Como calcular a esfera de influência de um astro?

[gonced8]

Bom dia, tenho estado com esta dúvida à qual não consigo responder nem encontrar resposta. Como é que calculo a esfera de influência da gravidade de um astro? Por outras palavras, como é que calculo a que distância do centro desse astro, a força gravítica é tão fraca que deixa de influenciar a órbita de um corpo?
Eu sei que o alcance da força gravítica é praticamente infinito mas se conseguimos calcular a "escape velocity", também conseguiremos calcular a tal distância em que a força gravítica é tão fraca que deixa de influenciar.
Calcular a velocidade para escapar a um astro é fácil, basta equivaler a energia cinética ao simétrico da energia potencial (Eci+Epi=Ecf+Epf <=>, como a energia cinética final é 0 e a energia potencial final também é 0, segue-se <=> Eci=-Epi , o que nos dá uma velocidade para escapar ao corpo que orbitamos).
Se conseguimos calcular uma velocidade também devíamos conseguir calcular uma distância na qual a gravidade do astro deixa de influenciar, ou seja, a energia potencial é 0.
Eu já estive a pensar como calcular essa distância mas não consigo lá chegar.
Ep=0 , através desta equação não vou lado nenhum (penso eu).
A minha outra hipótese seria descobrir essa distância da mesma forma que descubro o ponto mais distante numa órbita elíptica, através de um sistema com a conservação de energia mecânica e a conservação de momentum angular. Penso que desta forma conseguiria obter uma distância e assim, saber a esfera de influência mas também penso que há uma forma mais fácil que desconheço.
Agradeço qualquer resposta e espero que consigam responder a esta minha pergunta. Peço desculpa se cometi algum erro científico enquanto apresentava a questão.
Abraço

[joaofrme]

O complicado dessa questão é como é que defines "perder a influência", porque a solução de Ep=0 é r a tender para infinito. A questão quando é que consideras que a influência gravítica é tão pequena que é desprezável. O mais fácil seria definir uma aceleração tal em que o corpo praticamente não se movesse. A partir daí igualavas a aceleração à expressão gravítica e era fácil descobrir a distância em função da massa criadora do campo gravítico. O problema é qual o valor da aceleração desprezável. E isso não sei responder.
De outra forma é impossível porque teoricamente essa influência existe sempre, pois o campo gravítico tem alcance infinito.
Espero que já tenha ajudado alguma coisa, mas mais do que isto ainda não sei.

[gonced8]

Obrigado pela ajuda João. Essa distância é talvez indefinível devido ao alcance infinito da força gravítica. De qualquer maneira, obrigado pela resposta. Se alguma vez tiver que calcular essa distância farei como tu disseste e igualarei a uma aceleração desprezável.

[joaofrme]

De nada. è que realmente não vejo outra forma de o fazer

[carloscouto]

Talvez uma aceleração de deva ser insignificante que chegue não ?

O resto é simples, tendo a massa do objecto (m) e do astro (M) facilmente calculas a distância máxima onde terá a aceleração que pretendes (r) usando a fórmula da Força de Gravitação Universal, e por último a 2ª Lei de Newton, já que Fr = Fg no espaço, .

Substituindo isto tudo, tens que , em metros.

Era isto que pretendias ?

PS: Caso queiras adoptar outro valor de a, substituis o 0,001 pelo que desejares. Se houver algum erro/falha de raciocínio apitem.

EDIT: Ups, lapso meu, nem precisas da massa do objecto pois estas cortam-se na equação.

[gonced8]

Isso é uma hipótese de calcular No entanto, acho que mesmo assim uma aceleração de 0,001 m/s^2 ainda era muito grande
Uma outra hipótese de que me lembrei e funciona entre dois corpos é fazer uma equação em que igualemos as duas forças gravíticas.
Imaginemos o caso do sistema Terra-Sol. Poderíamos calcular a que distância da Terra a força gavítica do Sol passa a ser mais forte que a da Terra e vice-versa. É simples, basta utilizar a Lei da Gravitação Universal de Newton (que tu já mostrste). Igualávamos duas forças gravíticas e num dos termos tínhamos rt (distância de um corpo até ao centro da Terra) e no outro tínhamos rs-rt (a distância desde o centro do Sol até ao centro da Terra menos a distância de um corpo até ao centro da Terra (o que nos dá a distância desde o corpo até o centro do Sol)).
Acho que também poderíamos calcular esta tal distância desta forma.
No caso de desconhecermos o sistema completo de forças a que o corpo em órbita está sujeito podemos sempre obter um valor aproximado da tal distância fazendo através método que apresentaste

[carloscouto]

Andei a pesquisar na net e também vi essa maneira, o único senão é que terias de ter a massa da estrela onde o astro orbitava e quanto menos variáveis puderes evitar melhor, mas é sem dúvida uma opção viável

[carloscouto]

Hoje enquanto deambulava pela Wikipédia encontrei isto:

De forma simplificada, sejam S o primário e P o corpo do qual se deseja determinar o raio de influência. O raio de influência é a distância a P na qual considerar o movimento de um terceiro corpo como orbitando o primário S ou como orbitando o corpo P produz o mesmo termo de erro na equação do movimento.

em que:
é o semi-eixo maior da órbita de P em torno de S
e são as massas, respectivamente, de P e S.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Esfera_de_influ%C3%AAncia_(astrodin%C3%A2mica)

Usando o sistema Terra-Sol-Nave conseguirias calcular o momento preciso em que a nave deixaria de estar influenciada pela gravidade terrestre. ( Deixaria vá, onde a influencia era mínima comparada com a do Sol)

[gonced8]

Acho que isso vai dar ao mesmo de fazer aquela tal equação mas essa fórmula é definitivamente mais fácil!

[carloscouto]

Só mesmo vendo, ora se:
Dados:

-
-
-

Pela fórmula da esfera de influência:

Pela igualação das Forças gravíticas ainda não tive tempo de fazer, mas o pouco que fiz deu-me uma equação enorme (devo estar a fazer algo mal)

Até agora tenho isto:

- é a massa do corpo, que é irrelevante.
- é massa do Sol
- é a massa da Terra
- é a distância do limite da esfera de influencia ao Sol
- é a distância do limite da esfera de influência à Terra aka o raio de influência
- é a distância da Terra ao Sol, UA



Agora sabemos que

Assim:

Usa-se o Quadrado do binómio e etc, fica:


E agora ? :/ Já tentei de várias maneiras isolar o mas todas sem sucesso.

EDIT:
Fui ao Wolfram Alpha ver o que conseguia ver e a solução da equação dá um valor da mesma ordem de grandeza mas muito abaixo (inferior que a distância da Lua à Terra, o que é absurdo).

Wolfram Alpha

[gonced8]

Pois... Eu também fiz os cálculos e da maneira que eu disse deu uma distância de aproximadamente 2.588*10^8 metros.
Tal como tu dizes e, se eu não me engano, é uma distância inferior à distância da Lua à Terra...
Sinceramente não sei porque é que esta equação falha mas ainda bem que indicaste aquela outra

[gonced8]

Tive outra ideia maluca enquanto tomava banho
A Lua consegue orbitar a Terra àquela distância por uma simples razão... a sua MASSA!
A Lua tem uma massa que não é desprezável pois cria um campo gravítico significativamente forte quando comparado com o da Terra.
Ora vejamos:



é maior distância da Lua à Terra (apogeu)



é a menor distância da Lua ao Sol (a menor distância da Terra ao Sol - a maior distância da Lua à Terra)

Como podemos observar pelos cálculos, até no ponto em que a Lua está mais perto do Sol (Perélio), a força gravítica da Terra é maior do que a força gravítica do Sol, daí ela continuar a orbitar a Terra.
E, se isto estiver correto, aqueles outros cálculos não estão totalmente mal (apesar de serem uma aproximação "barata" ).
Que achas?
[EDIT - Tem um erro]

[carloscouto]

Primeiramente, descobri que há outra fórmula ainda mais exata de obter a esfera de influência, é a esfera de Hill, que já tem em conta a excentridade da órbita do corpo secundário á volta do primário.
A fórmula para o cálculo da esfera de Hill é dada por:

onde
é o raio da esfera de Hill centrada no corpo secundário
é o comprimento do eixo maior da órbita (elíptica) do corpo secundário
é a excentricidade da órbita do corpo secundário
é a massa do corpo secundário
é a massa do corpo principal

Fonte: Esfera de Hill

Segundamente, eu acho que o erro não é de calculo mas sim de raciocínio, nós estamos a igualar as duas forças gravíticas e tentar obter o ponto a partir do qual o corpo é afectado igualmente por ambos os corpos contudo poderemos estar a negligenciar algo. Só não sei o quê

[carloscouto]

Tive outra ideia maluca enquanto tomava banho
A Lua consegue orbitar a Terra àquela distância por uma simples razão... a sua MASSA!
A Lua tem uma massa que não é desprezável pois cria um campo gravítico significativamente forte quando comparado com o da Terra.

Mas a massa do 3º corpo ao igualarmos as expressões corta-se o que significa que a expressão é independente da massa do 3º corpo

[gonced8]

Fui confirmar os cálculos e tinha um erro. Enganei-me a introduzir os dados e deu um resultado errado. Aqui está o correto:



Por isso, a minha teoria vai por água abaixo...
Mas agora tenho mais dúvidas:
- Porque é que a fórmula não funciona?
- Como é possível o Sol exercer (segundo os cálculos) uma força gravítica na Lua maior do que a Terra? Sendo assim não faz muito sentido a Lua continuar a orbitar a Terra...

Deves ter razão quando dizes que devemos estar a "negligenciar algo"