Campo elétrico num cilindro com cavidade

por **joaofrme** em Terça Abr 22, 2014 7:42 pm

Assim acho que fica bem, isto é o mais perceptível que eu consegui se tiverem alguma dúvida sobre o que eu escrevi não hesitem em perguntar:

Considerando uma superfície Gaussiana cilíndrica com o mesmo eixo do cilindro grande e de raio

:
Se o cilindro não tivesse um buraco:

$Q_i_n_t=\rho\times\pi r^2 h$
$\oint\vec E*d\vec A=E(2\pi r h)$
$E(2\pi r h)=\dfrac{\rho\times\pi r^2 h}{\epsilon _ 0}\Leftrightarrow E=\dfrac{\rho r}{2\epsilon_0}$

Considerando uma superfície Gaussiana cilíndrica com o mesmo eixo da cavidade e de raio $\dfrac{r}{2}$ e que a cavidade tem a mesma densidade de carga:

$Q_i_n_t=\rho\times\pi (\dfrac{r}{2})^2 h$
$\oint\vec E*d\vec A=E(2\pi (\dfrac{r}{2}) h)$
$E(2\pi (\dfrac{r}{2}) h)=\dfrac{\rho\times\pi (\dfrac{r}{2})^2 h}{\epsilon _ 0}\Leftrightarrow E=\dfrac{\rho r}{4\epsilon_0}$
Para teres o campo total somas vectorialmente:

$\vec E_t_o_t_a_l=\vec E_c_i_l_i_n_d_r_o+\vec E_c_a_v_i_d_a_d_e=\dfrac{\rho}{2\epsilon_0}\vec r+\dfrac{\rho }{4\epsilon_0}\vec a$
$\vec a$ tem a direção do raio da cavidade: $\vec a=\vec r - \dfrac{r}{2}\hat r$

$\vec E_t_o_t_a_l=\dfrac{\rho}{2\epsilon_0}(\vec r -\vec r + \dfrac{r}{2}\hat r)=\dfrac{\rho}{4\epsilon_0}\vec r$

EDIT: Já corrigi para o cilindro

por **antonio_carneiro** em Terça Abr 22, 2014 9:18 pm

Não estou a perceber porque é que sendo um cilindro estás a usar uma superfície gaussiana que é uma superfície esférica :s Nem porque consideraste o volume como sendo (4/3)pir^3 :s

por **ajcoelho** em Terça Abr 22, 2014 9:22 pm

joaofrme Escreveu:Assim acho que fica bem, isto é o mais perceptível que eu consegui se tiverem alguma dúvida sobre o que eu escrevi não hesitem em perguntar:

Considerando uma superfície Gaussiana cilíndrica com o mesmo eixo do cilindro grande e de raio :
Se o cilindro não tivesse um buraco:

$Q_i_n_t=\rho\times\dfrac{4}{3}\times\pi r^3$
$\oint\vec E*d\vec A=E(4\pi r^2)$
$E(4\pi r^2)=\dfrac{\rho\times\dfrac{4}{3}\times\pi r^3}{\epsilon _ 0}\Leftrightarrow E=\dfrac{\rho r}{3\epsilon_0}$

Quando calculas a carga interna aqui, estás a considerar o volume de uma esfera... :s e na área tás a considerar a área da superfície esférica, quando na verdade isto é um cilindro. Ou seja, resolveste tudo como se fosse para uma cavidade existente numa esfera. Mas o raciocínio para este problema exato do cilindro deve ser análogo, penso eu...
Só uma questão: porque é que se define o vetor a? Porque é que o versor que multiplica pelo campo criado pela cavidade não é o mesmo que o do campor criado pelo cilindro?.. Era mesmo aí que deixava de perceber as soluções da Prof. Lucília

EDIT: Sorry, nao tinha visto a tua resposta, António, devia tar a escrever a minha

por **joaofrme** em Terça Abr 22, 2014 9:51 pm

Desculpem, é que tava a resolver outro exercício que era com uma esfera e baralhei os dois.

por **joaofrme** em Terça Abr 22, 2014 9:52 pm

Eu pus o vetor a porque me deu mais geito. Assim tinha uma simetria boa para fazer o campo da cavidade. Bastava depois mudar a variável. Mas é possível andar com o r de um lado para o outro.

por **duarte.magano** em Segunda Maio 05, 2014 6:38 pm

joaofrme Escreveu: $\vec E_t_o_t_a_l=\dfrac{\rho}{4\epsilon_0}\vec r$

Não acham curioso que o campo dentro da concavidade seja independente do raio da concavidade, mas dependa apenas da sua posição no cilindro?

por **joaofrme** em Segunda Maio 05, 2014 8:53 pm

Sim, mas faz um certo sentido, a cavidade não tem carga. Logo aquilo que vai influenciar a carga dentro da cavidade será o cilindro e o campo da cavidade dependerá apenas da sua posição dentro do cilindro.

por **duarte.magano** em Segunda Maio 05, 2014 9:01 pm

joaofrme Escreveu:Sim, mas faz um certo sentido, a cavidade não tem carga. Logo aquilo que vai influenciar a carga dentro da cavidade será o cilindro e o campo da cavidade dependerá apenas da sua posição dentro do cilindro.

Mas, uma cavidade maior implica um volume de cilindro carregado menor, isto é, menos carga… mas o campo não se altera.

por **ritamcosta** em Terça Maio 06, 2014 6:46 am

E essas questões não estão já compreendidas quando defines a densidade de carga...? É que eu diria que sim, daí não aparecer o raio na expressão final... Ou não?

por **ritamcosta** em Terça Maio 06, 2014 6:51 am

Não, esquece, tens razão

por **joaofrme** em Terça Maio 06, 2014 4:55 pm

Não, repara no coeficiente. Primeiramente eu calculei como se o cilindro estivesse cheio e o coeficiente era 1/2. Quando meto a cavidade fica 1/4. O que faz sentido, como não há carga vai decrescer mais rapidamente.

por **duarte.magano** em Terça Maio 06, 2014 5:54 pm

joaofrme Escreveu:Não, repara no coeficiente. Primeiramente eu calculei como se o cilindro estivesse cheio e o coeficiente era 1/2. Quando meto a cavidade fica 1/4. O que faz sentido, como não há carga vai decrescer mais rapidamente.

Não percebi isso. Ao longo da resolução, utilizas sempre a mesmo densidade de carga.
Em:
$\vec E_t_o_t_a_l=\dfrac{\rho}{4\epsilon_0}\vec r$
$\rho$ não depende do tamanho da concavidade.
Imagina que tens um cilindro com densidade uniforme de carga. Aí, podes "escavar" uma cavidade de um tamanho qualquer de raio menor ou igual a R/4 que o campo lá dentro vai ser sempre o mesmo.

por **joaofrme** em Terça Maio 06, 2014 9:06 pm

Não nota que tens a expressão: $E=\dfrac{\rho r}{2\epsilon_0}$ para o campo do cilindro se ele fosse cheio em que aparece um 2 no denominador e na expressão final: $\vec E_t_o_t_a_l=\dfrac{\rho}{4\epsilon_0}\vec r$ , aparece um 4 no denominador porque o raio era 1/2 do raio inicial. O campo final depende do tamanho da cavidade.

por **duarte.magano** em Sexta Maio 09, 2014 7:32 pm

joaofrme Escreveu:Não nota que tens a expressão: $E=\dfrac{\rho r}{2\epsilon_0}$ para o campo do cilindro se ele fosse cheio em que aparece um 2 no denominador e na expressão final: $\vec E_t_o_t_a_l=\dfrac{\rho}{4\epsilon_0}\vec r$ , aparece um 4 no denominador porque o raio era 1/2 do raio inicial. O campo final depende do tamanho da cavidade.

Vou insistir (desculpa): o 4 que aparece no denominador vem do facto de o centro da cavidade estar a uma distância de R/2 do centro do cilindro, não de ter metade do raio. Uma cavidade mais pequena daria o mesmo resultado se estivesse localizada no mesmo sítio. Verifiquem as minhas contas, por favor..

por **joaofrme** em Segunda Maio 12, 2014 1:29 pm

Sim, já percebi e já sei o problema. Na minha resolução há um erro. A origem do vetor r/2 não é no centro do cilindro mas sim no centro da cavidade, é a mesma origem do vetor a. Ou seja, depende do sítio onde está a cavidade.

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