Coleção de cartas

[leandrosilva]

Recentemente andei a rever alguns dos livros que tenho sobre matemática e física e encontrei a seguinte questão:

Supondo que existe uma coleção de cartas com 50 cartas, em média, quantas cartas são necessárias comprar para completar a coleção? (Contando com a possibilidade evidente de serem compradas cartas iguais, é claro.)

Sintam-se livres para fazerem as vossas estimativas

[jap]

Boa questão.
Claro que se supõe que o vendedor das cartas não rarefaz a oferta de algumas cartas, para aumentar as vendas...

[gonced8]

Estive a pensar um bocadinho no problema e tive a ideia de uma possível resolução, no entanto, não a consigo resolver de modo a chegar a uma solução.
A ideia era resolver como se fosse uma distribuição binomial, passo a demonstrar:

Onde x = nº de cartas necessárias comprar.
Consegui desenvolver um pouco a expressão mas depois fiquei "preso" aqui, porque dá um cálculo gigante:

A ideia era depois num gráfico ver para que valor de x o p tendia para 1.
Talvez seja uma resolução um pouco aldrabada.
Mas também me deparo com algumas questões. A solução do problema depende um bocado de sorte ou, matematicamente falando, da probabilidade de conseguirmos as 50 cartas. Seria um acontecimento quase impossível, mas uma pessoa poderia comprar 50 cartas e essas 50 cartas serem a coleção inteira.
E, usando o modelo binomial, a partir de que valor de probabilidade podemos considerar provável conseguir as 50 cartas ao fim de x tentativas?
Preciso que alguém mostre aqui uma resolução porque fiquei ainda mais confuso.

[manuelbrandao99]

Deu-me 76, é uma boa aproximação?
Se não for, escuso de postar a resolução xD

[leandrosilva]

Não, não é uma boa aproximação (76 está um pouco longe de ser a solução)

@gonced8
O teu método parece razoável. Se bem que pareces estar a complicar. (Apesar de não estar habituado à resolução de distribuição binomial)
Nota que no enunciado coloquei "em média", pelo que podes chegar a um valor médio e à sua incerteza.
Possuo a resolução do problema, mas diria que quero esperar um pouco para ver se alguém consegue resolver.

Que tal uma/duas semana(s) ?

O spoiler contem uma sugestão.

Sugestão: O melhor seria pensar na probabilidade de a carta comprada ser "nova" na coleção.

[manuelbrandao99]

Não, não é uma boa aproximação (76 está um pouco longe de ser a solução)

@gonced8
O teu método parece razoável. Se bem que pareces estar a complicar. (Apesar de não estar habituado à resolução de distribuição binomial)
Nota que no enunciado coloquei "em média", pelo que podes chegar a um valor médio e à sua incerteza.
Possuo a resolução do problema, mas diria que quero esperar um pouco para ver se alguém consegue resolver.

Que tal uma/duas semana(s) ?

Sugestão: O melhor seria pensar na probabilidade de a carta comprada ser "nova" na coleção.

A probabilidade da primeira carta comprada ser nova é 1, da segunda é 49/50, 48/50, 47/50,...,1/50.
Ou seja a probabilidade de conseguir com 50 cartas é 49*48*...*1/50^50...
A probabilidade de conseguir com 51 é 49^2*48*...*1/50^51, com 52 é 49^3*48*...*1/50^52...
EDIT: E com n é 49^(n-49)*48*47*...*1/50^n
Até aqui estou certo??

Peço desculpa se estiver a dizer um bando de barbaridades, estou no 10º ano...

[leandrosilva]

50^n ?
Porque usas potência aqui?

Não estás no caminho totalmente correto, mas não andas assim tão longe.

Não ajudarei muito mais, contudo, caso contrário fica fácil

PS: Não estás a dizer assim tantas barbaridades, para alguém no 10º já pareces ter um método de resolução razoável. Faltam, contudo, (aparentemente) conhecimentos de certas àreas na matemática, o mesmo vale para mim (ando no 11º). (Receio que o ensino secundário seja bastante superficial em alguns conteúdos).

[manuelbrandao99]

50^n ?
Porque usas potência aqui?

Não estás no caminho totalmente correto, mas não andas assim tão longe.

Não ajudarei muito mais, contudo, caso contrário fica fácil

PS: Não estás a dizer assim tantas barbaridades, para alguém no 10º já pareces ter um método de resolução razoável. Faltam, contudo, (aparentemente) conhecimentos de certas àreas na matemática, o mesmo vale para mim (ando no 11º). (Receio que o ensino secundário seja bastante superficial em alguns conteúdos).

50^n porque estive a multiplicar 49/50*48/50... sempre assim e uma multiplicação de frações a/b*c/d é (a*c)/(b*d)

[leandrosilva]

Oops.

Right, não tinha reparado nesse pormenor.

Deixar-te-ei a pensar no problema, considera um desafio :')

[gonced8]

Estive a pensar mais um pouco no problema. Antes de mais, desculpem não meter os cálculos "bonitos", mas estou no telemóvel.
A probabilidade de comprarmos 50 cartas e obtermos logo a coleção inteira é, como já foi dito, de 50!/(50^50).
Vou agora arriscar e dizer que podemos obter o n° de cartas necessárias comprar através de uma regra 3 simples:
1 * 50 / (50!/(50^50)) = (50^50)/49! ~ 1.46*10^22
Eu tenho quase a certeza que o raciocínio está mal, mas não perco nada em tentar.

[leandrosilva]

Não tenho a certeza quanto à probabilidade de obter logo a coleção inteira, não gosto muito do ^50, podes explicar um pouco?

Quanto ao resultado em baixo, tal como dizes, está errado, seria um número absurdo, pobres miúdos que fazem coleção
Deixar-te-ei a pensar, parece-me razoável

O que dizes quanto a publicar a solução daqui a uma/duas semanas, Gonçalo?
Não estou certo quanto ao tempo que devo esperar...

[gonced8]

Publica daqui a uma semana (ou o mais cedo possível).
50/50 * 49/50 * 48/50 * ... * 1/50 = (50*49*48*...*1) / (50*50*50*...*50) = 50!/(50^50)
E, sinceramente, não estou a conseguir ver como é que é a resolução

[gonced8]

De repente, surgiu-me uma ideia para este problema e vou aqui partilhá-la.
A probabilidade de a primeira carta ser nova na coleção é de 1.
A probabilidade de a segunda carta ser nova na coleção é de 49/50, a da terceira ser nova é de 48/50, a da quarta ser nova é de 47/50... e assim em diante até à de última ser nova que é de 1/50.
Ao comprarmos uma carta há a hipótese de ser nova na coleção ou não, por isso, quando compramos a segunda, pode calhar uma repetida ou uma das 49 outras novas. Na terceira pode calhar uma das 2 repetidas ou umas das 48 outras novas. ...
Por isso, penso que ao comprarmos a segunda carta, devíamos comprar 2 cartas; ao comprarmos a terceira carta, devíamos comprar 3 cartas... e assim até comprarmos quinquagésima carta.
1+2+3+4+5+6+...+47+48+49+50 = S(50)=50*(1+50)/2 = 1275 cartas
Penso que isto pode ser um valor aproximado do nº de cartas que precisaríamos de comprar para completar a coleção, no entanto, também estou um pouco inseguro.

[leandrosilva]

Raciocínio interessante.
No entanto, aconselho a reveres algumas partes.

A resposta esta errada.

[gonced8]

Penso que talvez tenha chegado à solução:
A probabilidade de a 1ª carta ser nova é de 1.
A probabilidade de comprar a 2ª carta nova é de 49/50, ou, por outras "palavras", (50-1)/50.
A probabilidade de comprar a 3ª carta nova é de 48/50, (50-2)/50.
Ou seja, a probabilidade de comprar a xª carta nova é de (50-(x-1))/50.
Eu ainda não sabia isto, mas depois de alguma pesquisa, aprendi que a probabilidade de comprar uma carta nova pode ser descrita por uma distribuição geométrica, pois há reposição e a probabilidade vai variando (acho que estou a dizer isto bem).
Ora numa distribuição geométrica, o valor médio ou valor esperado é dado por E(X)=1/P.
Neste caso, este cálculo dar-nos ia quantas cartas teríamos de comprar para obter 1 carta nova, por isso, temos que fazer o cálculo correspondente a cada uma das 50 cartas e depois somar todos. Teríamos:

Em que x representa uma carta nova (quando x=1 representa a 1ª carta nova, x=2 a 2ª carta nova...)
O total de cartas necessárias comprar é dado pela soma dos valores de E(x) , x={1,2,3,...,50}:






Por isso, se o raciocínio e os cálculos estiverem bem, seria preciso comprar aproximadamente 225 cartas para que se completasse a coleção.