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Problemas simples, mas interessantes!

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Mensagempor Feijó em Segunda Maio 24, 2010 4:10 pm

Bem, não só não sei a solução para este problema como também não sei bem como formular o próprio problema. Mas o Ivo sugeriu aqui no fórum que "postássemos" problemas do dia-a-dia :) Portanto fica o desafio.

Imaginem um jogo de vólei, o jogador vai iniciar a jogada com um serviço. A rede tem altura h1 (costuma ter à volta de 2,43 metros, só para terem uma referência xD) que está a uma distância d (9 metros) do final do campo, ou seja, do sítio de onde o jogador vai servir.
A bola tem massa m (e, se não me engano, podemos apenas considerar o movimento do seu CM).
Também deve ser preciso considerar o comprimento do braço do jogador, seja L (não sei se alguém percebe alguma coisa sobre a distribuição de massa no braço ou sobre massa muscular :S).

Não sei se vão ser precisas mais constantes (como por exemplo o ângulo com que a mão do jogador bate na bola (considerem a mão do jogador plana))... mas se forem preciso inventem-nas xD

Fica a pergunta já previsível: quais são as equações que descrevem o movimento possível da bola (que é aquele que passa a rede xD) em função das várias constantes? Ou seja, quais são as equações que descrevem o movimento em função das constantes que podemos controlar?


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Re: Volley

Mensagempor RicardoCampos em Segunda Maio 24, 2010 9:36 pm

Acho que isso é bastante standard se ignorares coisas como distribuição de massa no braço e considerares apenas que o jogador faz um impulso \vec{I}=\vec{F}\Delta t

Depois são as típicas equações do movimento bidimensional com aceleração gravítica.

Acho que interessante seria especular sobre qual seria o serviço optimo, porque o nosso interesse não se limita em fazer com que a bola passe o meio campo. É suposto dificultar a vida aos nossos adversários
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Re: Volley

Mensagempor Cynary em Domingo Maio 30, 2010 4:02 pm

Achei este problema interessante, por isso decidi desenvolvê-lo um pouco :P (também gostaria de saber se a minha solução está correcta xD)

Objectivo: descobrir a força e ângulo ideais de lançamento de uma bola.
Situação ideal:
- No momento em que a bola passa na rede, esta tem a mesma altura que a rede (h).
- A bola toca no chão na linha final do campo (dado que a distância da rede ao final do campo é d, então a bola toca no chão à distância d do campo).
Dados:
Tempo de impacto mão-bola: ti
Altura da rede: h
Comprimento do campo: 2d
Altura inicial da bola: hi (altura a que a bola está a ser segurada pelo jogador)
Resistência do ar desprezável.
Tempo que demora a atingir 2d: tf
Módulo da aceleração gravítica: g
Massa da bola: mb

Para aqueles que têm dificuldades em fazer contas com variáveis apenas, pode usar estes valores:
g = 9,8 m/s²
ti = 3,0*10⁻² s
tf = 4,00 s
h = 2,00 m
hi = 1,00 m
d = 4,00 m
mb = 1,00*10⁻¹kg

(sei que podem não corresponder à realidade, apenas estão aqui para facilitar cálculos. O objectivo do problema é mesmo resolver com as variáveis).

O problema é fácil de resolver, mas envolve pensar um pouco, por isso achei interessante.
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Re: Volley

Mensagempor filipematos em Domingo Jan 15, 2012 9:52 pm

Achei bastante interessante esta proposta :) Vou tentar resolve-la e talvez fazer uma simulação para estudar os pontos fracos do campo adversário :p Mas primeiro vou resolver e postar aqui o resultado :p
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Re: Volley

Mensagempor filipematos em Domingo Jan 15, 2012 10:21 pm

Acho que já resolvi :) Ainda tentei ir com os dados mesmo mas depois o ângulo deu-me uma coisa impossível e fui mesmo pelas variáveis :) Mais tarde percebi que o ângulo tinha dado em radianos( por ter estado a estudar matemática e ter configurado a máquina para tal). Resolvi assim o problema em função de todas as variáveis. Acho que era interessante fazer uma simulação, tomando as actuais variáveis, variáveis :p. Vou só ver como se põe fórmulas aqui e já posto a minha proposta de resolução
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Re: Volley

Mensagempor filipematos em Segunda Jan 16, 2012 8:50 pm

Os resultados que me deram são um pouco complexos (chatos) tudo porque usei as variáveis :). Aqui estão os resultados a que cheguei:
Através das equações do movimento da bola:
\\x= v_{x} \cdot t_{f} 
\\
\ y = \frac{g}{2} t^2 + v_{y}\cdot t_{f} + h_{i}

Para começar vou partir do que queremos:

\\
F = m_{b} \cdot \frac{v_{0}}{t_{i}}\\
v_{0} = \sqrt{v_{x}^2+v_{y}^2}\\
v_{y} = v_{0}\cdot \sin\alpha\\
v_{x} = v_{0}\cdot \cos\alpha\\
\text Portanto \ \alpha = \cos^-1(\frac{v_{x}}{v_{0}})

Agora a partir da segunda equação podemos construir um sistema que nos permita descobrir o t_{f} e a v_{y} que me deu como resultado:
\\
t_{f} = \sqrt{(8h + 4h_{i} \setminus g)}
 \\
v_{y} = \sqrt{4\cdot g \cdot h_{i} + 4h \cdot g + \frac{h_{i}^2 \cdot g}{8h + 4h_{i}}
A partir daqui basta estabelecer as primeiras relações Força e Velocidades com estes resultados

Se alguma coisa estiver mal (ou tudo) avisem ... Eu acho que o raciocínio está correcto. Vou tentar fazer com base nestes resultados uma simulação que me dê a força e o ângulo necessário para as condições puser ( altura na zona da rede e ponto em que cai no chão, juntamente com massas, medidas do campo, g...)
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Re: Volley

Mensagempor ruifm em Terça Jan 17, 2012 5:02 pm

filipematos Escreveu:\\
F = m_{b} \cdot \frac{v_{0}}{t_{i}}\\
v_{0} = \sqrt{v_{x}^2+v_{y}^2}\\
v_{y} = v_{0}\cdot \sin\alpha\\
v_{x} = v_{0}\cdot \cos\alpha\\
\text Portanto \ \alpha = \cos^-1(\frac{v_{x}}{v_{0}})

eu não percebi a parte da \\
F = m_{b} \cdot \frac{v_{0}}{t_{i}}
Apesar de não usares muito esta equação, F=ma, e $a=\frac{dv}{d{{t}_{i}}}$, logo $a\ne \frac{{{v}_{0}}}{{{t}_{i}}}$
Eu sei que pode parecer um promenor, mas não podes dividir a velocidade por um instante. Não sei até que ponto isso é relevante :wall:
Vou agora ver o resto
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Re: Volley

Mensagempor filipematos em Terça Jan 17, 2012 6:23 pm

Mas a diferença das velocidades vai ser igual a isso pois a bola começa de repouso
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Re: Volley

Mensagempor ruifm em Terça Jan 17, 2012 6:54 pm

filipematos Escreveu:Mas a diferença das velocidades vai ser igual a isso pois a bola começa de repouso

se a bola começa em repouso ti=0 s. não podes dividir por 0. Só derivar. Vi na tua apresentação que estás no 11º. Não sei se já abordaste o tema em matemática (ou nos delfos), mas neste caso usa-se a derivação (que é dividir por um intrevalo de tempo quase 0. A aceleração é "mede" diferença das velocidades num intervalo de tempo de quase 0.
$\begin{align}
  & a(t)=\frac{dv}{dt} \\ 
 & v(t)=\frac{dx}{dt} \\ 
\end{align}$
O que fizeste está certo em termos lógicos, só que isto é um preciosismo xD
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Re: Volley

Mensagempor ruifm em Terça Jan 17, 2012 7:53 pm

tambem arranjei um sistema na base:
h=hi+sen(a)vt-(gt^2)/(2), no qual t é o que x(t)=d
e 2d=vcos(a)tvoo, no qual tvoo é o zero da eq de y(t) [é necessario usar a formula resolvente]
Depois isolei na priemeita expressão "v". Substitui a expressão de v, na segunda equação. e deu-me uma equação enorme na qual a unica variavel era o angulo a. Nunca atribui valores as constantes (h, d, hi) o que tornou as equaçoes cada vez mais longas.
No final deparei-me com uma equaçoes com uns 15 termos no qual uns eram tg^2(a), outros tg(a) e outros independentes. Acebei por aplicar a formula resolvente. Ficou uma conta ainda maior que nunca nunca me cabia na folha (epico). Simplifiquei todas as costantes que consegi, mas não dava para fazer muito, era o caos.
Desisti, fui à calculadora, substitui pelos valores deste topico na expressão mais simplificada que consegui. Fiz arctg(a) e a maquina deu-me erro: data type. Que não faço ideia do que seja. Tanto trabalho para nada lol. Era mais matemática que outra coisa xD.
And now I should rest
Até é muito simples se a bola partir duma altura 0. Ficamos sem termo independente e não precisamos de usar formula resolvente. Caso hi=0, a=arctan((2h)/d) e
v=\sqrt{\frac{dg}{\cos(\arctan(\frac{2h}{d})\sin(\arctan(\frac{2h}{d})}}
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Re: Volley

Mensagempor filipematos em Terça Jan 17, 2012 8:58 pm

Mas que confusão... Eu acho que resolvi bem e não usei arctan
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Re: Volley

Mensagempor Bruno Oliveira em Terça Jan 17, 2012 9:04 pm

ruifm Escreveu:
filipematos Escreveu:Mas a diferença das velocidades vai ser igual a isso pois a bola começa de repouso

se a bola começa em repouso ti=0 s. não podes dividir por 0. Só derivar. Vi na tua apresentação que estás no 11º. Não sei se já abordaste o tema em matemática (ou nos delfos), mas neste caso usa-se a derivação (que é dividir por um intrevalo de tempo quase 0. A aceleração é "mede" diferença das velocidades num intervalo de tempo de quase 0.
$\begin{align}
  & a(t)=\frac{dv}{dt} \\ 
 & v(t)=\frac{dx}{dt} \\ 
\end{align}$
O que fizeste está certo em termos lógicos, só que isto é um preciosismo xD


Intervalo de tempo quase 0 = intervalo de tempo infinitesimal.

A definição formal de derivada de uma função f em relação à variável independente x é: {df \over dx} = lim_{\under \Delta x \to 0} {\Delta f \over \Delta x}
e^{ix}=cos x + i\,sin x
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Re: Volley

Mensagempor filipematos em Terça Jan 17, 2012 9:08 pm

Sim eu conheço as derivadas e sei derivar, mas acho que não havia necessidade para complicar... Mas o resto da resolução está correcta? Acho que o raciocínio deve estar pode é ter havido um erro de cálculo no sistema, vou ver se amanhá o resolvo utilizando cas
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Re: Volley

Mensagempor Bruno Oliveira em Terça Jan 17, 2012 9:08 pm

No que se refere ao problema, é um tipico lançamento de projectéis e não tem nada de complicado... :roll:

Só umas continhas para treinarem a vossa álgebra...

No que se refere à análise da situação física, sugiro uma simulação em Excel, é a melhor maneira de visualizar tudo :D
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Re: Volley

Mensagempor filipematos em Terça Jan 17, 2012 9:10 pm

Eu pensei em fazer uma simulação mesmo em python, onde pudesse-mos variar todos os factores ( principalmente a altura máxima e o local onde cai no chão) em vpython!!
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