Até à velocidade da luz

Problemas simples, mas interessantes!

Até à velocidade da luz

Mensagempor jap em Sábado Abr 25, 2009 8:07 pm

Uma partícula, inicialmente parada e de massa m_0 (em repouso) é actuada por uma força constante \vec F. Obtenham as equações de v(t) e x(t) para eta partícula, fazendo o tratamento relativístico, e mostrem que a velocidade da partícula tende para c. :wink:
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Re: Até à velocidade da luz

Mensagempor sagardipak em Domingo Abr 26, 2009 3:19 pm

Em relatividade, o momento linear é dado por p = \gamma m_0v. Temos assim

F=\frac{dp}{d t}=\frac{d(\gamma m_0 v)}{dt}=m_0\frac{d(\gamma v)}{dt} \Leftrightarrow

\frac{F}{m_0}=\frac{d(\gamma v)}{dt} \Leftrightarrow \int{\frac{F}{m_0}}dt=\int{d (\gamma v)}\Leftrightarrow \frac{Ft}{m_0}=\gamma v \Leftrightarrow

\frac{Ft}{m_0}=\frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \Leftrightarrow v(t) = \frac{c}{\sqrt{1+(\frac{m_0c}{Ft})^2}}

Assim podemos concluir que \displaystyle\lim_{t\to\infty}v=\displaystyle\lim_{t\to\infty}\frac{c}{\sqrt{1+(\frac{m_0c}{Ft})^2}}=\frac{c}{\sqrt{1+0}}=c
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Re: Até à velocidade da luz

Mensagempor jap em Domingo Abr 26, 2009 5:57 pm

Isso! :hands:

Consegues também mostrar que quando v << c, obtemos da tua expressão o resultado clássico, v = \frac{F}{m_0} t ? :D

E, já agora, qual é a expressão para a equação do movimento x(t)? :P
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Re: Até à velocidade da luz

Mensagempor sagardipak em Segunda Abr 27, 2009 4:02 pm

jap Escreveu:Isso! :hands:

Consegues também mostrar que quando v << c, obtemos da tua expressão o resultado clássico, v = \frac{F}{m_0} t ? :D


Isso é trivial. Se v<<c, então \frac{v}{c} é aprox. zero, daí que

\frac{Ft}{m_0}=\frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{v}{\sqrt{1-0}}=v

Existe outra maneira de demonstrar que a expressão se reduz ao mesmo na mecânica clássica. A expressão não-relativista da velocidade é o limite em que c tende para infinito,ou seja,

v_{classica}=\displaystyle\lim_{c\to\infty}v=\displaystyle\lim_{c\to\infty}\frac{c}{\sqrt{1+(\frac{m_0c}{Ft})^2}}=
=\displaystyle\lim_{c\to\infty}\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{c^2}+(\frac{m_0}{Ft})^2}}=\frac{1}{\sqrt{0+(\frac{m_0}{Ft})^2}}=
=\frac{Ft}{m_0}
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Re: Até à velocidade da luz

Mensagempor sagardipak em Segunda Abr 27, 2009 4:06 pm

jap Escreveu:E, já agora, qual é a expressão para a equação do movimento x(t)? :P


Sabendo a expressão da velocidade, podíamos teoricamente saber a expressão da posição pela relação v=\frac{dx}{dt}. Mas integrar a velocidade anterior parece-me muito complicado, pelo que tentei doutra maneira.

A maneira que tentei foi pelo trabalho realizado pela força e pela conservação de energia. Mas ponho aqui mais tarde o resultado.
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Re: Até à velocidade da luz

Mensagempor hexphreak em Segunda Abr 27, 2009 6:03 pm

O integral é bastante fácil, se o reescreveres...

\displaystyle v(t) = {c \over \sqrt{1+(m_0 c/Ft)^2}} = {ct \over \sqrt{(m_0c/F)^2 + t^2}}

Agora é mais fácil reconhecer esta expressão como a derivada de x(t) = c \sqrt{t^2 + (m_0 c/F)^2} :wink:

Também poderias ter seguido a via mais complicada, efectuando a substituição t = (m_0c/F) \tan \theta, e depois integrando por partes.
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Re: Até à velocidade da luz

Mensagempor jap em Segunda Abr 27, 2009 9:01 pm

Muito bem! Obrigado! :D


E aqui fica uma aplicação em excel, cortesia do Prof. Pedro Vieira Alberto, que permite explorar as relações acima (é giro ver os limites clássico e relativista). :wink:

Nota: É preciso autorizar o Excel a correr os macros em Visual Basic que estão embebidos no ficheiro.

Have fun! :D


Movimento relativístico

PS: que tal uma tradução pitónica do programito? :P
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Re: Até à velocidade da luz

Mensagempor palberto em Terça Abr 28, 2009 5:32 pm

Um problema adicional: qual é o instante \tau a partir do qual um fotão emitido da origem não consegue apanhar a particula relativística de massa m que se move sob acção de uma força constante F(e que já partiu da origem há \tau segundos ) ?
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Re: Até à velocidade da luz

Mensagempor sagardipak em Quarta Abr 29, 2009 9:29 pm

palberto Escreveu:Um problema adicional: qual é o instante \tau a partir do qual um fotão emitido da origem não consegue apanhar a particula relativística de massa m que se move sob acção de uma força constante F(e que já partiu da origem há \tau segundos ) ?


Antes de começar a responder a esta pergunta, vamos olhar para a expressão x(t) encontrada pelo Henrique. Para t=0, temos x=\frac{m_0 c^2}{F}, isto é, a partícula não começa o seu movimento na origem. Isto acontece porque x(t) surgiu da integração de v(t) e a sua expressão só fica completa ao adicionarmos uma constante. Assim, a expressão real para a posição da partícula é:

x(t)=c\sqrt{t^2+(\frac{m_0 c}{F})^2}+C.

Se a partícula começa na origem, temos de ter C=-\frac{m_0c^2}{F}.

Agora podemos resolver o problema. Penso que a condição imposta é equivalente à seguinte expressão:

\forall t>0,\mbox{  }x(\tau+t)>ct.

A expressão do lado direito, ct, é a posição do fotão ao fim do tempo t. Para descobrir quando é que o lado esquerdo é maior que o direito, podemos descobrir quando é que ambos se igualam.

x(\tau+t)=ct \Leftrightarrow

\Leftrightarrow c\sqrt{(t+\tau)^2+(\frac{m_0 c}{F})^2}-\frac{m_0c^2}{F}=ct

Se não me enganei em nenhuma conta, chegamos a

\tau =-t\pm\sqrt{t^2+2(\frac{m_0c}{F})t}

Podemos descartar a solução negativa, porque \tau é obviamente positivo. Mas o que significa esta expressão? A expressão a que chegámos diz-nos que \tau depende de cada instante t, isto é, aos dois segundos tem um valor, mas aos 3 já tem de ser mudado! No fundo, isto diz-nos que não há nenhum \tau que satisfaça a condição proposta!

Outro argumento que pode suportar a minha tese é que a luz viaja à velocidade c em qualquer referencial, mesmo no da partícula. Assim, a luz tem obrigatoriamente de a atingir nalgum momento, pois vem na sua direcção!

Não sei se cometi algum erro...
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Re: Até à velocidade da luz

Mensagempor hexphreak em Quarta Abr 29, 2009 9:32 pm

Os meus cálculos deram o mesmo resultado que ao Sagar (mesmo incluindo a constante proveniente da integração, de que só me apercebi a seguir a já ter postado...). Por outro lado, a luz só viaja à mesma velocidade em qualquer referencial inercial, mas num referencial acelerado isto não é obrigatoriamente verdade. Também já tinha pensado nesse argumento, mas aparentemente não é assim tão fácil :roll:
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Re: Até à velocidade da luz

Mensagempor sagardipak em Quinta Abr 30, 2009 1:05 pm

Mas visto que a velocidade se aproxima de um valor fixo, há um momento a partir do qual a aceleração é aproximadamente zero. A partir daí podemos considerar que temos um referencial inercial.
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Re: Até à velocidade da luz

Mensagempor palberto em Quinta Abr 30, 2009 4:31 pm

Bravo, as equações estão certas, mas as conclusões é que não :(
O ponto de partida é realmente \forall t>0, x(t+\tau) > ct. Fazendo as contas, daqui se tira que

\sqrt{\frac{m^2c^2}{F^2}+(t+\tau)^2} -\frac{mc}{F} > t \quad\Rightarrow\quad  \frac{m^2c^2}{F^2}+(t+\tau)^2 > (t+ \frac{mc}{F})^2

ou ainda, depois de simplificar e arrumar uns termos

\tau^2+2 t(\tau-\frac{mc}{F})> 0

A questão é: qual deverá ser o valor mínimo de \tau para que esta expressão seja sempre verdadadeira (para qualquer t)?
O valor encontrado pelo Sagar tem a ver com quando x(t+\tau) = ct, o que na verdade não acontece para um t finito (ou melhor, pode acontecer, mas nesse caso a partícula não anda sempre à frente do fotão).
Outra dica: resolvam a questão geometricamente, usando a equação da hipérbole para x(t) e verficando que a sua assímptota corresponde ao movimento
de um fotão partindo num instante posterior.

Em relação à questão do referencial: é verdade que velocidade relativa de um fotão é sempre c em relação a qualquer referencial de inércia, mas não se pode aplicar esse raciocínio a uma partícula acelerada (no seu movimento, ela "passa" por sucessivos referenciais de inércia). Isso levaria a outra questão, que vos ponho depois de resolverem este problema :wink:
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Re: Até à velocidade da luz

Mensagempor sagardipak em Quinta Abr 30, 2009 7:26 pm

Pegando na sua expressão "arrumadinha" ( :P ),

\tau^2+2 t(\tau-\frac{mc}{F})> 0

podemos analisar os seguintes casos:

\tau < \frac{mc}{F}, \tau = \frac{mc}{F} e \tau > \frac{mc}{F}.

Se for menor, então (\tau-\frac{mc}{F}) é negativo e basta que t seja grande o suficiente para a expressão ser negativa. No entanto, se \tau = \frac{mc}{F}, a expressão \tau^2+2 t(\tau-\frac{mc}{F}) é apenas igual a \tau^2, que é maior que 0, independentemente do t! Caso seja maior, é facil de ver que a expressão também é sempre verdadeira, mas isto não nos interessa, porque já descobrimos o menor número que obedece às condições. Logo,

\tau = \frac{mc}{F}
última vez editado por sagardipak s Sexta Maio 01, 2009 11:34 pm, editado 1 vez no total
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Re: Até à velocidade da luz

Mensagempor palberto em Quinta Abr 30, 2009 9:39 pm

Exacto! :hands:
Mais exactamente \tau\geq\frac {mc}{F}
Já agora um desafiozinho matemático: demonstrar que x(t) \to  x=ct-\frac{mc^2}{F} (a tal assímptota) quando
t\to\infty, o que também resolve o problema.
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Re: Até à velocidade da luz

Mensagempor sagardipak em Segunda Maio 04, 2009 9:43 pm

palberto Escreveu:Exacto! :hands:
Mais exactamente \tau\geq\frac {mc}{F}
Já agora um desafiozinho matemático: demonstrar que x(t) \to  x=ct-\frac{mc^2}{F} (a tal assímptota) quando
t\to\infty, o que também resolve o problema.


Se \displaystyle m = \lim_{t \to +\infty}\frac{x(t)}{t} e \displaystyle b=\lim_{t \to +\infty}(x(t)-mt) forem números reais, então y=mt+b é uma assímptota do gráfico de x.

De facto, verifica-se que m = c e que b=-\frac{m_0 c^2}{F}.

Prova:


Daqui se conclui que y = ct-\frac{m_0 c^2}{F} é uma assímptota de x, isto é, x(t) \to ct-\frac{m_0 c^2}{F} quando t \to +\infty.
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