Gravidade em uma linha

Problemas simples, mas interessantes!

Gravidade em uma linha

Mensagempor rigillescherrer em Sábado Jan 15, 2011 12:03 am

Imagine um universo unidimensional, na ponta de uma linha com massa igual a m tamanho total igual a d e densidade uniforme, com qual força a partícula que está na ponta da linha seria impelida em direção ao centro da mesma?
Dica:
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor hexphreak em Segunda Jan 17, 2011 6:15 pm

Não sei se percebi muito bem o problema... O universo tem mesmo que ser unidimensional? Não basta perguntar qual é a força na ponta de uma recta de massa m e comprimento d?

A tua dica também me confunde um bocadinho, porque isto parece-me uma integração simples sobre toda a linha para obter a força numa partícula \mathrm{d}m a uma distância d/2 do centro. Embora, assim de cabeça, me pareça que este integral diverge :roll:
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor rigillescherrer em Segunda Jan 17, 2011 6:58 pm

Não precisa ser unidimensional mesmo, mas eu acho que é mais fácil imaginar uma linha com massa em uma dimensão do que com duas ou três.
Na minha resolução eu considerei a força exercida por cada partícula na da ponta, depois eu te mando ela. (Por MP)
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor hexphreak em Segunda Jan 17, 2011 8:12 pm

O problema com isso é que para uma partícula de massa \mu a uma distância r \ge d/2 do centro da linha tens:

\displaystyle F = \int_{-d/2}^{d/2} G {\mu \over (r-x)^2} {m \over d}\,\mathrm{d}x = {G\mu m \over d} \left( {1 \over r-x} \right|_{-d/2}^{d/2} = {G\mu m \over d} {d^2 \over r^2 - (d/2)^2}

Para a partícula na ponta da linha, r = d/2 e a força vai para \infty... :roll:
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor hexphreak em Segunda Jan 17, 2011 9:22 pm

hexphreak Escreveu:O problema com isso é que para uma partícula de massa \mu a uma distância r \ge d/2 do centro da linha tens:

\displaystyle F = \int_{-d/2}^{d/2} G {\mu \over (r-x)^2} {m \over d}\,\mathrm{d}x = {G\mu m \over d} \left( {1 \over r-x} \right|_{-d/2}^{d/2} = {G\mu m \over d} {d^2 \over r^2 - (d/2)^2}

Para a partícula na ponta da linha, r = d/2 e a força vai para \infty... :roll:

Por outro lado, \mu \to 0, e a solução que o Rígille me enviou parece-me correcta, pelo que é possível que o problema tenha uma resposta bem definida :)

Dica adicional para quem quer resolver:
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor Tharis em Segunda Jan 17, 2011 10:47 pm

Pois, a minha approach foi igual à do Henrique e o integral divergia...
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor Bernardo em Segunda Jan 17, 2011 11:33 pm

A massa da ponta da corda é m\over N, porque a corda está dividida em N secções.
A secção que está a uma distância 1 da ponta da corda, cuja massa é também m\over N, exerce nesta uma força F={{({m\over N})\times({m\over N})\times G}\over 1^2}
O somatório de todas as forças deve ser \displaystyle\sum_{i=1}^{d}F = {{({m\over N})\times({m\over N})\times G}\over 1^2} + ... +{{({m\over N})\times({m\over N})\times G}\over d^2}=({{({m\over N})\times({m\over N})\times G}})\times ({{1\over 1^2}+...+{1\over d^2}})

Será que esta minha ideia está certa?

PS: É impressão minha ou aquilo é \zeta(2)
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor hexphreak em Segunda Jan 17, 2011 11:41 pm

Bernardo,

A tua ideia está certíssima. No entanto, as distâncias que usaste não estão exactamente correctas: d é o comprimento da linha, pelo que a distância da k-ésima partícula, k = 0,\ldots,N-1, à ponta é kd/(N-1). Concordas? :wink:

Agora podes escrever a solução final no limite em que N \to \infty, sabendo que \zeta(2) = \pi^2/6 (podes tentar provar, mas não é muito fácil :P).
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor Bernardo em Terça Jan 18, 2011 8:30 am

Não consigo arranjar um raciocínio que me leve a concordar contigo :s. Para mim seria algo do género de {k\times d}\over N, k = 2,3,4,5,...,N, porque nós dividimos a corda em N bocados e não devíamos contar o primeiro bocado, daí k não ser avaliado como 1. Devo estar errado, podes explicar o teu raciocínio?
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor hexphreak em Terça Jan 18, 2011 12:12 pm

Se a corda estiver dividida em N secções, tens de facto razão. Mas nesse caso há N+1 massas. E repara que k=1 não corresponde à massa da ponta, porque essa está a uma distância zero dela própria...
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor Bernardo em Terça Jan 18, 2011 1:38 pm

A distância,D, da ponta até a uma secção qualquer, k, é dada por D_k={{k\times d}\over  (N-1), logo F_k = {{{{m\over N}\times {m\over N}}\times G}\over {{D_k}^2}}

Portanto, \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}F_k= {{{{m\over N}\times {m\over N}}\times G}\over {{D_1}^2}}+...+{{{{m\over N}\times {m\over N}}\times G}\over {{{D_{N-1}}^2}}= {({{{m\over N}\times {m\over N}}\times G})}\times ({{{1\over{{({d\over {N-1}})}^2} + {({2d\over {N-1}}^2)} + ... + {d^2}})= \lim_ {({{{m\over N}\times {m\over N}}\times G})}\times ({{1\over ({{{d}\over{N-1}})^2}})\times ({1\over 1^2} + {1\over 2^2} + ... + {1\over d^2})

É isto? agora faço \displaystyle\lim_{N\to\infty}   ?
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor hexphreak em Terça Jan 18, 2011 1:47 pm

Sim, ou seja, rearranjando a tua expressão para ser mais fácil:

\displaystyle F = {Gm^2 \over d^2} \lim_{N \to \infty} {(N-1)^2 \over N^2} \sum_{k=1}^{N-1} {1 \over k^2}

Consegues calcular este limite? :wink:
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor Bernardo em Terça Jan 18, 2011 4:54 pm

Pelo o que sei tenho quase a certeza que esse limite dá 1. O limite do somatório é à mesma \zeta(2) = {{\pi^2}\over 6}? Penso que a função zeta não leva a mal ser \infty -1 em vez de \infty. Se levar a mal não sei o que fazer xD.
\displaystyle\sum_{i=1}^{N-1} F_k = {{G} \times {m^2}\times {\pi^2}\over {6\times d^2}
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor hexphreak em Terça Jan 18, 2011 5:05 pm

Não leva a mal, não :lol: O teu resultado está correcto! :wink:
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor hexphreak em Terça Jan 18, 2011 5:31 pm

Sugiro agora uma alteração do problema: se em vez de uma linha tiverem um anel de raio R, qual é a força sentida por qualquer partícula do anel? :roll:

A geometria pode atrapalhar um bocadinho, ou pode aparecer uma série esquisita que não saibam calcular: se for o caso, coloquem aqui para tentarmos resolver a dúvida :)
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