A inércia de Sierpiński

[hexphreak]

[Este problema é dedicado aos délficos (e quarkianos, claro) que irão amanhã participar na segunda fase das XXVII OPM ]

Para quem não sabe, Wacław Sierpiński foi um prolífico matemático polaco do séc. XX, com muitas contribuições reconhecidas em várias áreas da Matemática, entre as quais teoria de conjuntos e topologia. No mundo da matemática recreativa, talvez seja mais conhecido por um dos mais famosos fractais, que leva o seu nome: o triângulo de Sierpinski.

O vosso (primeiro!) desafio é determinarem o momento de inércia deste triângulo em torno do eixo que lhe é perpendicular e passa pelo seu centro, assumindo para tal que tem lado e massa


P.S.: Dado o seu volume de publicações, o título deste problema será talvez um pouco injusto para o Sr. Sierpiński

[jap]

E um prémio (a sério) para quem aqui apresentar o primeiro programa em Python que desenhe esse triângulo!

[Ivo_Timóteo]

O output tem de ser mesmo na forma de uma imagem? (incluo-me no concurso? )

[jap]

O output tem de ser mesmo na forma de uma imagem? (incluo-me no concurso? )

Bem, diria que sim...

Claro que podes fazer parte do concurso e habilitares-te a ganhar...um magnífico CD de Jazz!

[Ivo_Timóteo]

Bem, para não estar a aprender algo de novo... Usei o vpython

Código: Seleccionar Todos

from visual import *

scene.center=(5,4.33,0)
scene.range=(8,8,0)

pontos = [[(0.,0.), (10.,0.), (5., 5.*sqrt(3)), (0.,0.)]]

def med(p1, p2):
    x = 0
    y = 0
    if p1[0]<p2[0]:
        x=p1[0]+(p2[0]-p1[0])/2.0
    else:
        x=p2[0]+(p1[0]-p2[0])/2.0
    if p1[1]<p2[1]:
        y=p1[1]+(p2[1]-p1[1])/2.0
    else:
        y=p2[1]+(p1[1]-p2[1])/2.0
    return (x, y)


def process(t):
    t1 = [t[0], med(t[0],t[1]), med(t[0], t[2]), t[0]]
    t2 = [med(t[0],t[1]), t[1], med(t[1], t[2]), med(t[0], t[1])]
    t3 = [med(t[0],t[2]), med(t[2],t[1]), t[2], med(t[0],t[2])]
    return [t1, t2, t3]


def build():
    global pontos
    aux = []
    for i in range(0, len(pontos)):
        aux += process(pontos[i])
    pontos = aux
   

def sierpinski(n):
    global pontos
    for i in range(0, n):
        for j in range(0, len(pontos)):
            curve(pos=pontos[j])
        build()

sierpinski(10)

com 10 iterações já dá para obter um triângulo engraçado

-> lado direito do rato para mover
-> botão esquerdo e direito ao mesmo tempo (ou botão central) para fazer zoom

[jap]

Ena, que rápido! Parece que o prémio já tem dono!

Vou testar.

E eu que pensava que com o teu treino de Scheme ia sair um algoritmo recursivo!

[Ivo_Timóteo]

Passagem a 3D

Código: Seleccionar Todos

from visual import *

scene.center=(5,4.33,0)
scene.range=(20,20,20)

pontos = [[(0.,0.,0.), (10.,0.,0.), (5., 8.66, 0.), (0.,0.,0.), (5.0, 2.89, 8.165), (5., 8.66, 0.), (10.,0.,0.), (5.0, 2.89, 8.165)]]

def med(p1, p2):
    x = 0
    y = 0
    z = 0
    if p1[0]<p2[0]:
        x=p1[0]+(p2[0]-p1[0])/2.0
    else:
        x=p2[0]+(p1[0]-p2[0])/2.0
    if p1[1]<p2[1]:
        y=p1[1]+(p2[1]-p1[1])/2.0
    else:
        y=p2[1]+(p1[1]-p2[1])/2.0
    if p1[2]<p2[2]:
        z=p1[2]+(p2[2]-p1[2])/2.0
    else:
        z=p2[2]+(p1[2]-p2[2])/2.0
    return (x, y, z)


def process(t):
    t1 = [t[0], med(t[0],t[1]), med(t[0], t[2]), t[0], med(t[0], t[4]), med(t[0], t[2]), med(t[0], t[1]), med(t[0], t[4])]
    t2 = [med(t[0],t[1]), t[1], med(t[1], t[2]), med(t[0],t[1]), med(t[1], t[4]), med(t[1], t[2]), t[1], med(t[1], t[4])]
    t3 = [med(t[0],t[2]), med(t[1], t[2]), t[2], med(t[0],t[2]), med(t[2], t[4]), t[2], med(t[1], t[2]), med(t[2], t[4])]
    t4 = [med(t[0],t[4]), med(t[1],t[4]), med(t[2], t[4]), med(t[0],t[4]), t[4], med(t[2], t[4]), med(t[1], t[4]), t[4]]
    return [t1, t2, t3, t4]


def build():
    global pontos
    aux = []
    for i in range(0, len(pontos)):
        aux += process(pontos[i])
    pontos = aux
   

def sierpinski(n):
    global pontos
    for i in range(0, n):
        for j in range(0, len(pontos)):
            curve(pos=pontos[j])
        build()


sierpinski(5)

Mais uma vez podem brincar
Desta vez aconselho ainda mais

-> botão do lado direito do rato para mover a câmara
-> botão esquerdo e direito ao mesmo tempo (ou botão central) para fazer zoom

[Ivo_Timóteo]

Para quem não dá jeito correr o programa...

Com 10 iterações:




E uma imagem mais "artística" da pirâmide com 8 iterações:

Aqui

[jap]

Beautiful!

[JoãoAbílio]

Merveilleuse!!!

[RicardoCampos]

Sierpinski

Nada mais a dizer.

[hexphreak]

Sierpinski

Nada mais a dizer.

Nada? Um matemático? Este problema devia ser mesmo para tu resolveres

Como já disse ao Bruno, para resolver basta um argumento de escala/semelhança e um teorema bem conhecido do Terence Tao...

[RicardoCampos]

Só que pronto, a área final de um triângulo de Sierpinski é nula. Como é que ele pode ter massa?

[hexphreak]

Só que pronto, a área final de um triângulo de Sierpinski é nula. Como é que ele pode ter massa?

É irrelevante, na verdade. Mas também podes considerar densidades lineares, e o triângulo tem dimensão superior a 1. Chama-lhe densidade fractal

[heliomeiralins]

Sierpinski

Nada mais a dizer.

Nada? Um matemático? Este problema devia ser mesmo para tu resolveres

Como já disse ao Bruno, para resolver basta um argumento de escala/semelhança e um teorema bem conhecido do Terence Tao...

Essa questão é bem tricky =)