Até à velocidade da luz

por **jap** em Sábado Abr 25, 2009 8:07 pm

Uma partícula, inicialmente parada e de massa m_0

(em repouso) é actuada por uma força constante $\vec F$ . Obtenham as equações de v(t)

e

para eta partícula, fazendo o tratamento relativístico, e mostrem que a velocidade da partícula tende para

.

por **sagardipak** em Domingo Abr 26, 2009 3:19 pm

Em relatividade, o momento linear é dado por $p = \gamma m_0v$ . Temos assim

$F=\frac{dp}{d t}=\frac{d(\gamma m_0 v)}{dt}=m_0\frac{d(\gamma v)}{dt} \Leftrightarrow$

$\frac{F}{m_0}=\frac{d(\gamma v)}{dt} \Leftrightarrow \int{\frac{F}{m_0}}dt=\int{d (\gamma v)}\Leftrightarrow \frac{Ft}{m_0}=\gamma v \Leftrightarrow$

$\frac{Ft}{m_0}=\frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \Leftrightarrow v(t) = \frac{c}{\sqrt{1+(\frac{m_0c}{Ft})^2}}$

Assim podemos concluir que $\displaystyle\lim_{t\to\infty}v=\displaystyle\lim_{t\to\infty}\frac{c}{\sqrt{1+(\frac{m_0c}{Ft})^2}}=\frac{c}{\sqrt{1+0}}=c$

por **jap** em Domingo Abr 26, 2009 5:57 pm

Isso!

Consegues também mostrar que quando v << c

, obtemos da tua expressão o resultado clássico, $v = \frac{F}{m_0} t$ ?

E, já agora, qual é a expressão para a equação do movimento x(t)

?

por **sagardipak** em Segunda Abr 27, 2009 4:02 pm

jap Escreveu:Isso!

Consegues também mostrar que quando , obtemos da tua expressão o resultado clássico, $v = \frac{F}{m_0} t$ ?

Isso é trivial. Se v<<c

, então $\frac{v}{c}$ é aprox. zero, daí que

$\frac{Ft}{m_0}=\frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{v}{\sqrt{1-0}}=v$

Existe outra maneira de demonstrar que a expressão se reduz ao mesmo na mecânica clássica. A expressão não-relativista da velocidade é o limite em que c tende para infinito,ou seja,

$v_{classica}=\displaystyle\lim_{c\to\infty}v=\displaystyle\lim_{c\to\infty}\frac{c}{\sqrt{1+(\frac{m_0c}{Ft})^2}}=$
$=\displaystyle\lim_{c\to\infty}\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{c^2}+(\frac{m_0}{Ft})^2}}=\frac{1}{\sqrt{0+(\frac{m_0}{Ft})^2}}=$
$=\frac{Ft}{m_0}$

por **sagardipak** em Segunda Abr 27, 2009 4:06 pm

jap Escreveu:E, já agora, qual é a expressão para a equação do movimento ?

Sabendo a expressão da velocidade, podíamos teoricamente saber a expressão da posição pela relação $v=\frac{dx}{dt}$ . Mas integrar a velocidade anterior parece-me muito complicado, pelo que tentei doutra maneira.

A maneira que tentei foi pelo trabalho realizado pela força e pela conservação de energia. Mas ponho aqui mais tarde o resultado.

por **hexphreak** em Segunda Abr 27, 2009 6:03 pm

O integral é bastante fácil, se o reescreveres...

$\displaystyle v(t) = {c \over \sqrt{1+(m_0 c/Ft)^2}} = {ct \over \sqrt{(m_0c/F)^2 + t^2}}$

Agora é mais fácil reconhecer esta expressão como a derivada de $x(t) = c \sqrt{t^2 + (m_0 c/F)^2}$ :wink:

Também poderias ter seguido a via mais complicada, efectuando a substituição $t = (m_0c/F) \tan \theta$ , e depois integrando por partes.

por **jap** em Segunda Abr 27, 2009 9:01 pm

Muito bem! Obrigado!

E aqui fica uma aplicação em excel, cortesia do Prof. Pedro Vieira Alberto, que permite explorar as relações acima (é giro ver os limites clássico e relativista). :wink:

Nota: É preciso autorizar o Excel a correr os macros em Visual Basic que estão embebidos no ficheiro.

Have fun!

Movimento relativístico

PS: que tal uma tradução pitónica do programito?

por **palberto** em Terça Abr 28, 2009 5:32 pm

Um problema adicional: qual é o instante $\tau$ a partir do qual um fotão emitido da origem não consegue apanhar a particula relativística de massa

que se move sob acção de uma força constante

(e que já partiu da origem há $\tau$ segundos ) ?

por **sagardipak** em Quarta Abr 29, 2009 9:29 pm

palberto Escreveu:Um problema adicional: qual é o instante $\tau$ a partir do qual um fotão emitido da origem não consegue apanhar a particula relativística de massa que se move sob acção de uma força constante (e que já partiu da origem há $\tau$ segundos ) ?

Antes de começar a responder a esta pergunta, vamos olhar para a expressão x(t)

encontrada pelo Henrique. Para t=0, temos $x=\frac{m_0 c^2}{F}$ , isto é, a partícula não começa o seu movimento na origem. Isto acontece porque x(t)

surgiu da integração de v(t)

e a sua expressão só fica completa ao adicionarmos uma constante. Assim, a expressão real para a posição da partícula é:

$x(t)=c\sqrt{t^2+(\frac{m_0 c}{F})^2}+C$ .

Se a partícula começa na origem, temos de ter $C=-\frac{m_0c^2}{F}$ .

Agora podemos resolver o problema. Penso que a condição imposta é equivalente à seguinte expressão:

$\forall t>0,\mbox{ }x(\tau+t)>ct$ .

A expressão do lado direito,

, é a posição do fotão ao fim do tempo

. Para descobrir quando é que o lado esquerdo é maior que o direito, podemos descobrir quando é que ambos se igualam.

$x(\tau+t)=ct \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow c\sqrt{(t+\tau)^2+(\frac{m_0 c}{F})^2}-\frac{m_0c^2}{F}=ct$

Se não me enganei em nenhuma conta, chegamos a

$\tau =-t\pm\sqrt{t^2+2(\frac{m_0c}{F})t}$

Podemos descartar a solução negativa, porque $\tau$ é obviamente positivo. Mas o que significa esta expressão? A expressão a que chegámos diz-nos que $\tau$ depende de cada instante

, isto é, aos dois segundos tem um valor, mas aos 3 já tem de ser mudado! No fundo, isto diz-nos que não há nenhum $\tau$ que satisfaça a condição proposta!

Outro argumento que pode suportar a minha tese é que a luz viaja à velocidade

em qualquer referencial, mesmo no da partícula. Assim, a luz tem obrigatoriamente de a atingir nalgum momento, pois vem na sua direcção!

Não sei se cometi algum erro...

por **hexphreak** em Quarta Abr 29, 2009 9:32 pm

Os meus cálculos deram o mesmo resultado que ao Sagar (mesmo incluindo a constante proveniente da integração, de que só me apercebi a seguir a já ter postado...). Por outro lado, a luz só viaja à mesma velocidade em qualquer referencial inercial, mas num referencial acelerado isto não é obrigatoriamente verdade. Também já tinha pensado nesse argumento, mas aparentemente não é assim tão fácil :roll:

por **sagardipak** em Quinta Abr 30, 2009 1:05 pm

Mas visto que a velocidade se aproxima de um valor fixo, há um momento a partir do qual a aceleração é aproximadamente zero. A partir daí podemos considerar que temos um referencial inercial.

por **palberto** em Quinta Abr 30, 2009 4:31 pm

Bravo, as equações estão certas, mas as conclusões é que não

O ponto de partida é realmente $\forall t>0, x(t+\tau) > ct$ . Fazendo as contas, daqui se tira que

$\sqrt{\frac{m^2c^2}{F^2}+(t+\tau)^2} -\frac{mc}{F} > t \quad\Rightarrow\quad \frac{m^2c^2}{F^2}+(t+\tau)^2 > (t+ \frac{mc}{F})^2$

ou ainda, depois de simplificar e arrumar uns termos

$\tau^2+2 t(\tau-\frac{mc}{F})> 0$

A questão é: qual deverá ser o valor mínimo de $\tau$ para que esta expressão seja sempre verdadadeira (para qualquer t)?
O valor encontrado pelo Sagar tem a ver com quando $x(t+\tau) = ct$ , o que na verdade não acontece para um

finito (ou melhor, pode acontecer, mas nesse caso a partícula não anda sempre à frente do fotão).
Outra dica: resolvam a questão geometricamente, usando a equação da hipérbole para x(t)

e verficando que a sua assímptota corresponde ao movimento
de um fotão partindo num instante posterior.

Em relação à questão do referencial: é verdade que velocidade relativa de um fotão é sempre

em relação a qualquer referencial de inércia, mas não se pode aplicar esse raciocínio a uma partícula acelerada (no seu movimento, ela "passa" por sucessivos referenciais de inércia). Isso levaria a outra questão, que vos ponho depois de resolverem este problema :wink:

por **sagardipak** em Quinta Abr 30, 2009 7:26 pm

Pegando na sua expressão "arrumadinha" (

),

$\tau^2+2 t(\tau-\frac{mc}{F})> 0$

podemos analisar os seguintes casos:

$\tau < \frac{mc}{F}$ , $\tau = \frac{mc}{F}$ e $\tau > \frac{mc}{F}$ .

Se for menor, então $(\tau-\frac{mc}{F})$ é negativo e basta que

seja grande o suficiente para a expressão ser negativa. No entanto, se $\tau = \frac{mc}{F}$ , a expressão $\tau^2+2 t(\tau-\frac{mc}{F})$ é apenas igual a $\tau^2$ , que é maior que 0, independentemente do

! Caso seja maior, é facil de ver que a expressão também é sempre verdadeira, mas isto não nos interessa, porque já descobrimos o menor número que obedece às condições. Logo,

$\tau = \frac{mc}{F}$

por **palberto** em Quinta Abr 30, 2009 9:39 pm

Exacto!

Mais exactamente $\tau\geq\frac {mc}{F}$
Já agora um desafiozinho matemático: demonstrar que $x(t) \to x=ct-\frac{mc^2}{F}$ (a tal assímptota) quando
$t\to\infty$ , o que também resolve o problema.

por **sagardipak** em Segunda Maio 04, 2009 9:43 pm

palberto Escreveu:Exacto!
Mais exactamente $\tau\geq\frac {mc}{F}$
Já agora um desafiozinho matemático: demonstrar que $x(t) \to x=ct-\frac{mc^2}{F}$ (a tal assímptota) quando
$t\to\infty$ , o que também resolve o problema.