Passadeira rolante com atrito!

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Mensagempor jap em Segunda Mar 24, 2008 4:45 pm

Sim, está correcto. :oops:

Como usei uma notação diferente, ao converter da minha para a tua notação troquei duas letras! :wink:
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Mensagempor jap em Segunda Mar 24, 2008 4:55 pm

Ah, e já agora: o que é que acontece quanto \tan^2 \alpha = 1? :roll:
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Mensagempor jap em Segunda Mar 24, 2008 5:44 pm

Bem, vou tentar esclarecer alguns pontos da brilhante resolução do Henrique, para que seja mais fácil seguirem os pontos fundamentais da resolução deste problema.

Em primeiro lugar, há que reparar que a força de atrito cinético entre o bloco e passadeira rolante é antiparalela à velocidade relativa do bloco em relação à passadeira. Esta velocidade relativa do bloco em relação à passadeira é \vec v - \vec u (estão a ver porquê? ponham-se no referencial da passadeira... :lol:).

Assim, se designar por \vec F essa força de atrito cinético, a sua direcção e sentido é a representada no seguinte esquema:

Imagem

Esta força de atrito pode ser projectada nas direcções paralela e perpendicular à parede. Se designarmos por \Psi o ângulo que a velocidade relativa faz com a velocidade \vec v, as componentes da força de atrito cinético são:


F_x = - \mu_1 N \cos \Psi = - \mu_1 m g \cos \alpha \cos \Psi

e

F_y = \mu_1 N \sin \Psi = \mu_1 m g \cos \alpha \sin \Psi

Reparem agora que a força F_y actua como uma força de compressão do bloco contra a parede - o que vai originar uma força de atrito entre o bloco e a parede cujo valor máximo será \mu_2 F_y ou seja, actuará sobre o bloco uma segunda força de atrito cujo valor é

F'_x = -\mu_2 \mu_1 mg\cos \alpha\sin \Psi

A equação do movimento do bloco segundo o eixo OX será portanto

m\frac{dv}{dt} =P_x +  F_x + F'_x


ou seja,

m\frac{dv}{dt} =  mg\sin \alpha -\mu_1 m g \cos \alpha \sin \Psi - \mu_2 \mu_1 g \cos \alpha \sin \Psi

ou ainda (verifiquem a álgebra!)

\frac{dv}{dt} = g\sin \alpha \left ( 1 - \frac{x_1 v + x_2 u}{\sqrt{u^2+ v^2}}\right),

onde uso as seguintes definições (que dão jeito!)

x_1 = \mu_1/\tan \alpha
x_2 =  \mu_2 \mu_1/ \tan \alpha

Não se esqueçam que na equação diferencial acima, v é uma função do tempo desconhecida (podíamos ter escrito v(t)!), ao passo que u é uma constante, um dado do problema.

A equação diferencial para v(t) acima é idêntica à que o Henrique encontrou, apenas introduzi a notação x_1, x_2 ...

Agora, tal como fez o Henrique, é só analisar os diferentes conportamentos que podem ter as soluções da equação diferencial para diferentes valores dos parâmetros x_1 e x_2 :lol:


Os pontos que o Henrique levantou na sua análise exaustiva do problema são todas pertinentes:

Ponto 1: Não vale a pena analisar os casos em que x_2 é maior ou igual que 1. Nesta situação (que equivale a dizer que \mu_1\mu_2  >= \tan \alpha) o bloco fica parado, uma vez que a força de atrito entre o bloco e a parede ainda não atingiu o seu valor máximo.

Portanto vamos assumir daqui em diante que x_2 < 1, pois se isto não acontecer o bloco fica parado (partindo do repouso, claro!). :lol:

Daqui por diante é seguir a análise do Henrique, com atenção.

Reparem que o sinal de \frac{dv}{dt} depende exclusivamente do sinal da expressão

\sqrt{u^2 + v^2}-x_1v -x_2 u


A resolução da desigualdade

\sqrt{u^2 + v^2}-x_1v -x_2 u  > 0

ou, de forma equivalente,

v(1-x_1^2)-2ux_1x_2v + u^2 (1-x_2^2) > 0

faz-se por análise da quádrica, ou seja do comportamento do discriminante

\Delta = 4u^2(x_1^2+ x_2^2 -1 )


Como bem diz o Henrique, no caso de \Delta < 0, ou seja quando x_1^2+x_2 ^2 < 1, o comportamento é simples de explicar: o bloco vai aumentando a sua velocidade à medida que desce o plano por a sua aceleração a_xser sempre positiva... O movimento não é uniformemente acelerado, mas o bloco não atinge, neste caso, uma velocidade estacionária, está sempre a aumentar a sua velocidade.

Restam 2 casos interessantes a analisar, quando x_1^2 + x_2 ^2 > 1 e

x_1^2 + x_2 ^2 = 1.

Quando x_1^2 + x_2 ^2 > 1, como bem diz o Henrique, há duas soluções estacionárias:

v_\pm = u \frac{x_1x_2\pm\sqrt{x_1^2+ x_2^2-1}}{1-x_1^2}


Se x_1 >= 1, só uma das soluções é positiva (e é estável, não depende da velocidade inicial do bloco). O caso x_1 = 1 merece uma atenção especial, ver acima, mas não é difícil mostrar que há uma solução estável.

Se x_1 < 1, as duas soluções são positivas mas só uma (v_{-}) é estável!

Também há comportamento instável para x_1^2 + x_2^2 = 1.

Portanto, dependendo da velocidade inicial do bloco podemos tender para um regime estacionário ou para um regime de instabilidade, onde pequenas variações nas condições iniciais (ou dos parâmetros do problema) produzem grandes alterações na velocidade do bloco.

Em resumo, no espaço dos parâmetros x_1, x_2 a situação é a descrita na figura seguinte

Imagem

onde são identificadas quatro regiões:

i) Comportamento estável, atinge velocidade terminal

ii) Comportamento estável, movimento acelerado, não atinge velocidade terminal

iii) e iv) Comportamento instável acima de uma determinada velocidade (v_{+}) e muito sensível aos parâmetros (comportamento caótico).


Não é giro como uma situação tão simples pode originar comportamentos físicos tão diversos? :D
última vez editado por jap s Segunda Mar 24, 2008 7:28 pm, editado 3 vezes no total
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Mensagempor hexphreak em Segunda Mar 24, 2008 6:58 pm

jap Escreveu:Não é giro como uma situação tão simples pode originar comportamentos físicos tão diversos? :D

É absolutamente extraordinário :D Aliás, eu ainda estou a ler coisas sobre sistemas não-lineares, achei este problema curiosíssimo e quero perceber melhor o caso geral.

Já agora, aqui vão duas imagens geradas pela minha simulação computacional. Vêem-se perfeitamente os comportamentos estáveis e instáveis, especialmente na primeira imagem:

Imagem Imagem

Reparem na extrema sensibilidade da velocidade superior a mudanças nas condições iniciais :shock:


P.S.: No caso em que x_1 = 1, a termo de segunda ordem desaparece e temos uma simples equação linear em v :)
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Mensagempor jap em Segunda Mar 24, 2008 7:04 pm

Simulação de um caso na região (i) - estável, onde usei \alpha = \pi/12 e u = 5 \rm~m/s

Código: Seleccionar Todos
a) Partindo do repouso
Enter mu1 and mu2: 0.5,0.2
x1= 1.86602540378 x2= 0.373205080757
vm= 1.85863017904 vp= -4.66441545705
g= 9.8 u= 5.0
Press 'Return' to proceed.
     t        a          v          vm        vp
      0.00    1.58982    0.00000    1.85863   -4.66442
      2.00    0.28414    1.48159    1.85863   -4.66442
      4.00    0.06242    1.77300    1.85863   -4.66442
      6.00    0.01444    1.83867    1.85863   -4.66442
      8.00    0.00338    1.85395    1.85863   -4.66442
     10.00    0.00079    1.85753    1.85863   -4.66442
     12.00    0.00019    1.85837    1.85863   -4.66442
     14.00    0.00004    1.85857    1.85863   -4.66442
     16.00    0.00001    1.85862    1.85863   -4.66442
     18.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     20.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     22.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     24.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     26.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     28.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     30.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     32.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     34.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     36.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     38.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     40.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     42.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     44.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     46.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     48.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     50.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     52.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     54.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     56.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     58.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     60.00    0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442


b) Partindo de v0 = 10 m/s

Código: Seleccionar Todos
Enter mu1 and mu2: 0.5,0.2
x1= 1.86602540378 x2= 0.373205080757
vm= 1.85863017904 vp= -4.66441545705
g= 9.8 u= 5.0
Press 'Return' to proceed.
     t        a          v          vm        vp
      0.00   -2.12027   10.00000    1.85863   -4.66442
      2.00   -1.72161    6.08610    1.85863   -4.66442
      4.00   -0.91227    3.40973    1.85863   -4.66442
      6.00   -0.29134    2.28424    1.85863   -4.66442
      8.00   -0.07418    1.96273    1.85863   -4.66442
     10.00   -0.01777    1.88332    1.85863   -4.66442
     12.00   -0.00419    1.86444    1.85863   -4.66442
     14.00   -0.00099    1.86000    1.85863   -4.66442
     16.00   -0.00023    1.85895    1.85863   -4.66442
     18.00   -0.00005    1.85871    1.85863   -4.66442
     20.00   -0.00001    1.85865    1.85863   -4.66442
     22.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     24.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     26.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     28.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     30.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     32.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     34.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     36.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     38.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     40.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     42.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     44.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     46.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     48.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     50.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     52.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     54.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     56.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     58.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
     60.00   -0.00000    1.85863    1.85863   -4.66442
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Mensagempor jap em Segunda Mar 24, 2008 7:09 pm

Para quem quiser brincar com este sistema maluco :crazy: deixo aqui o meu programazito Q&D em Python para as simulações (aposto que o Henrique pode partilhar também um código semelhante... em C! :lol: ):

Código: Seleccionar Todos
from math import *

alpha = pi/12.
u = 5.
g = 9.8


def vpm(u,x1,x2):
    delta = x1**2 + x2**2 -1
    if delta < 0:
        return None,None
    else:
        vp = u*(x1*x2+sqrt(delta))/(1-x1**2)
        vm = u*(x1*x2-sqrt(delta))/(1-x1**2)
        return vp,vm
   

if __name__ == "__main__":
 
    t = 0
    dt = 0.01
    tend = 60.
    v = 0.

    mu1, mu2 = input("Enter mu1 and mu2: ")

    x1 = mu1/tan(alpha)
    x2 = mu1*mu2/tan(alpha)

    print "x1=",x1,"x2=",x2
   
    vp,vm = vpm(u,x1,x2)
    print "vm=", vm,"vp=",vp
    print "g=",g,"u=",u
    x = raw_input("Press 'Return' to proceed.")
   
    n = 0
    print "     t        a          v          vm        vp"
    while t < tend:
        a = g*sin(alpha)*(1-(x1*v+x2*u)/sqrt(v**2 + u**2))
        if not(n %200):print "%10.2f %10.5f %10.5f %10.5f %10.5f" % (t,a,v,vm,vp)
        v += a*dt
        n += 1
        t += dt
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Mensagempor hexphreak em Segunda Mar 24, 2008 7:14 pm

jap Escreveu:(...) (aposto que o Henrique pode partilhar também um código semelhante... em C! :lol: )

Por acaso já o fiz, mas o output está em CSV para importar no Excel e fazer os gráficos :lol: É só modificá-lo e já posto.
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Mensagempor hexphreak em Segunda Mar 24, 2008 7:47 pm

Então aqui vai :)

Código: Seleccionar Todos
#include <stdio>
#include <math>

int main(void)
{
    float alpha, sin_a, cos_a, mu1, mu2, u, u2, g, dt, t_f, t, v, dv;
    int   n;
   
    printf("mu1,mu2: ");  scanf("%f,%f", &mu1, &mu2);
   
    alpha = 0.261799;  sin_a = sin(alpha);  cos_a = cos(alpha);
    u = 5;  u2 = 25;
    g = 9.81;
    dt = 0.01;  t_f = 60;
    v = 0;
   
    printf("\n    t           a           v\n");
    for(t = 0, n = 0; t <= t_f; t += dt, n++)
    {
        dv = g*sin_a - g*cos_a*mu1*(v + mu2*u) / sqrt(pow(v, 2) + u2);
        v += dv * dt;
        if(!(n % 200))  printf("%f    %f    %f\n", t, dv, v);
    }
   
    return 0;
}

Não o modifiquei para nos dar os pontos estacionários, mas não me ocupa mais que duas linhas se for preciso :wink: Já agora, há um fenómeno esquisito que acontece com os valores imprimidos, por causa da precisão do float... vejam por vocês mesmos :lol:
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