Na vida de um redilhão especial, o Lanião!

Problemas simples, mas interessantes!

Na vida de um redilhão especial, o Lanião!

Mensagempor Ivo_Timóteo em Sexta Jul 16, 2010 10:48 pm

Os redilhões são seres muito ocupados que andam sempre de um lado para o outro e que vivem em países formados por muitas cidades dispostas em anel. Estas cidades estão ligadas às suas cidades vizinhas por auto-estradas que, por motivos administrativos, têm, ainda assim, que passar pelo centro do anel.

Acontece que os redilhões vivem exclusivamente das trocas que realizam com as outras cidades e nunca inventaram transportes porque são muito bons corredores [conseguem correr 1 km em 5 \mu s]. Outro fenómeno engraçado é que quando estão satisfeitos não realizam trocas e aproveitam para descansar e gozar a vida.

Um dia apareceu um redilhão muito especial chamado Lanião que decidiu fundar o seu país! O Lanião queria ter o país mais próspero e com maior capacidade de comércio mas sempre com uma vontade de justiça extrema. Assim, o Lanião decidiu que ia ter um redilhão, que era um corredor nato, chamado Toquião a percorrer todas as cidades por ordem e, apenas quando ele lá estivesse é que elas podiam realizar comércio. O Toquião passava 100 \mu s em cada cidade e durante esse tempo podiam sair da cidade quantos redilhões comerciantes quantos quisessem sabendo que as autoestradas só suportavam 100000000 redilhões/s. No entanto, após saírem todos redilhões que queriam sair de uma cidade [e fazem-no o mais rápido possível], o Toquião faz-se logo ao caminho!

O Lanião já decidiu que o raio do seu país vai ser de 3 km mas está intrigado sobre qual é o número máximo de cidades que poderá ter para que consiga garantir que o número mínimo de redilhões comerciantes que poderão sair de cada cidade em cada segundo seja 1600000.

Como o Lanião não é Físico nem Engenheiro, decidiu começar por questões mais simples:
1- Qual é o máximo de redilhões que podem sair de uma cidade de cada vez que passa por lá o Toquião? E por segundo?
2- Qual é o mínimo garantido de redilhões que podem sair por segundo? [que quererá dizer o "mínimo garantido"?]
3- Qual será a eficiência máxima? E a mínima? [eficiência aqui? como?]
4- Qual o intervalo máximo que uma cidade tem de esperar pelo Toquião? E mínimo?
9- [é mais difícil] Qual é o número máximo de redilhões que conseguem sair de uma cidade que ocupa sempre todo o tempo do Toquião sabendo que a média de redilhões comerciantes a passear pelas autoestradas é de 60000000 redilhões/s?
10- Ajuda o Lanião a encontrar a sua resposta! [Número máximo de cidades]
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Re: Na vida de um redilhão especial, o Lanião!

Mensagempor jap em Sábado Jul 17, 2010 11:13 am

:hands:

Gostei do problema! :D
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Re: Na vida de um redilhão especial, o Lanião!

Mensagempor Bernardo em Domingo Jul 18, 2010 4:58 pm

1) Como todas as cidades se encontram a 3Km do centro, porque estão inscritas na circunferência(pelo que percebi), qualquer redilhão tem de "andar" 6Km depois de sair de uma cidade para chegar a outra, portanto os redilhões demoram 30\mu s a sair da autoestrada. Apenas 100 milhões de redilhões podem andar na autoestrada por segundo. Isso significa que em 30 \mu s só 300 redilhões é que podem sair da cidade. Numa visita do Toquião podem sair 1200 - 1 redilhões(para o Toquião poder sair). Depois o próprio Toquião demora 30 \mu s a mudar de cidade, portanto um ciclo demora 130 \mu s e nele saem 1200 - 1 redilhões da cidade onde está o Toquião. O toquião num segundo faz 7692 ciclos mais 40 \mu s noutra cidade, ou seja 7692(1200-1)+600=9223308




Penso que isto está errado, mas de qualquer modo coloco aqui.
Penso que para haver um mínimo garantido de redilhões a sair por segundo, o Toquião teria de passar em cada cidade um tempo, t, a tender para 0, de modo a passar o tempo mínimo em cada cidade e passar a maior parte do seu tempo a viajar.
Na alínea 4 a respota não é igual para os dois? Penso isto, porque o Toquião anda numa determinada rota, só voltando a uma cidade quando repete a rota.

EDIT: Corrigir o problema das unidades(para não cria novo post)
última vez editado por Bernardo s Segunda Jul 19, 2010 9:38 am, editado 1 vez no total
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Re: Na vida de um redilhão especial, o Lanião!

Mensagempor Ivo_Timóteo em Segunda Jul 19, 2010 12:25 am

Atenção que \mu s \neq ms!

Bernardo Escreveu:Penso que para haver um mínimo garantido de redilhões a sair por segundo, o Toquião teria de passar em cada cidade um tempo, t, a tender para 0, de modo a passar o tempo mínimo em cada cidade e passar a maior parte do seu tempo a viajar.

Na pergunta 2:
2- Qual é o mínimo garantido de redilhões que podem sair por segundo?

Pretendo saber qual o mínimo garantido de redilhões que podem sair por segundo de uma dada cidade :)
Mais uma vez levanto a questão, o que será o mínimo garantido de redilhões que podem sair?

Bernardo Escreveu:Na alínea 4 a respota não é igual para os dois? Penso isto, porque o Toquião anda numa determinada rota, só voltando a uma cidade quando repete a rota.

Eu vou todos os dias para a faculdade e nem sempre demoro o mesmo tempo... :)
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Re: Na vida de um redilhão especial, o Lanião!

Mensagempor Bernardo em Segunda Jul 19, 2010 10:36 am

2) O mínimo garantido penso que seja o número de redilhões que saem de uma dada cidade independentemente do tempo que fica lá o Toquião. O caso em que isto acontece é quando o Toquião entra na cidade e descobre que eles estão a gozar a vida ("Outro fenómeno engraçado é que quando estão satisfeitos não realizam trocas e aproveitam para descansar e gozar a vida"), portanto não se realizam trocas e ele vai-se embora. Como já entraram 300 redilhões na auto-estrada, o Toquião tem que esperar 30 \mu s para poder sair da cidade. Após esse tempo apenas ele sai e ele demora 30\mu s para chegar a outra cidade. Isto significa que em 60\mu s saem 300 redilhões de uma cidade. Assumindo que isto se repete num segundo vão sair ao todo (16666 \times 300) + 300 = 5000100

3) A eficiência que se procura é relativamente à capacidade máxima da auto-estrada certo?
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Re: Na vida de um redilhão especial, o Lanião!

Mensagempor Ivo_Timóteo em Sexta Set 24, 2010 10:00 am

Prometo recomeçar este tópico em breve agora que estou definitivamente de volta a Portugal (continental!) :D
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Re: Na vida de um redilhão especial, o Lanião!

Mensagempor jap em Sexta Set 24, 2010 6:46 pm

Ivo_Timóteo Escreveu:Prometo recomeçar este tópico em breve agora que estou definitivamente de volta a Portugal (continental!) :D


Welcome back, Ivo! :D
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