Esfera em plano em rotação

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Esfera em plano em rotação

Mensagempor frocha em Quinta Nov 30, 2006 9:36 pm

Ola gente,

Sou novo por estas bandas mas nao resisto a partilhar um dos meus problemas de mecanica favoritos. Devo dizer que nao e' trivial.

Um plano horizontal roda em torno de um eixo vertical com velocidade angular constante. Uma esfera move-se em sim do plano, rolando sem deslizar. O problema e' encontrar as possiveis trajectorias da esfera. A resposta e' muito surpreendente.

Nota: rodar sem deslizar quer dizer que, em cada instante, o ponto da esfera que toca o plano tem a mesma velocidade que o ponto do plano que toca.

Para pontos extra, imaginem que o plano e' inclinado em vez de horizontal. Quais sao as trajectorias agora? Depois de resolver a primeira parte esta e' muito facil. O resultado faz lembrar alguma coisa?
frocha
 
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Re: Esfera em plano em rotacao

Mensagempor jap em Quinta Nov 30, 2006 10:39 pm

frocha Escreveu:Ola gente,

Sou novo por estas bandas mas nao resisto a partilhar um dos meus problemas de mecanica favoritos. Devo dizer que nao e' trivial.
(...)


Não, não é de facto trivial, mas aqui está um belo problema para os olímpicos veteranos. O resultado é, tal como diz o Fábio, deveras surpreendente :shock: - e muito, muito bonito! :D
Garanto que vale a pena o esforço... :wink:

Prometo uma demonstração experimental deste problema na 1a sessão de preparação em Coimbra, após a aula do Fernando sobre corpo rígido :wink:
Ver para crer!
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Mensagempor Ivo_Timóteo em Terça Dez 05, 2006 10:46 pm

Só uma pequena questão, a esfera parte de algum sitio em especial ou com alguma velocidade especifica(por exemplo a partir do centro com um vector velocidade radial) ou é para estudar vários casos de uma forma mais genérica?

Abraço
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Mensagempor jap em Quarta Dez 06, 2006 10:24 pm

Ivo,

O problema pode ser resolvido de forma genérica... :D Mas podes começar por considerar uma situação inicial qualquer, a teu gosto... :wink:

Boa inspiração!
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Mensagempor joaoramos em Quarta Dez 13, 2006 10:45 pm

Indago por aqui...
Curioso.
Creio que houve um grupo que fez uma prova experimental sobre isto em Aveiro este Verão... Se eu me lembrasse da apresentação do projecto desse grupo. :?

Ivo, um abraço... depois mando-te os apontamentos sobre integrais... 8)
Está a ser engraçado.
Já deu para descobrir que a matemática ás vezes é bonita - às vezes há coincidências que não esperas.
(a Física nem se questiona :wink: )

[
foi-me deixado para duas semanas uma demostração
que envolvi-a qualquer coisa como números harmónicos...
E eu a pensar que era suposto chegar à solução! :roll:
O Prof pensou que seria mais fácil demostrar... ups :lol: ...
Enquanto não te deixarem assim maluco às voltas dá graças.
Se estiveres com vontade de perder a cabeça
podes sempre vir cá aos tricky não é verdade?
]

Enfim,

Até breve
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Mensagempor Ivo_Timóteo em Terça Fev 06, 2007 6:37 pm

Tenho quase a certeza absoluta de que este resultado está mal, mas aqui vai, já que ninguém parece gostar deste problema...

Usando coordenadas polares (o que já é um mau sinal dado que nunca ninguém me ensinou a usa-las) cheguei a uma equação:

r(\theta)=\frac{d+\sqrt{d^2+4\theta}}{2}

sendo d a distância inicial ao centro (pena que para d=0 r seja diferente de 0 :) )

as velocidades desapareceram pelo meio o que também achei estranho...

Por fim, estava à espera que se afastasse do centro muito mais rapidamente, algo parecido com f(x)=\sqrt{x} para quem visse de um referencial inercial (neste caso em coordenadas cartesianas)

Espero que pelo menos dê para quebrar o gelo :wink:
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Mensagempor jap em Terça Fev 06, 2007 9:23 pm

Boa tentativa de "degelo", Ivo! :wink:

... mas as trajectórias possíveis para a bola não têm a forma que encontraste. Na realidade são surpreendentemente simples ... e contraintuitivas!

Mais logo vou postar aqui uns vídeos que mostram essas trajectórias, tá?

Stay tuned!
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Mensagempor jap em Terça Fev 06, 2007 10:43 pm

Aqui vão os prometidos vídeos das trajectórias de uma bola que rola, sem deslizar, numa mesa giratória, horizontal.

Claro que há várias trajectórias possíveis, dependendo das condições iniciais...mas vejam lá se era isto que estavam à espera - aposto que não! :shock:

Bola a rodar numa circunferência centrada com o eixo de rotação da mesa

http://algol.fis.uc.pt/movies/bola1.avi

Bola a rodar numa circunferência com o centro fora do eixo de rotação da mesa

http://algol.fis.uc.pt/movies/bola2.avi

Bola a rodar numa circunferência que passa pelo eixo de rotação

http://algol.fis.uc.pt/movies/bola4.avi

Bola "parada" :shock:

http://algol.fis.uc.pt/movies/bola3.avi

Agora só falta escrever as equações que mostram que estas trajectórias são possíveis...e resolvê-las! :P

E quem o fizer verá que há uma relação especial entre a frequência de rotação da mesa e a frequência de rotação das trajectórias circulares da bola... :roll:

Espantoso, não é? :wink:
última vez editado por jap s Quarta Fev 07, 2007 8:39 pm, editado 2 vezes no total
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Mensagempor Ivo_Timóteo em Quarta Fev 07, 2007 4:08 pm

:)
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Mensagempor jmgb em Quarta Fev 07, 2007 9:35 pm

A bola "parada" esta como que a descrever uma circunferencia de raio 0?
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Mensagempor pmp em Quinta Abr 26, 2007 10:48 pm

No primeiro caso a velocidade do centro de massa da bola é:

v_{\rm cm}=\omega_p R-\omega_b r ?, R é a distância da bola ao eixo do plano que roda, r o raio da bola, \omega_p, a velocidade angular do plano de rotação, e \omega_b a velocidade angular da bola.
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Mensagempor jap em Sábado Abr 28, 2007 2:34 pm

pmp Escreveu:No primeiro caso a velocidade do centro de massa da bola é:

v_{\rm cm}=\omega_p R-\omega_b r ?, R é a distância da bola ao eixo do plano que roda, r o raio da bola, \omega_p, a velocidade angular do plano de rotação, e \omega_b a velocidade angular da bola.


Pedro, se aplicares as equações do movimento (translacção: \vec F = m\vec a e rotação\vec M = d\vec L/dt) e a condição de rolamento sem deslizamento, obterás a seguinte relação entre a frequência do movimento circular da bola, \omega, e a frequência de rotação da mesa, \omega_0,

\omega = \frac{2}{7}\omega_0

e isto independentemente do raio e do centro da trajectória circular da bola sobre a mesa! :shock:

Absolutamente surpreendente! :D
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Re: Esfera em plano em rotação

Mensagempor hexphreak em Sexta Jan 23, 2009 12:11 pm

Sejam \omega e \omega_e as frequências angulares de rotação do plano e da esfera, respectivamente, sendo a primeira constante. Seja ainda \theta o ângulo que o CM da esfera faz com o ponto de intersecção entre o eixo de rotação do plano e o próprio plano, correspondendo \theta = 0 à posição inicial da esfera, e r a sua distância a este ponto (i.e. coordenadas polares).

Assim, podemos facilmente verificar que a velocidade do ponto de contacto entre a mesa e a esfera tem as seguintes componentes:

\left\{
\begin{array}{ll}
u_x = -\omega r \sin \theta \\
u_y = \omega r \cos \theta
\end{array}
\right.

Por outro lado, no referencial do plano, a velocidade da esfera no ponto de contacto é nula, pelo que:

\left\{
\begin{array}{ll}
u_x = v_x - \omega_{e,y}R \\
u_y = v_y + \omega_{e,x}R
\end{array}
\right.

(os sinais devem-se à convenção imposta pela regra da mão direita: uma rotação positiva em yy corresponde a um movimento CCW, significando uma velocidade negativa em xx.)

Vejamos agora as forças exercidas na esfera. Temos o peso, a reacção normal do plano e a força de atrito. As duas primeiras são exercidas no CM e anulam-se, enquanto que a última é exercida no ponto de contacto. Vemos ainda que a componente em xx da força de atrito se opõe à translação da esfera, mas favorece a rotação (i.e. tem o mesmo sinal que \omega_{e,y}; ver nota acima); a componente em yy opõe-se à translação e à rotação. Aplicando então a segunda lei de Newton para a translação e para a rotação, temos dois sistemas:

\left\{
\begin{array}{ll}
m \frac{dv_x}{dt} = -F_x \\
m \frac{dv_y}{dt} = -F_y
\end{array}
\right.
\hspace{1cm}
\left\{
\begin{array}{ll}
I \frac{d\omega_{e,x}}{dt} = -F_yR \\
I \frac{d\omega_{e,y}}{dt} = F_xR
\end{array}
\right.

Para uma esfera temos I = {2 \over 5} mR^2. Podemos agora eliminar as forças de atrito desconhecidas juntando os dois sistemas:

\left\{
\begin{array}{ll}
{dv_x \over dt} = -{2 \over 5} {d\omega_{e,x} \over dt} R \\
{dv_y \over dt} = {2 \over 5} {d\omega_{e,y} \over dt} R
\end{array}
\right.

Mas já conhecemos outra relação entre as velocidades angulares e de translação, a que é dada pelos dois primeiros sistemas. Igualando as componentes respectivas e derivando em ordem ao tempo (sabendo que r\sin \theta = y e r\cos \theta = x, claro), obtemos:

\left\{
\begin{array}{ll}
-\omega v_y = {dv_x \over dt} - {d\omega_{e,y} \over dt} R \\
\omega v_x = {dv_y \over dt} + {d\omega_{e,x} \over dt} R
\end{array}
\right.

Podemos finalmente juntar estes dois últimos sistemas para eliminar as velocidades de rotação da esfera, ficando apenas com as de translação. Após alguma manipulação, ficamos com:

\left\{
\begin{array}{ll}
{7 \over 2} {dv_x \over dt} = -\omega v_y \\
{7 \over 2} {dv_y \over dt} = \omega v_x
\end{array}
\right.

Tecnicamente, temos aquilo a que se chama um sistema de equações diferenciais de primeira ordem acopladas, de coeficientes constantes. Embora pareça assustador, é bastante simples resolvê-lo: como num sistema de equações lineares, temos apenas que isolar uma das variáveis (que neste caso são funções do tempo) e substituir na segunda equação, levando as contas até ao fim até obtermos a solução. Neste caso, se optarmos por isolar v_x, temos:

\left\{
\begin{array}{ll}
v_x = {7 \over 2\omega} {dv_y \over dt} \\
{d^2 v_y \over dt^2} = -\left( {2 \over 7} \omega \right)^2 v_y
\end{array}
\right.

Mas conhecemos bem a segunda equação: é a equação que descreve um MHS! Sendo assim, sabemos que a sua solução geral é da forma v_y = A \sin \left({2 \over 7} \omega t \right) + B \cos \left({2 \over 7} \omega t \right). Substituindo também na equação para v_x, acabamos com:

\left\{
\begin{array}{ll}
v_x = A \cos \left({2 \over 7} \omega t \right) - B \sin \left({2 \over 7} \omega t \right) \\
v_y = A \sin \left({2 \over 7} \omega t \right) + B \cos \left({2 \over 7} \omega t \right)
\end{array}
\right.

Resta-nos apenas integrar estas equações e aplicar as condições iniciais, e temos (finalmente!) o problema resolvido. Deixo-vos as contas, mas para quem reconheceu as duas últimas equações, é tentador prosseguir mais um pouco para encontrar:

\left( x - x_0 + {7v_{0y} \over 2\omega} \right)^2 + \left( y - y_0 - {7v_{0x} \over 2\omega} \right)^2 = \left( {7v_0 \over 2\omega} \right)^2

Pelo que, finalmente descobrimos todas as trajectórias possíveis de uma assentada: são circunferências centradas em \left( x_0 - {7v_{0y} \over 2\omega}, y_0 + {7v_{0x} \over 2\omega \right) e de raio 7v_0 \over 2\omega. Como um aparte interessante, note-se que quando \omega \to 0 obtemos uma "circunferência" de raio infinito - uma linha recta, conforme seria de esperar.
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Re: Esfera em plano em rotação

Mensagempor jap em Sexta Jan 23, 2009 10:54 pm

Boa! :D
Verdadeiramente espantoso, não? :P
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Re: Esfera em plano em rotação

Mensagempor hexphreak em Terça Jan 27, 2009 8:58 pm

É bastante engraçado :) Estou curioso para ver o que sai do caso em que o plano está inclinado...
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