Só para acabar o ano :)

Problemas simples, mas interessantes!

Só para acabar o ano :)

Mensagempor antonio_carneiro em Quarta Dez 31, 2014 1:45 am

Bem, vou deixar aqui um problema, para acabarmos bem o ano :)

Uma barra é colocada sobre dois condutores paralelos unidos por um indutor de indutância L. A distância entre os condutores é l, e a massa da barra é m. A barra tem resistência desprezável, e desliza sem atrito sobre os carris condutores. Existe ainda um campo magnético de intensidade B e que aponta para baixo. Qual a lei do movimento da barra, em função dos parâmetros fornecidos, se lhe aplicarmos uma velocidade inicial v_{0} ? :)
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Re: Só para acabar o ano :)

Mensagempor jap em Quarta Dez 31, 2014 3:17 pm

Um clássico! :lol:

Abraço e votos de um bom Ano Novo, António!

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Re: Só para acabar o ano :)

Mensagempor antonio_carneiro em Quarta Dez 31, 2014 4:33 pm

Obrigado e igualmente professor :)
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Re: Só para acabar o ano :)

Mensagempor xpt0x em Quarta Dez 31, 2014 5:22 pm

Onde é que eu já vi isto xD
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Re: Só para acabar o ano :)

Mensagempor antonio_carneiro em Quarta Dez 31, 2014 8:49 pm

É bastante provável que já o tenhas visto xD
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Re: Só para acabar o ano :)

Mensagempor joaofrme em Quinta Jan 01, 2015 10:50 pm

realmente não sei onde é que possas já ter visto este
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Re: Só para acabar o ano :)

Mensagempor antonio_carneiro em Quinta Jan 08, 2015 6:54 pm

Rui e Joao, este nao e o problema da pdf, se estao a pensar nisso xD Alguém que tente :3
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Re: Só para acabar o ano :)

Mensagempor joaofrme em Quinta Jan 08, 2015 7:23 pm

A sério!! Não tinha reparado :lol:
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Re: Só para acabar o ano :)

Mensagempor antonio_carneiro em Quinta Jan 08, 2015 10:44 pm

João, resolve isto, vamos a acordar a malta ;)
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Re: Só para acabar o ano :)

Mensagempor antonio_carneiro em Sexta Jan 16, 2015 6:07 pm

Vamos la malta, eu dou uma ajuda :) A diferenca de potencial que existe num indutor é dada por: U=L*\frac{dI}{dt}
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Re: Só para acabar o ano :)

Mensagempor duarte.magano em Sexta Fev 06, 2015 1:02 am

Olá!
Tenho de admitir que, ao olhar para este problema, me senti envergonhado ao descobrir o quanto estava esquecido do meu EM... (no primeiro semestre só se dá Mecânica)
Bem, aqui vai uma proposta de resolução:

Física da Barra:

Pela lei de Lorentz, temos que a força que atua numa carga de valor q com drift velocity \vec{v_d} num campo magnético \vec{B} é:
\vec{F}=q(\vec{v_d}*\vec{B})=q\dfrac{ds}{dt}(\hat{v_d}*\vec{B})
Para obtermos a força numa barra inteira podemos multiplicar isto pelo número total de cargas (todas têm a mesma dv e carga):
\vec{F}=Nq\dfrac{ds}{dt}(\hat{v_d}*\vec{B})
Se n é a densidade de carga, A a secção e l o comprimento da barra, dizemos que:
N=n*Al
Ou seja,
\vec{F}=nAlq\dfrac{ds}{dt}(\hat{v_d}*\vec{B})

Agora, a corrente elétrica I é definida como a carga que passa numa secção A por intervalo de tempo:
I=\dfrac{dQ}{dt}
A carga que passa num pedaço de barra de comprimento ds e secção A, se n é a densidade de carga e q a carga:
dQ=nAq*ds
Ou seja,
I=nAq\dfrac{ds}{dt}

Portanto:
\vec{F}=Il(\hat{v_d}*\vec{B})
Para o problema do António, a direção dos eletrões é perpendicular à do campo. Então, ficamos simplesmente com:
m\dfrac{dv}{dt}=IlB
(Tanta coisa para chegar a esta fórmula que toda a gente conhece... Estou mesmo em baixo de forma...)

Física do circuito:

A barra começa com velocidade não nula. Então, vai existir uma variação do fluxo magnético pelo loop do circuito. Pela lei de Faraday:
\epsilon=-\dfrac{\phi_b}{dt}=-B\dfrac{dA}{dt}
Em que A denota a área coberta pelo loop, que varia no tempo, isto é:
A(t)=l*\int v(t)dt
Ou, mais agradável:
\dfrac{dA}{dt}=lv(t)
Simultaneamente, usando a dica do criador:
\epsilon=L*\dfrac{dI}{dt}
Então temos (kirchoff):
L*\dfrac{dI}{dt}=-Blv(t)

Física do Movimento:

Chegámos a duas equações a duas incógnitas (I e v):
m\dfrac{dv}{dt}=IlB
L*\dfrac{dI}{dt}=-Blv(t)

Se derivamos a de cima em ordem ao tempo ficamos com:
\dfrac{dI}{dt}=\dfrac{m}{Bl}\dfrac{d^2v}{dt^2}
Podemos substituir isto na de baixo para chegarmos a:
\dfrac{d^2v}{dt^2}=-\dfrac{B^2l^2}{mL}v
(Espero não em ter enganado em nenhum sinal...)

Ou seja,
v(t)=Ae^{i \omega t}+Be^{-i \omega t}
Em que:
\omega^2=\dfrac{B^2l^2}{mL}
E A B são constantes iniciais.
Estabelecendo que:
v(0)=v_0
a(0)=0 (isto está bem, certo?)
Ficamos com:
v_0=A+B
A=B

Então:
v(t)=\dfrac{v_0}{2}(e^{i \omega t}+e^{-i \omega t})
Ou:
v(t)=v_0cos(wt)
Portanto:
x(t)=\dfrac{v_0}{\omega}sin(wt)+x_0

Que dizes?
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Re: Só para acabar o ano :)

Mensagempor antonio_carneiro em Domingo Fev 08, 2015 5:03 pm

Sim, acho que é mesmo isso ^^ Espetáculo!! :hands:
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Re: Só para acabar o ano :)

Mensagempor duarte.magano em Domingo Fev 08, 2015 10:39 pm

antonio_carneiro Escreveu:Sim, acho que é mesmo isso ^^ Espetáculo!! :hands:


Yes!!! :D
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Re: Só para acabar o ano :)

Mensagempor joaofrme em Segunda Fev 09, 2015 1:32 pm

Pois, I feel your pain, eu ia fazer e depois pensei pera lá como é que a eletricidade funciona? E depois pensei alguém há de resolver
Um acelerador de partículas é como um comboio com pessoas a morrer.
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Re: Só para acabar o ano :)

Mensagempor xpt0x em Terça Fev 10, 2015 9:22 pm

joaofrme Escreveu:Depois pensei pera lá como é que a eletricidade funciona?


Totalmente :lol:
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