Uma questão de neutralidade

Problemas simples, mas interessantes!

Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor Feijó em Segunda Maio 17, 2010 11:47 pm

jap Escreveu:
Já agora, para aqueles com maior inclinação para charadas matemáticas:

Consideremos dois corpos massivos homogéneos, esféricos, de raios R e r e massas M e m. A distância entre os centros dos dois corpos é D.

Em que condições é que existe (na linha que une os centros dos dois corpos, entre o centro de um corpo e o centro do outro)

a) um só ponto neutro e onde é que ele se situa?
b) exactamente dois pontos neutros?
c) três pontos neutros?

Poderá não existir um ponto neutro? :roll:


Ontem fui para a cama a pensar neste problema giríssimo (até porque a minha reacçao aos outros foi "what the hell?! I cant't solve this!") e cheguei a fazer umas continhas.
Aqui ficam da forma mais primordial possível (fórmulas por extenso a bold -.-).

x é a distancia a que o ponto está do centro de massa da esfera E1 (M, R). A outra esfera é E2 (m, r).
´
Para igualar as forças (ou seja, para o campo gravitico ser zero) x é igual a D/(1mais a raiz (M/m)).
Isto para um ponto fora das esferas.

Se estiver dentro da esfera E1, e considerando que a densidade é constante em toda a esfera:
a densidade é calculada por M/(quatro terços de pi (R) ao cubo).
a força gravítica é (a densidade vezes o volume quatro terços de pi (x) ao cubo)/(x ao quadrado) = Mx/(R ao cubo), o que confirma o que o Prof disse sobre a variação da força gravítiva ser linear em função da distância.

igualando Mx/(R ao cubo)=m/((D-x)ao quadrado), temos, claro, que Mx.((D-x)) ao quadrado=m(R)ao cubo.
Em função de x desenvolve-se uma expressão de terceiro grau para a qual nºao tenho ainda formúla resolvente (suponho que os imaginários dêem para alguma coisa?? contai-me novos mundos :)).
No entanto, se considerarmos o caso dos planets, D>>R e, como R>x, x=m(R)ao cubo/M(D) ao quadrado

Substituindo R por r , M por m e m por M, tem-se a fórmula para um ponto dentro de E2.


Assim, no caso de D>>R e D>>r, haverá sempre 3 pontos neutros.
Mas será fácil a gedankenexperiment de um planeta enorme cujo raio seja quase igual à distância do seu Cm ao Cm do outro planeta. Nestas condições o que disse anteriormente não se verificaria (a partir daqui preciso mesmo de uma fórmula resolvente de terceiro grau para poder deduzir tudo).

Outro impeditivo À existência de 3 pontos neutros ´seria a existência de diferentes camadas com difernetes densidades (como de facto existem).

Dito isto:
1-devo ter cometido vários crimes de lógica física, pelos quais vou ser chacinado no próximo quark
2- aulas de tec precisam-se (francisco oferece-te)


Cumps!!

PS: esqueci-me de dizer que estou a tomar como premissa o teorema de newton enunciado por ampat!!
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor Cynary em Domingo Maio 30, 2010 5:13 pm

Achei este problema interessante, e decidi submeter a minha solução elegante para o ponto neutro, ignorando a ideia do campo gravítico diminuir quando penetramos num planeta:
dT -- distância do centro da Terra ao ponto neutro.
D -- distância do centro da Terra ao centro da Lua
Ml -- massa da lua
MT -- massa da Terra

dT = \frac{D}{\sqrt{\frac{Ml}{Mt}}+1}
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor danidias7 em Sábado Set 11, 2010 4:54 pm

Cynary, não consegui chegar à tua equação...já estive a rever os meus cálculos. Alguém me pode explicar?

Já agora, um problema bastante engraçado!
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