Cordas...

por **Irakian Monkey** em Terça Fev 06, 2007 12:25 am

Eu tinha feito com a tensão da corda, mas a equação final era muito grande e não me estava a apetecer derivar aquilo tudo por isso pus na calculadora. Acontece que me enganei e pus apenas o numerador da equação certo (o denominador estava errado), o que me dá o ângulo certo mas a porção errada. Deste modo agora já dá a porção 0,172. Se quiserem posso expor aqui tudo mas a solução do Pedro é muito mais simples.

por **jap** em Terça Fev 06, 2007 12:30 am

Parabéns, por também teres encontrado a solução!

Se tiveres paciência, escreve aqui também a tua solução, que utiliza a tensão da corda...até para vermos que dá o mesmo resultado! :wink:

por **Irakian Monkey** em Terça Fev 06, 2007 1:31 pm

$N=F_{g2}\cos \theta \Leftrightarrow N=\rho Al_2g \cos \theta$

$F_{g2} \sin \theta +T=F_a \Leftrightarrow N=\rho Al_2g \sin \theta +T~~( \mu _e=1)$

$F_{g1}=2T\sin \theta \Leftrightarrow T=\frac{\rho Al_1g}{2\sin \theta }$

$\rho Al_2g \cos \theta =\rho Al_2g \sin \theta +\frac{\rho Al_1g}{2\sin \theta }~\Leftrightarrow~l_2\cos \theta = l_2\sin \theta + \frac{l_1}{2\sin \theta }$

$l_2=\frac{L-l_1}{2}$

Depois de substituir e simplificar deu me:

$\displaystyle\frac{l_1}{L}=\frac{\cos \theta \sin \theta -\sin ^2\theta}{1+\cos \theta \sin \theta -\sin ^2\theta}$

Ao pôr esta equação na calculadora e calcular o máximo dá-me:

$\theta =22,5Âº,~\frac{l_1}{L}\approx 0,172$

por **jap** em Terça Fev 06, 2007 2:20 pm

Obrigado Pedro, está óptimo!

por **jap** em Quarta Fev 07, 2007 6:55 pm

Continuando com cordas....

Corda 2: Uma corda homogénea, de secção constante, e comprimento

, está em repouso, esticada na horizontal sobre uma mesa alta. Não há atrito entre a mesa e a corda. Puxa-se uma pontinha da corda que fica a tombar da mesa. A corda entra em movimento e escapa da mesa. Com que velocidade sai a corda da mesa? :wink:

por **jmgb** em Quarta Fev 07, 2007 9:53 pm

Considerando que:
P.x=m

dá a massa de fio "pendente"
P.L=M

dá a massa de fio total.

Temos que:
M.a=P.L.a

em que a é a aceleração da corda.

Logo, como a unica força a actuar no conjunto é o peso da corda que pende da beira da mesa:
m.g=P.L.a

$a=\frac{x.g}{L}$

Integrando a de 0 a L obtém-se $v_{final}=L.g$

Enganei-me nas contas?

Até amanhã, caloiros olímpicos!

por **Joao Barros** em Quarta Fev 07, 2007 10:20 pm

Gama, por acaso acho que te enganas-te nas contas porque L.g

não tem unidades de velocidade, o meu resultado é $\sqrt{L.g}$ .

Se a minha estiver certo posso escrever a solução...

Abraço

por **jmgb** em Quarta Fev 07, 2007 10:28 pm

O meu erro foi ter considerado a velocidade como o integral da aceleração em ordem a x, quando o integral é na verdade em ordem ao tempo.

Vou rever o meu raciocínio. Penso que a expressão que obtive para a aceleração é válida. Daí para a frente, não.

Abraço.

por **Joao Barros** em Quarta Fev 07, 2007 10:29 pm

Pois, eu acredito mesmo que sim, alias, tenho consciencia que percebes muito mais disto do que eu, por isso acredito que estejas certo...

Aliás, eu a integrar sou tão fraquinho...

por **jmgb** em Quarta Fev 07, 2007 10:38 pm

Se a minha expressão para a aceleração estiver certa:
$\frac{x.g}{L}=\frac{d^2x}{dt^2}$
$\frac{g}{L}dt^2=\frac{dx^2}{x}$

Integrando uma vez (em cada membro):
$\frac{g.t}{L}dt=ln(x).dx$
$\frac{dx}{dt}={g.t}{L.ln(x)}$

Se tudo estiver certo até este ponto (sérias dúvidas...), temos para x=L:
$v_{final}=\frac{gt}{L.ln(L)}$

NOTA: dx/dt=velocidade...

PS: Como se faz o sinal de equivalência em LaTex?

por **jap** em Quarta Fev 07, 2007 10:41 pm

jmgb Escreveu:Se a minha expressão para a aceleração estiver certa:
$\frac{x.g}{L}=\frac{d^2x}{dt^2}$
$\frac{g}{L}dt^2=\frac{dx^2}{x}$

Integrando uma vez (em cada membro):
$\frac{g.t}{L}dt=ln(x).dx$
$\frac{dx}{dt}={g.t}{L.ln(x)}$

Se tudo estiver certo até este ponto (sérias dúvidas), temos para x=L:
$v_{final}=\frac{gt}{L.ln(L)}$

NOTA: dx/dt=velocidade...

Sorry, a solução não está certa :cry:

O resultado e o raciocínio para encontrar a resposta correcta são bem simples, muito simples mesmo!

por **jmgb** em Quarta Fev 07, 2007 10:44 pm

Sorry, a solução não está certa

Já calculava. Se cometi o erro absurdo da integração em ordem a x, talvez outros tenham passado no crivo mental (ao que parece muito tolerante neste momento)...
Voltarei a rever o problema mais tarde!

por **jap** em Quarta Fev 07, 2007 11:37 pm

Joao Barros Escreveu:Gama, por acaso acho que te enganas-te nas contas porque não tem unidades de velocidade, o meu resultado é $\sqrt{L.g}$ .

Se a minha estiver certo posso escrever a solução...

Abraço

A resposta certa não é $v_f = \sqrt{Lg}$ , mas não estsará muito longe disso - se pensares um bocadito verás que a solução é óbvia, quase trivial, ... mas o problema é tricky, pelo que só é trivial visto pelo ângulo certo!

EDIT: A RESPOSTA DO JOÃO BARROS ESTÁ CORRECTA - VER ADIANTE!

por **Joao Barros** em Quarta Fev 07, 2007 11:44 pm

Ok

Vou continuar a pensar no problema, mas nao o devo conseguir resolver ate amanha.

Veremos... :roll:

por **jmgb** em Quinta Fev 08, 2007 12:01 am

Pela expressão do trabalho ( $\int_{0}^L F.dx$ ), cheguei a que $K_{final}=\frac{1}{2}MgL$ , em que g é a aceleração da gravidade, M a massa da corda, L o seu comprimento (total) e K a energia cinética.

Portanto, $v_{final}=\sqrt{gL}$ .

Abraço.

Cordas...

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