Uma questão de neutralidade

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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Fev 11, 2010 10:41 am

RicardoCampos Escreveu:Hum... Pensando melhor, seja F_T(d) a força que a terra exerce em nós e F_L(d) a força que a Lua exerce em nós, em função da distância d de nós ao centro da Terra (estou a considerar que nos movemos só na recta que une os centros).

Ora, se o sinal de F_T(d)-F_L(d) for negativo, estamos a ser atraídos pela Lua. Se for positivo, estamos a ser atraídos pela Terra.

Seja R_T o raio da Terra.

Ora, obviamente F_T(R_T)-F_L(R_T)>0. Mas por outro lado F_T(0)-F_L(0)= -F_L(0)<0.

Logo, pelo teorema do valor intermédio, há um ponto algures no interior da Terra onde as duas forças são iguais.

Mas pelos vistos poderíamos fazer um raciocínio semelhante para a Lua e haveria um ponto neutro dentro da Lua também, não?


Assim já não teríamos 2 pontos neutros, mas sim 3 :lol:

O que me parece é que recorrendo simplesmente a equilibrio das forças gravíticas que a Terra exerce no corpo e que a Lua exerce no corpo, temos, seguramente, 1 ponto neutro na recta que une os centros. O que me leva a pensar que a existência de um 2º ponto neutro nesse mesma recta entre a Terra e a Lua, tem de se dever a mais qualquer coisa... :roll:

ETA: Vamos ler Júlio Verne? :P
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor ampat em Quinta Fev 11, 2010 12:36 pm

Se não ignorarmos o movimento de rotação do sistema Terra-Lua, existem, de facto, 3 pontos de equilíbrio sobre a recta que une os centros de massa da Terra e da Lua. Mas acho que existe unicamente um ponto entre o centro da Terra e o centro da Lua, sendo que um dos outros pontos de equilibrio se situa para lá da Lua e o outro fica ainda um bocado afastado da Terra mas no sentido oposto. Talvez esteja a ignorar alguma coisa que não devia... :?

Estive a ler uma coisa sobre pontos de Lagrange. Será que pode ajudar?:)
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Fev 11, 2010 2:47 pm

ampat Escreveu:Se não ignorarmos o movimento de rotação do sistema Terra-Lua, existem, de facto, 3 pontos de equilíbrio sobre a recta que une os centros de massa da Terra e da Lua. Mas acho que existe unicamente um ponto entre o centro da Terra e o centro da Lua, sendo que um dos outros pontos de equilibrio se situa para lá da Lua e o outro fica ainda um bocado afastado da Terra mas no sentido oposto. Talvez esteja a ignorar alguma coisa que não devia... :?

Estive a ler uma coisa sobre pontos de Lagrange. Será que pode ajudar?:)


Um ponto entre a Terra e a Lua e um ponto para lá da Lua, foram valores de distância correspondentes com os valores que obtive na minha simulação pitónica de ontem à noite! :lol: Mas, segundo o prof. JAP, para lá da Lua não vale, o que significa que nos está a escapar qualquer coisa que por sinal pode ser muito importante e quiçá, muito trivial :lol:
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor ampat em Quinta Fev 11, 2010 2:58 pm

AH, acho que deve haver um ponto no interior da Lua onde a atracção da Terra e da Lua se compensam. Porque, à medida que penetramos no interior da Lua, a massa que fica 'por baixo' de nós diminui, logo a atracção gravítica da Lua também se torna menor, acabando por existir um ponto onde ambas as forças (atracção da Terra e da Lua) se compensam. :XD
Será que este 2º ponto se situa a cerca de 2900 metros do centro da Lua? :XD

PS: Usei como dados D=3.84e8 m, R_L=1.74e6 m, M_T=5.98e24 Kg e M_L=7.35e22 Kg
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Fev 11, 2010 3:37 pm

Hum, receio não estar a perceber completamente o teu racíocino, André... :roll:

É que já sabemos que a força gravítica diminui de intensidade com o quadrado da distância ao centro do astro considerado, certo? Então, se o ponto está no interior da Lua, ele vai ter uma força de atracção para o centro desta, bastante grande, e tanto maior quanto mais fundo estiver, ou está-me aqui a falhar alguma coisa? :? É que por essa ideia parece-me que o corpo estaria com uma força resultante que aponta em relação ao centro da Lua... Por outro lado o meu raciocinio pode estar viciado na medida em que, como o corpo está dentro da Lua, este passa a incorporar a Lua, sendo a variação de massa desta desprezável...

EDIT: Ah, não espera lá... isso até faz sentido... Como a Terra e a Lua se atraem mutuamente mas o corpo está "muito" atraído para a Lua, parece-me que é uma situaçao até bastante possível... Vou dar uma corrida e à vinda desenrasco umas contas... :)
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor ampat em Quinta Fev 11, 2010 3:42 pm

Isto deve-se a um teorema que Newton demonstrou e que afirma que e o campo gravítico no interior de uma casca homogénea é nulo. Já foi discutido neste fórum aqui: http://algol.fis.uc.pt/quark/viewtopic.php?f=35&t=48&p=260&hilit=teorema+newton+casca#p260.
Assim, quanto mais embrenhados na Lua, menos massa temos por baixo de nós a exercer atracção gravítica (e a massa que está 'por cima' não tem efeito, segundo o teorema de Newton) e, por isso, há-de chegar uma altura em que tanto a força de atracção gravítica da Terra e da Lua se compensam.

Seja \rho a densidade da Lua, r a distância entre o dito ponto e o centro da Lua e D a distância Terra-Lua.
Então, no ponto procurado, ambas as forças de atracção da Terra e da Lua se compensam, ou seja,

\frac{GM_T}{(D-r)^2}=\frac{Gm}{r^2} ,

onde m é a quantidade de massa da Lua que se encontra 'por baixo' do corpo. Mas, estando o corpo a uma distância r do centro da Lua, a massa m é igual a:

m=\frac{4\pi r^3 \rho}{3}

Logo, este ponto estará a uma distância r do centro da Lua, tal que

\frac{M_T}{(D-r)^2}=\frac{4\pi r \rho}{3}

Como \rho= \frac{M_L}{V_L}=\frac{3M_L}{4\pi R_L^3}, então a equação final a resolver em ordem a r é

\frac{M_T}{(D-r)^2}=\frac{r M_L}{R_L^3}


Acho que é isto. :XD
O outro ponto neutro já foi calculado pelo Bruno.

Edit: Mas assim também há outro ponto neutro no interior da Terra como disse o Ricardo Campos... :?
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Fev 11, 2010 6:00 pm

Pois... O que significaria que existem não 1 como é divulgado sempre (apenas aprendi que existia 1 ponto neutro, foram contas que fiz no ano passado na minha disciplina de Física), nem 2 pontos (o que para mim já é surpreendente!), mas sim 3 pontos neutros... :shock:

Vamos ver o que é sai daqui... :lol:
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor RicardoCampos em Quinta Fev 11, 2010 7:13 pm

Pois, era isso que eu estava a dizer.

F_T(0) é simplesmente a força que a Terra faz a um ponto no seu centro. Ou seja, nenhuma.
A força que a Terra exerce num ponto diminui linearmente à medida que o ponto penetra a mesma, em vez de aumentar, por isso é que haveria um outro ponto de equilíbrio (e consequentemente um terceiro dentro da Lua)

E sim, desprezei completamente o facto de a Terra rodar. Acho que isso aqui não tem importância nenhuma.

Mas já agora gostaria que o prof. jap confirmasse se eu não andei a dizer disparates por aqui, ou se não era nada disto em que estava a pensar :D
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor ampat em Quinta Fev 11, 2010 7:53 pm

Sim, de facto, a rotação do sistema Terra-Lua influencia muito pouco o local dos pontos neutros sobre a recta.
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Fev 11, 2010 8:03 pm

Vamos esperar pela resolução "oficial" :lol:
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor jap em Quinta Fev 11, 2010 11:26 pm

ampat Escreveu:AH, acho que deve haver um ponto no interior da Lua onde a atracção da Terra e da Lua se compensam. Porque, à medida que penetramos no interior da Lua, a massa que fica 'por baixo' de nós diminui, logo a atracção gravítica da Lua também se torna menor, acabando por existir um ponto onde ambas as forças (atracção da Terra e da Lua) se compensam. :XD
Será que este 2º ponto se situa a cerca de 2900 metros do centro da Lua? :XD

PS: Usei como dados D=3.84e8 m, R_L=1.74e6 m, M_T=5.98e24 Kg e M_L=7.35e22 Kg


Sim, é isso mesmo, e a solução é a que tu indicaste em detalhe no teu outro post! :hands: ( e o raciocínio usando o teorema do valor intermédio do Ricardo também é válido e dá-nos bom insight para "atacar" o problema!) :hands:

A chave da questão estava mesmo em perceber que no interior dos planetas o campo gravítico cresce linearmente com a distância a partir do centro!

Claro está que existe (matematicamente) uma outra solução (o terceiro ponto neutro), a 22 m do centro da Terra. Esta solução é fisicamente irrelevante, atendendo a que o movimento da Terra em torno do CM do sistema Terra-Lua é bem mais amplo do que estes 22 m (se quiserem calculem onde fica o CM do sistema).... :lol:

Já agora, dava jeito fazer aqui o gráfico do gampo gravítico da Terra e da Lua em função de x (distância ao centro da Terra), para se visualisar bem a diferente dependência funcional no interior e no exterior dos planetas e os pontos em que o campo criado pela Terra iguala ao campo criado pela Lua... :D

Já agora, para aqueles com maior inclinação para charadas matemáticas:

Consideremos dois corpos massivos homogéneos, esféricos, de raios R e r e massas M e m. A distância entre os centros dos dois corpos é D.

Em que condições é que existe (na linha que une os centros dos dois corpos, entre o centro de um corpo e o centro do outro)

a) um só ponto neutro e onde é que ele se situa?
b) exactamente dois pontos neutros?
c) três pontos neutros?

Poderá não existir um ponto neutro? :roll:
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor RicardoCampos em Sexta Fev 12, 2010 3:07 pm

Note-se ainda uma curiosidade quanto aos pontos neutros. Enquanto que o ponto neutro "normal" entre a Terra e a Lua é um ponto de equilíbrio instável, o ponto dentro da Terra já é estável :D
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor ampat em Sexta Fev 12, 2010 3:43 pm

Fiz 3 gráficos, um no interior da Terra, outro no interior da Lua e o último para dar uma visão global. Os gráficos representam a força de atracção gravítica exercida pela Terra e pela Lua numa massa unitária, sendo a força negativa se tiver o sentido da Lua para a Terra e positivo caso contrário.
Não devem estar nada de muito espectacular porque eu não sou grande especialista no gnuplot , mas acho que dá para perceber e consegue-se ver que o ponto neutro no interior da Terra ocorre mais ou menos a 20 m do centro e que o ponto neutro no interior da Lua se situa a cerca de 2900 m do seu centro. :)

Deixo aqui os links com as imagens:

Interior da Terra
Visão Global
Interior da Lua

Já agora, como é que se pode colocar os valores mostrados nos eixos de x em x metros neste caso, em vez de ser o próprio programa a decidir o intervalo a que mostra os valores ? E dá para evidenciar pontos 'especiais' como zeros da função ou valores das abcissas (como o valor da distância igual ao raio da Terra) ?
Obrigado :wink:

Edit: Esqueci-me de colocar no gráfico, mas a unidade de força é o Newton e a de distância é o metro.
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor Tharis em Sexta Fev 12, 2010 3:57 pm

Eu acabei agora mesmo de fazer um gráfico também.

Os valores negativos significam que a força tem sentido Terra->Lua e visualiza-se bem que os extremos são as gravidades à superfície dos dois astros. :)

@ampat, podes colocar o gráfico do gnuplot numa imagem sem recorrer ao printscreen.

Código: Seleccionar Todos
set terminal gif
set output "grafico.gif"


Depois é fazer o plot normal. ;)
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor ampat em Sexta Fev 12, 2010 4:17 pm

Obrigado :D . Eu já tinha reparado nesse comando, mas não sabia o que meter em 'terminal'. :XD
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