Produto escalar

[sagardipak]

Sim, o produto escalar não é um vector. Daí se chamar escalar, é apenas um número. Existe outro tipo de produto entre vectores e esse, sim, resulta num vector. É chamado de produto vectorial, e o vector resultante tem a magnitude . A direcção é perpendicular aos dois vectores e o seu sentido é definida pela regra da mão direita.

A minha dúvida não era sobre como definir o produto, mas porquê o definir dessa maneira. Porque razão se usaria o co-seno em vez do seno para o produto escalar? Não poderá existir um produto vectorial que não use o seno? A minha dúvida era porquê definir a operação dessa maneira, que parece tão aleatória. Hoje em dia, convenço-me que é pela sua utilidade em problemas muito comuns em física, como o cálculo do trabalho de uma força (e, realmente, é útil )

[RicardoCampos]

Matrizes e produtos escalares combinam bem.

[jap]

(...)
A minha dúvida não era sobre como definir o produto, mas porquê o definir dessa maneira. Porque razão se usaria o co-seno em vez do seno para o produto escalar?
(...)

O produto escalar surge naturalmente no contexto da projecção de um vector numa dada direcção. Seja esse vector e , um versor do eixo orientado que representa a direcção segundo a qual pretendes projectar o vector.

Então, a projecção do vector na direcção definida por é

,

onde é o ângulo entre e .

Ora esta projecção é simplesmente

.

Portanto, o produto escalar surge como uma "necessidade" em cálculo vectorial e geometria analítica e nasceu, naturalmente, neste contexto. E, sendo assim, a definição só poderia ter "nascido" com e não outra função trigonométrica!

A noção de produto escalar generalizou-se mais tarde, aliás como a noção de vector. Por exemplo, uma função pode ser considerada um vector num espaço vectorial de funções - em Mecânica Quântica a função de onda que descreve uma partícula é um vector do espaço das funções de onda (o chamado espaço de Hilbert). Neste caso também se define um produto escalar que já não tem propriamente a ver com a definição geométrica acima, mas ainda retêm a íntima associação com a noção de "projecção de um vector" (neste caso a função de onda)...

Enfim, só para esclarecer que a noção matemática de produto escalar nasceu num certo contexto bem definido e depois generalizou-se ao ponto de ser possível de encontrar este conceito em contextos que se afastam muito do original. Isto acontece com muitos conceitos de matemática. Infelizmente, hoje é pratica comum ensinarem-se os conceitos de forma tão abstracta e geral que dá ideia que alguém um dia acordou e resolveu definir isto e aquilo porque sim - nada mais longe da verdade!

No produto escalar, como no vectorial, e em tudo o resto, há sempre uma boa razão porque alguém se lembrou um dia de definir um dado conceito. Infelizmente é muito comum os matemáticos perderem a noção original que deu origem ao conceito, partindo de uma definição sem justificação histórica. Nesse caso, os Físicos têm, tipicamente, melhor memória!

[blackroger]

O produto escalar vem apenas de juntar dois vectores e aplicar-lhe a lei dos co-senos. Vamos ver como.

Não vou aqui demonstrar, mas recorrendo a um pouco de trigonometria e ao velhinho teorema de pitágoras, sabemos que a lei dos co-senos é:



Agora, como criamos um vector a partir de outros dois?

Somando ou Subtraindo. Mas para criarmos um para aplicar o teorema de pitagoras facilmente e com a medida pretendida, dizemos que o

Então

Vamos então igualar as duas expressões.





cortando o A, o B e o -2, ficamos com o produto escalar de um vector (que é o produto de cada uma das suas coordenadas)



Espero ter ajudado. Se não for claro porque é que o produto dos vectores é pelas suas coordenadas, relembro que estamos a ver o módulo de C, que usando o teorema de pitágoras, é o módulo na 1º coordenada mais o módulo na segunda coordenada e, fazendo os passos acima, leva-nos ao produto de cada uma das coordenadas.

Espero ter ajudado!

[Tharis]

@blackroger, não sei muito bem a tua experiência em fóruns, mas existe uma coisa que é chamada "ressuscitar tópicos" e isto só deve ser feito quando o "ressuscitador" tiver uma dúvida sobre esse assunto ou se quiser actualizar alguma coisa (uma notícia por exemplo).

Se reparares nas datas, existe quase o desfasamento de um ano. E eu (entre outros) acredito que o Sagar saiba agora o produto escalar.

Cumprimentos

P.S.: Claro que fica muito bem para o futuro, mas mesmo assim...

[blackroger]

@blackroger, não sei muito bem a tua experiência em fóruns, mas existe uma coisa que é chamada "ressuscitar tópicos" e isto só deve ser feito quando o "ressuscitador" tiver uma dúvida sobre esse assunto ou se quiser actualizar alguma coisa (uma notícia por exemplo).

Se reparares nas datas, existe quase o desfasamento de um ano. E eu (entre outros) acredito que o Sagar saiba agora o produto escalar.

Cumprimentos

P.S.: Claro que fica muito bem para o futuro, mas mesmo assim...

É bem verdade, por acaso... Mas esta demonstração não estava em mais lado nenhum e a dúvida, ao meu ver, deve persistir em muita gente, é pertinente.
Em vez de abrir um tópico novo, temos um tópico já concreto sem resposta para isto, porque não "ressuscitar" este e ficar um registo para o futuro?

[sagardipak]

Obrigado pela resposta desfasada Gostava só de esclarecer que o produto escalar não vem da lei dos senos e de adicionar vectores mas, em vez disso, pode ser calculado com essas ferramentas após ser definido arbitrariamente (foi o que fizeste). As proposições implícitas que usaste para o definir foram:

1. É uma função definida de para , em que V é um espaço vectorial, da seguinte maneira (isto é quase necessário se lhe quisermos dar o nome "produto escalar" ):




2. Goza da propriedade distributiva:

3. Goza da seguinte igualdade (usaste esta última implicitamente depois da propriedade distributiva e quando disseste "Vamos então igualar as duas expressões."):



A partir destas três proposições é possível deduzir a fórmula do produto escalar, como fizeste (o contrário também é possível), mas é impossível deduzi-lo naturalmente, pois é uma definição arbitrária...

[jap]

Obrigado pela resposta desfasada Gostava só de esclarecer que o produto escalar não vem da lei dos senos e de adicionar vectores mas, em vez disso, pode ser calculado com essas ferramentas após ser definido arbitrariamente (foi o que fizeste).
(...)

O produto escalar vem mesmo de adicionar vectores, teorema de pitágoras, e tudo isso, o que acontece é que se generalizou (mais tarde) este conceito, abstraindo-o da sua "origem". É claro que, hoje em dia, é perfeitamente possível definir produto escalar num espaço vectorial abstracto sem referência "àqueles vectores com setinhas", ou seja, os vectores são entidades abstractas e podem ser concretizadas de muitas formas. Por exemplo, as funções "bem comportadas" podem ser consideradas vectores num espaço vectorial, de dimensão infinita e aí define-se um produto escalar de uma forma que parece bem distante do teorema de pitágoras e da lei dos senos, obedecendo àquelas propriedades que o Sagar referiu, por exemplo



Este espaço vectorial é muito útil em Física! E podia dar muitos outros exemplos. No entanto, este como muitos outros conceitos de Matemática que os matemáticos gostam de apresentar de uma forma muito abstracta e geral, têm raízes bem concretas. Acho divertido quando alguns colegas matemáticos falam de alguns ramos da matemática (por exemplo, teoria de grupos) que foram de tal modo abstaídos da sua motivação e aplicação original, que já nem conseguem relacionar o conceito abstracto com a sua aplicação prática - ou seja o problema (físico ou de matemática) para o qual aquelas ferramentas (depois teorias) foram criadas!

[RicardoCampos]

Há tantas coisas que são generalizadas com base nos exemplos que são conhecidos. Os produtos internos, as normas, as distâncias, os espaços vectoriais, os grupos, os anéis, os corpos... Toda a topologia geral é criada com base no .

Mas ainda assim, a minha definição favorita de espaço vectorial é a seguinte.

Dizemos que é um espaço vectorial se qualquer elemento de tem uma setinha em cima.

[jap]

(...)

Dizemos que é um espaço vectorial se qualquer elemento de tem uma setinha em cima.

[Tharis]

Dizemos que é um espaço vectorial se qualquer elemento de tem uma setinha em cima.

EPIC!

[blackroger]

Apoiado Ricardo!

Eu além das definições anteriores, quis também estabelecer o paralelismo entre o produto escalar ter a haver com a projecção, cos mas também com o produto das coordenadas, que não estava bem explicado antes.

Ok, quando falamos de espaço vectorial, foi-me implícito que é qualquer noção matemática com propriedades lineares (f(a+b)=f.a+f.b e outras ditas acima).

Ou então tem uma seta em cima

PS:Não podemos esquecer a notação de dirac em mecânica quântica em que vectores também são escritos com "bras" e "kets", uma dentro de uma seta gigante para a esquerda ou direita, querendo fundamentalmente dizer que é o complexo conjugado num espaço vectorial em C

Espero não ter baralhado mais!