sagardipak Escreveu:(...)
A minha dúvida não era sobre como definir o produto, mas porquê o definir dessa maneira. Porque razão se usaria o co-seno em vez do seno para o produto escalar?
(...)
O produto escalar surge naturalmente no contexto da projecção de um vector numa dada direcção. Seja

esse vector e

, um versor do eixo orientado que representa a direcção segundo a qual pretendes projectar o vector.
Então, a projecção do vector

na direcção definida por

é

,
onde

é o ângulo entre

e

.
Ora esta projecção é simplesmente

.
Portanto, o produto escalar surge como uma "necessidade" em cálculo vectorial e geometria analítica e nasceu, naturalmente, neste contexto. E, sendo assim, a definição só poderia ter "nascido" com

e não outra função trigonométrica!

A noção de produto escalar generalizou-se mais tarde, aliás como a noção de vector. Por exemplo, uma função pode ser considerada um vector num espaço vectorial de funções - em Mecânica Quântica a função de onda que descreve uma partícula é um vector do espaço das funções de onda (o chamado espaço de Hilbert). Neste caso também se define um produto escalar que já não tem propriamente a ver com a definição geométrica acima, mas ainda retêm a íntima associação com a noção de "projecção de um vector" (neste caso a função de onda)...
Enfim, só para esclarecer que a noção matemática de produto escalar nasceu num certo contexto bem definido e depois generalizou-se ao ponto de ser possível de encontrar este conceito em contextos que se afastam muito do original. Isto acontece com muitos conceitos de matemática. Infelizmente, hoje é pratica comum ensinarem-se os conceitos de forma tão abstracta e geral que dá ideia que alguém um dia acordou e resolveu definir isto e aquilo porque sim - nada mais longe da verdade!
No produto escalar, como no vectorial, e em tudo o resto, há sempre uma boa razão porque alguém se lembrou um dia de definir um dado conceito. Infelizmente é muito comum os matemáticos perderem a noção original que deu origem ao conceito, partindo de uma definição sem justificação histórica. Nesse caso, os Físicos têm, tipicamente, melhor memória!
