A idade do Universo

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

A idade do Universo

Mensagempor jap em Quinta Jan 04, 2007 1:35 am

Observações espectroscópicas da luz emitida por estrelas de galáxias distantes mostram que as galáxias se estam a afastar de nós com uma velocidade que é proporcional à sua distância:

v = H_0 r,


onde H_o é a constante de Hubble. Esta lei pode ser compreeendida como consequência da isotropia e homogeneidade (em larga escala) do Universo; a "constante" de Hubble tem o valor actual de \rm 75~km/s/MPc, mas poderá variar com o tempo. (nota: 1 MPc = 1 mega parsec é uma unidade de dsitância muito usada em astronomia e é = \rm 3.084 x10^{22}~m)

Vamos usar a mecânica newtoniana para estrair algumas consequências desta lei; este exercício não é fútil, pois os valores que obteremos são comparáveis aos de um cálculo mais complexo, usando não a teoria da gravitação de Newton mas a Relatividade Geral de Einstein...

Ora bem: usem então os vossos conhecimentos de mecânica newtoniana para mostrar que a lei de Hubble implica que o univserso se expandirá para sempre se a densidade actual do universo for inferior a um valor crítico \rho_c; se a densidade for superior a esse valor crítico o universo atingirá uma dimensão máxima algures no futuro e irá contrair-se a partir daí.

Qual é o valor desta densidade crítica? Como se compara com o valor da densida de matéria visível observada actualmente no universo
(\rm 10^{-31}~g cm^{-3})

Supondo que \rho = \rho_c, é possível estimar a idade do universo :shock: ... qual é esse valor? :roll:
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Mensagempor Irakian Monkey em Quinta Jan 04, 2007 8:56 pm

A densidade critica é alguma coisa parecida com 2,11*10^{-26} Kg/m^3?
Sobre a idade do Universo ainda não tentei porque se \rho _c estiver errado estarei a usar pressupostos errados.
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Mensagempor jap em Quinta Jan 04, 2007 9:03 pm

Irakian Monkey Escreveu:A densidade critica é alguma coisa parecida com 2,11*10^{-26} Kg/m^3?
Sobre a idade do Universo ainda não tentei porque se \rho _c estiver errado estarei a usar pressupostos errados.



O valor que obtiveste para a densidade crítica é o dobro do correcto - mas em ordem de grandeeza está bem!

Vê se encontras o factor de 2 e posta a tua resolução :wink:
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Mensagempor pmp em Quinta Jan 04, 2007 10:13 pm

Obtive:

\rho_c=\frac{3}{8}\frac{H_0^2}{\pi G}

Considerei uma galáxia que, actualmente, está a uma distância r da Terra.

Para a galáxia afastar-se para sempre, quando estiver a uma distância infinita da Terra, a sua energia mecânica terá que ser maior ou igual a zero, dependendo se ainda tem velocidade ou não. O caso crítico é se a velocidade for 0. Como a energia mecânica conserva-se, a energia inicial, no caso crítico, terá também que ser igual a 0. Assim:

\frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{GmM}{r}=0

Desenvolvendo, chega-se à expressão inicial.
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Mensagempor jap em Quinta Jan 04, 2007 10:20 pm

Certo, :wink:

Falta apenas acrescentar que, num universo homogéneo e isotrópico, apenas a massa M contida na esfera de raio r afecta o movimento da galáxia de massa m...

E quanto a uma estimativa para a idade do umiverso? :roll:
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Mensagempor pmp em Quinta Jan 04, 2007 10:52 pm

Então, já se sabe que a expansão do universo será permanente? :shock: Ou recorrendo à relatividade advêm ambiguidades?

Seria de esperar a Lei de Hubble? Acho que não é intuitiva.
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Mensagempor Irakian Monkey em Quinta Jan 04, 2007 10:59 pm

Eu fiz com as Forças, considerei que havia uma força contrária à gravidade que fazia com que a galáxia se afastasse.
A força gravítica é dada por F_g=-\frac{GMm}{r^2} ou F_g=-\frac{G\rho \frac{4}{3}\pi r^3m}{r^2} que se simplifica em F_g=-\frac{4mG\rho \pi r}{3}
A outra força é dada por F=m\frac{dv}{dt} em que v=H_or então como \frac{dv}{dt}=H_o\frac{dr}{dt} e \frac{dr}{dt}=v=H_or então F=mH_o^2r
Pensei que a densidade critica fosse aquela que equilibrava as forças ou seja:
mH_o^2r-\frac{4mG\rho \pi r}{3}=0 \Leftrightarrow \rho =\frac{3H_o^2}{4G\pi } o que dá o meu resultado e que é como o professor já disse o dobro do correcto. O problema é que não consigo encontrar o meu erro e parece-me que o raciocínio está correcto.
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Mensagempor jap em Quinta Jan 04, 2007 11:24 pm

pmp Escreveu:Então, já se sabe que a expansão do universo será permanente? :shock: Ou recorrendo à relatividade advêm ambiguidades?

Seria de esperar a Lei de Hubble? Acho que não é intuitiva.



Bom, a lei de Hubble não é iintuitiva, por isso é que foi uma grande descoberta! :D

De acordo com os últimos dados, parece que o universo estará para sempre em expansão, mas este é um assunto largamente ainda em aberto... Há um problema em estimar a "dark energy" ou matéria escura e também um problema relacionado com a chamada "constante cosmológica", isto quando o problema é abordado do ponto de vista da teoria da relatividade geral.

A idade do universo actualmente aceite é de \rm (13.7\pm 0.2) \times 10^9 anos.

O que vos peço é que calculem uma estimativa para a idade do universo a partir da mecânica de newton na hipótese de \rho =\rho_c, ou seja de a energia E, tal como formulou o Pedro Ponte, ser nula.
última vez editado por jap s Quinta Jan 04, 2007 11:29 pm, editado 2 vezes no total
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Mensagempor jap em Quinta Jan 04, 2007 11:28 pm

Irakian Monkey Escreveu:Eu fiz com as Forças, considerei que havia uma força contrária à gravidade que fazia com que a galáxia se afastasse.
A força gravítica é dada por F_g=-\frac{GMm}{r^2} ou F_g=-\frac{G\rho \frac{4}{3}\pi r^3m}{r^2} que se simplifica em F_g=-\frac{4mG\rho \pi r}{3}
A outra força é dada por F=m\frac{dv}{dt} em que v=H_or então como \frac{dv}{dt}=H_o\frac{dr}{dt} e \frac{dr}{dt}=v=H_or então F=mH_o^2r
Pensei que a densidade critica fosse aquela que equilibrava as forças ou seja:
mH_o^2r-\frac{4mG\rho \pi r}{3}=0 \Leftrightarrow \rho =\frac{3H_o^2}{4G\pi } o que dá o meu resultado e que é como o professor já disse o dobro do correcto. O problema é que não consigo encontrar o meu erro e parece-me que o raciocínio está correcto.


Não há outras forças a actuarem, para além da gravidade :shock: . O que há é uma energia cinética inicial...que provém do Big Bang!
Tal como quando lançamos um foguetão aqui da terra, dependendo da sua velocidade inicial, pode, ou não, escapar à atração da planeta (ou até do sistema solar)...
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Mensagempor Irakian Monkey em Sexta Jan 05, 2007 12:12 am

Sendo assim não percebo uma coisa:
Então, as galáxias estão a afastar-se de nós com velocidade v=H_or, mas se se estão a afastar de nós r devia aumentar, se r varia (aumentando) então v também vai aumentando. Ora se há uma variação da velocidade, há uma aceleração e se há uma aceleração devia haver uma força.
Se o professor tiver paciência podia-me explicar porque é que não é assim?
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Mensagempor pmp em Sexta Jan 05, 2007 7:03 pm

A estimativa da idade do universo implica considerar que a velocidade de uma galáxia actualmente é praticamente a mesma do momento do Big Bang? E depende da densidade actual ou apenas de H_0?
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Mensagempor jap em Sexta Jan 05, 2007 7:37 pm

pmp Escreveu:A estimativa da idade do universo implica considerar que a velocidade de uma galáxia actualmente é praticamente a mesma do momento do Big Bang? E depende da densidade actual ou apenas de H_0?


A velocidade de uma galáxia varia à medida que o universo evolui... :(

A estimativa da idade do universo depende da razão entre a densidade e a densidade crítica, mas peço apenas que façam a estimativa para o caso de
\rho \sim \rho_c; neste caso, a idade do universo é apenas função de H_0, e não é difícil de calcular :wink:
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Mensagempor jap em Sexta Jan 05, 2007 7:43 pm

Irakian Monkey Escreveu:Sendo assim não percebo uma coisa:
Então, as galáxias estão a afastar-se de nós com velocidade v=H_or, mas se se estão a afastar de nós r devia aumentar, se r varia (aumentando) então v também vai aumentando. Ora se há uma variação da velocidade, há uma aceleração e se há uma aceleração devia haver uma força.
Se o professor tiver paciência podia-me explicar porque é que não é assim?


Repara que a expressão v = H_0 r relaciona a velocidade de várias galáxias que neste instante estão a várias distâncias r; ao derivar v = H_0 r, não estás a calcular a aceleração de uma galáxia, porque o segundo membro não é a expressão da velocidade dessa dada galáxia em função do tempo, mas sim a expressão de um campo de velocidades ( como é que a velocidade de vários corpos que ocupem vários pontos do espaço varia em função da posição desses corpos). Daí que se calculares \frac{dv}{dt} usando a expressão da lei de Hubble, como fizeste, não obténs a força que actua na galáxia que está na posição r, daí a confusão...
Por outro lado repara que, em geral H depende do tempo, H_0 é o valor da constante de Hubble medida hoje, mas acredita-se que o seu valor varie com o tempo...devido à acção da gravidade.
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Mensagempor Irakian Monkey em Sexta Jan 05, 2007 9:55 pm

Pois assim já faz mais sentido, obrigado pela explicação. Mas acho que é uma grande coincidência o meu resultado errado ser o dobro do certo. Mas pelo menos assim fiquei a perceber um bocadinho mais disto.
Já agora vou me aventurar a dar um resultado para a idade: 5,21\times10^{10} anos
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Mensagempor jap em Sexta Jan 05, 2007 10:09 pm

Irakian Monkey Escreveu:Pois assim já faz mais sentido, obrigado pela explicação. Mas acho que é uma grande coincidência o meu resultado errado ser o dobro do certo. Mas pelo menos assim fiquei a perceber um bocadinho mais disto.
Já agora vou me aventurar a dar um resultado para a idade: 5,21\times10^{10} anos


O resultado dado pelo modelo é cerca de 9 biliões de anos, não 52 :D
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