:44 pm

João, resolve isto, vamos a acordar a malta

por **antonio_carneiro** em Sexta Jan 16, 2015 6:07 pm

Vamos la malta, eu dou uma ajuda

A diferenca de potencial que existe num indutor é dada por: $U=L*\frac{dI}{dt}$

por **duarte.magano** em Sexta Fev 06, 2015 1:02 am

Olá!
Tenho de admitir que, ao olhar para este problema, me senti envergonhado ao descobrir o quanto estava esquecido do meu EM... (no primeiro semestre só se dá Mecânica)
Bem, aqui vai uma proposta de resolução:

Física da Barra:

Pela lei de Lorentz, temos que a força que atua numa carga de valor

com drift velocity $\vec{v_d}$ num campo magnético $\vec{B}$ é:
$\vec{F}=q(\vec{v_d}*\vec{B})=q\dfrac{ds}{dt}(\hat{v_d}*\vec{B})$
Para obtermos a força numa barra inteira podemos multiplicar isto pelo número total de cargas (todas têm a mesma dv e carga):
$\vec{F}=Nq\dfrac{ds}{dt}(\hat{v_d}*\vec{B})$
Se

é a densidade de carga,

a secção e

o comprimento da barra, dizemos que:
N=n*Al

Ou seja,
$\vec{F}=nAlq\dfrac{ds}{dt}(\hat{v_d}*\vec{B})$

Agora, a corrente elétrica

é definida como a carga que passa numa secção

por intervalo de tempo:
$I=\dfrac{dQ}{dt}$
A carga que passa num pedaço de barra de comprimento

e secção

, se

é a densidade de carga e

a carga:

Ou seja,
$I=nAq\dfrac{ds}{dt}$

Portanto:
$\vec{F}=Il(\hat{v_d}*\vec{B})$
Para o problema do António, a direção dos eletrões é perpendicular à do campo. Então, ficamos simplesmente com:
$m\dfrac{dv}{dt}=IlB$
(Tanta coisa para chegar a esta fórmula que toda a gente conhece... Estou mesmo em baixo de forma...)

Física do circuito:

A barra começa com velocidade não nula. Então, vai existir uma variação do fluxo magnético pelo loop do circuito. Pela lei de Faraday:
$\epsilon=-\dfrac{\phi_b}{dt}=-B\dfrac{dA}{dt}$
Em que

denota a área coberta pelo loop, que varia no tempo, isto é:
$A(t)=l*\int v(t)dt$
Ou, mais agradável:
$\dfrac{dA}{dt}=lv(t)$
Simultaneamente, usando a dica do criador:
$\epsilon=L*\dfrac{dI}{dt}$
Então temos (kirchoff):
$L*\dfrac{dI}{dt}=-Blv(t)$

Física do Movimento:

Chegámos a duas equações a duas incógnitas (

e

):
$m\dfrac{dv}{dt}=IlB$
$L*\dfrac{dI}{dt}=-Blv(t)$

Se derivamos a de cima em ordem ao tempo ficamos com:
$\dfrac{dI}{dt}=\dfrac{m}{Bl}\dfrac{d^2v}{dt^2}$
Podemos substituir isto na de baixo para chegarmos a:
$\dfrac{d^2v}{dt^2}=-\dfrac{B^2l^2}{mL}v$
(Espero não em ter enganado em nenhum sinal...)

Ou seja,
$v(t)=Ae^{i \omega t}+Be^{-i \omega t}$
Em que:
$\omega^2=\dfrac{B^2l^2}{mL}$
E

são constantes iniciais.
Estabelecendo que:
v(0)=v_0