Atração fatal

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Re: Atração fatal

Mensagempor Tharis em Sábado Fev 20, 2010 2:07 am

Penso que esta forma foi a que o ampat sugeriu.

v = \frac{2 \pi r}{T}, a = \frac{v^2}{r} = \frac{4 \pi^2 r}{T^2}
F = ma = m \frac{4 \pi^2 r}{T^2} = k \frac{qQ}{r^2} \Leftrightarrow T = \sqrt{\frac{4 \pi^2 m r^3}{kq^2}}

Aplicando ao caso do problema, T = \sqrt{\frac{4 \pi^2 m_e (\eta L/2)^3}{kq^2}}, com \eta igual ao post anterior. No entanto, este T é o período de uma órbita completa, pelo que a solução será T/2

No caso do protão, consideramos o Protão o foco e que este não se move (M >> m). Para o positrão, dividimos em 2 situações (que são equivalentes uma vez que as massas são iguais), uma em que o electrão está parado e tem de percorrer L/4 e outra em que o electrão e o positrão trocam de lugares. Somamos os valores da situação e temos a solução.

Substituindo os valores para os dois casos aparece:

Protão + Electrão -> 0.069689s
Positrão + Electrão -> 0.049318s

EDIT Acabei de editar o Protão + Electrão. Continha um typo crasso. Obrigado ampat! ;)
última vez editado por Tharis s Sábado Fev 20, 2010 12:35 pm, editado 1 vez no total
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Re: Atração fatal

Mensagempor ampat em Sábado Fev 20, 2010 6:51 am

Consegui chegar ao tempo da colisão de outra maneira, através da energia cinética ganha pela partícula. O cálculo recorreu a um integral chatinho, mas no fim deu tdo certo. Passo a explicar, omitindo a parte da resolução de integrais.

Chamemos à particula inicialmente na origem partícula 1, à partícula em x=L partícula 2 e às respectivas massas M e m.

Do meu post sobre o centro de massa, ficamos a saber que a colisão terá que se dar no centro de massa do sistema das duas partículas, ou seja, em

x_{CM}= \frac{ mL}{M+m}

Nós sabemos, para cada posição da partícula 1, a expressão que nos dá a força que nela actua.

F_{1}=\frac {Kq^2+GmM}{(x_{2}-x_{1})^2}

Mas, do meu post anterior, também sabemos que

x_{2}=\frac{mL-Mx_{1}}{m} \Rightarrow   x_{2}-x_{1}=\frac{mL-(M+m)x_{1}}{m} = L- \eta x_{1}

Logo, para a força vem

F_{1}=\frac {Kq^2+GmM}{ (L- \eta x_{1})^2} = \frac {C}{ (L- \eta x_{1})^2}

Por outro lado, sabemos que W=\int_{a}^{b} F \mathrm{d}r = \Delta E_{c}

Assim, podemos formar o integral

W=\int_{0}^{x_{1}}  \frac {C}{ (L- \eta x_{1})^2} dx_{1} = \frac{M v_{1}^2}{2} = \frac{ M}{2} (\frac{\mathrm{d}x_{1}}{\mathrm{d} t})^2

Nota: À parte o abuso de notação no limite superior de integração, acho que está correcto :)


Resolvido este integral, ficamos com uma equação diferencial que relaciona \frac{\mathrm{d}x_{1}}{\mathrm{d} t} com x_{1}:

\frac {C}{L}  (\frac {x_{1} }{ L- \eta x_{1}}) = \frac{ M}{2} (\frac{\mathrm{d}x_{1}}{\mathrm{d} t})^2


Podemos voltar a integrar esta expressão dos dois lados em ordem a x_{1} e a t, com limites superiores de integração x_{CM} e t_{c}, respectivamente:

\int_{0}^{x_{CM}} \sqrt{  \frac { \frac{L}{\eta}- x_{1}}{x_{1} } }dx_{1}  = \int_{0}^{t_{c}} \sqrt{  \frac { 2C}{ LM\eta} } dt


Por fim, ficamos com a fórmula que nos dá o tempo de colisão.

t_{c}= \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \sqrt{  \frac {L^3 M }{C \eta} }  = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}  \sqrt{  \frac {L^3 M m }{ (Kq^2+GmM )(M+m)} }

que, podem verificar, é exactamente a mesma que a do professor. :wink:


PS: Tharis, no teu post o tempo de colisão protão-electrão está aproximadamente \sqrt{2} vezes maior que o tempo correcto.
última vez editado por ampat s Domingo Fev 21, 2010 6:33 pm, editado 2 vezes no total
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Re: Atração fatal

Mensagempor jap em Sábado Fev 20, 2010 12:40 pm

Parabéns, André! :hands:

Muito boa, essa solução! :wink:

E gostei também muito da forma como o Francisco atacou o problema! :hands: De facto, desprezando a atracção gravitacional e para o caso de uma das partículas ser muito mais massiva do que a outro (protão, electrão), a análise dimensional permite obter uma resposta bastante próxima da correcta com um mínimo de esforço! :lol:


Um tricky que foi atacado com muita eficácia por uma boa equipa de quarkianos! :hurra:
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Re: Atração fatal

Mensagempor ampat em Sábado Fev 20, 2010 1:16 pm

De facto, gostei bastante da forma como o Francisco resolveu o problema usando análise dimensional :D . Mas penso que só é assim tão simples no caso de desprezarmos as forças gravíticas. Eu ainda tentei durante um minuto ou dois resolver por análise dimensional, incluindo a força gravítica, mas dada o numero de incógnitas do problema preferi não o fazer. :lol:
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Re: Atração fatal

Mensagempor Tharis em Sábado Fev 20, 2010 2:08 pm

@ampat, também podes meter a força gravítica ao barulho na análise dimensional, no entanto, no resultado a que cheguei, esta não altera nada o resultado (mas pronto, é uma aproximação).

Se reparares, estou apenas a pegar nos intervenientes da força, multiplicar umas coisas para anular unidades que não me interessam e aplicar a raiz ao segundo quadrado.

F_T = F_e + F_g = k_e \frac{qQ}{r^2} + G \frac{mM}{r^2} = \frac{k_e q Q + G m M}{r^2}

O resultado vem em N \leftrightarrow kg \text{ } m \text{ } s^{-2}. Fazendo o inverso da força e multiplicando por m e r e de seguida a raiz, ficamos com t = \sqrt {\frac{m r^3}{k_e q Q + G m M}}. Se reparares, o termo da força gravítica terá ordem de grandeza 10^{-67}.

BTW, a tua solução está definitivamente muito boa! :hands: Eu queria ter tentado pela conservação da energia, só que sou muito muito newbie em integrais. ;) Outra que queria ter tentado era a integrar a acereleração e depois a velocidade para tirar x(t), mas não estou a conseguir.
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Re: Atração fatal

Mensagempor ampat em Sábado Fev 20, 2010 2:18 pm

Tharis Escreveu:BTW, a tua solução está definitivamente muito boa! :hands:


Obrigado. :wink:

Tharis Escreveu: Eu queria ter tentado pela conservação da energia, só que sou muito muito newbie em integrais. ;) Outra que queria ter tentado era a integrar a acereleração e depois a velocidade para tirar x(t), mas não estou a conseguir.


Desconfio que a equação diferencial que relaciona a força e a aceleração não é resolúvel analiticamente. Digo 'desconfio' porque não tenho mesmo a certeza, visto que nunca estudei realmente equações diferenciais. :)

Já agora, que método de 'ataque' ao problema é que o professor tinha em mente? Era diferente dos que usámos?:)
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Re: Atração fatal

Mensagempor jap em Domingo Fev 21, 2010 3:57 pm

ampat Escreveu:Desconfio que a equação diferencial que relaciona a força e a aceleração não é resolúvel analiticamente. Digo 'desconfio' porque não tenho mesmo a certeza, visto que nunca estudei realmente equações diferenciais. :)

Já agora, que método de 'ataque' ao problema é que o professor tinha em mente? Era diferente dos que usámos?:)


É possível obter a função t(x) analiticamente com alguma facilidade... tentar obter x(t) a partir da equação diferencial é bem mais difícil! :lol:

Vou colocar aqui daqui a pouco a minha resolução. :wink:
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Re: Atração fatal

Mensagempor ampat em Domingo Fev 21, 2010 6:58 pm

Pois, era isso que eu queria dizer. Ficamos à espera da sua resolução :)
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Re: Atração fatal

Mensagempor jap em Domingo Fev 21, 2010 9:15 pm

Vou considerar o problema de uma forma geral:

partícula 1: massa e carga m_1 e q_1

partícula 2: massa e carga m_2 e q_2


Da conservação da energia,


\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \left( Gm_1m_2-kq_1q_2\right)\left( \frac{1}{x_2-x_1}-\frac{1}{L}}     \right)


Definindo x = x_2 - x_1 e v = v_2 - v_1 (distância e velocidade relativas entre as partículas 2 e 1) e atendendo a que m_1v_1 + m_2v_2 = 0, podemos concluir que

\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}v^2

e da equação da conservação da energia resulta que

v^2  = 2Gm_t (1-\eta)\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{L}\right)

onde m_t = m_1 + m_2 e \eta = \frac{kq_1q_2}{Gm_1m_2}


A equação para v é

v = - \sqrt{\frac{Gm_t(1-\eta)}{L}}\sqrt{2\frac{1-\frac{x}{L}}{\frac{x}{L}}}

ou ainda

v = - L\sqrt{\frac{Gm_t(1-\eta)}{L^3}}\sqrt{2\frac{1-\frac{x}{L}}{\frac{x}{L}}}

Reconhecendo L e T = \sqrt{\frac{L^3}{Gm_t(1-\eta)}} como as unidades adequadas ao nosso problema, vamos passar a medir o tempo em unidades de T (em vez de segundos) e o espaço em unidades de L (e não em metros).

Para não haver confusão, nestas unidades a coordenada relativa e o tempo serão denotados x^\prime e t^\prime.

Se usarmos estas unidades a equação acima toma a forma

\frac{dx^\prime}{dt^\prime} = -\sqrt{\frac{2(1-x^\prime)}{x^\prime}}

ou ainda

\sqrt{\frac{x^\prime}{(1-x^\prime)}} dx^\prime= -\sqrt 2 dt^\prime

e agora é só integrar ambos os membros da equação. Para primitivar o lado esquerdo, usar a substituição

x^\prime = \cos^2\theta (não esquecer que x^\prime varia entre 1 e 0).

Depois de alguma pequena álgebra,o resultado é o seguinte:

t^\prime = \frac{1}{\sqrt 2}\left ( \sqrt { x^\prime(1-x^\prime) }+ \arccos \sqrt x^\prime \right )

Testemos se esta solução faz sentido:

para x^\prime = 1 devemos ter t^\prime = 0; OK

para x^\prime = 0, devemos ter o tempo de colisão t^\prime = \frac{\arccos(0)}{\sqrt 2} = \frac{\pi}{2\sqrt 2}

ou, voltando a usar a unidade de segundo,

t_{\rm colisao} = t^\prime \times T =  \frac{\pi}{2\sqrt 2}\sqrt{\frac{L^3}{Gm_t(1-\eta)}}

o que bate certo com os vossos cálculos!

Já agora, alguém faz o favor de verificar se a expressão acima para t^\prime(x^\prime) segue bem os resultados das simulações numéricas? :XD

Curiosamente, embora seja relativamente fácil obter a expressão t^\prime(x^\prime), como poderão verificar, a expressão não é facilmente invertível analiticamente, portanto não me peçam a expressão analítica para x^\prime(t^\prime)! :lol:

:swet:
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Re: Atração fatal

Mensagempor ampat em Domingo Fev 21, 2010 10:18 pm

Uau! :hands:

Gostei imenso da sua resolução, principalmente da simplicidade que se obtém em adoptar unidades adequadas ao problema. Já me disseram bastantes vezes que realmente, simplifica os cálculos, mas nada como ver um bom exemplo disso. :)

O resultado obtido segue exactamente os obtidos por simulação numérica ( ou os numéricos é que seguem exactamente o obtido aqui...) :D
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Re: Atração fatal

Mensagempor blackroger em Quarta Fev 24, 2010 1:19 am

Professor, e se integrássemos a aceleração ao longo do caminho (fazendo integral de linha, sabendo que era em linha recta) e soubéssemos a aceleração total. Assim, pela cinemática, tínhamos o tempo?
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Re: Atração fatal

Mensagempor jap em Quarta Fev 24, 2010 3:24 pm

blackroger Escreveu:Professor, e se integrássemos a aceleração ao longo do caminho (fazendo integral de linha, sabendo que era em linha recta) e soubéssemos a aceleração total. Assim, pela cinemática, tínhamos o tempo?


SIm, podes integrar directamente a aceleração...o resultado é o mesmo, of course. :wink:
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