Queda de um íman

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Queda de um íman

Mensagempor hexphreak em Sábado Abr 26, 2008 3:26 pm

Lembram-se da experiência que a Prof. Lucília nos mostrou na última sessão? Para quem lá não esteve, pode ver a experiência aqui (cortesia do MIT) :wink:

Apesar de ser qualitativamente fácil de explicar, graças à lei de Lenz, será que alguém consegue encontrar a lei v(t) e o tempo de queda do íman, para um tubo cilíndrico? :roll:

Tenho andado a tentar intermitentemente desde a sessão, mas parece-me um problema bastante difícil, por haver correntes induzidas em todo o tubo. Talvez alguém tenha uma ideia brilhante para o resolver :wink: Apesar de provavelmente serem necessários métodos numéricos ou aproximações qualitativas.
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Mensagempor jap em Sábado Abr 26, 2008 3:38 pm

É possível sim, mas é um problema algo difícil. :D

Se aceitarem o desafio do Henrique, posso ir dando aqui dicas. :confident:

Em primeiro lugar, têm de identificar as grandezas físicas relevantes...uma análise dimensional do problema também pode ajudar. :wink:
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Mensagempor hexphreak em Sábado Abr 26, 2008 4:18 pm

Parece-me que as grandezas relevantes são as dimensões do íman e do tubo, a massa do íman, a condutividade e a resistência do tubo, o campo magnético gerado pelo íman e a aceleração gravítica :roll: Não me estou a lembrar de mais nenhuma, mas é capaz de haver.

É fácil concluir que o movimento do íman obedece a uma equação diferencial do tipo:

M\frac{dv}{dt} = Mg - kv

Onde k é um coeficiente de atrito de dimensões massa/tempo. A dificuldade com que me deparo é determinar este k, que deve depender dos parâmetros acima mencionados :?

Outra coisa em que pensei é na dissipação de energia por causa das correntes de Foucault. Talvez nos permita calcular as variações de energia no movimento do íman :)
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Mensagempor jap em Sábado Abr 26, 2008 4:29 pm

Excelente ponto de partida! :D

Vamos tentar arranjar argumentos que mostrem que a constante dissipativa, k, não depende de g nem do comprimento do tubo...

Na realidade, um pouco de intuição leva a supor que

k = f (\mu_0, M, \sigma, r)

onde\mu_0 é a permitividade magnética do vazio (~ar), M é o momento magnético do magnete, \sigma é a condutividade eléctrica do tubo de alumínio e r o raio do tubo).
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Mensagempor hexphreak em Sábado Abr 26, 2008 5:14 pm

Por análise dimensional, e se não me tiver enganado nas contas, obtemos:

k = \eta \sigma \mu_0^2 M^2 r^{-3}

Em que \eta é uma constante adimensional que temos ainda que determinar :)
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Mensagempor jap em Sábado Abr 26, 2008 5:28 pm

Certo! :hands:

Mas surge agora uma pequena complicação; na realidade, há um outro parâmetro com a dimensão de um comprimento que entra no problema - a espessura do tubo, w. Isto não é assim tão óbvio (mas a resistência de um elemento do tubo, por onde circulam as correntes, depende dessa espessura... :P).

Ora, sendo assim, esta dimensão adicional coloca-nos um problema na análise dimensional, porque só sabemos (como tu fizeste) que k é inversamente proporcional a um cubo de um comprimento...e não conseguimos desacoplar facilmente a dependência em w da de r.

Na realidade,


k = \eta \sigma \mu_0^2 M^2 w\, r^{-4}


:D

PS: se imaginares as correntes induzidas a circularem num pequeno elemento do tubo com a forma de um anel de espessura w, altura dz e raio r, a resistência, dR, do anel, é

dR =\rho  \frac{l}{S} = \rho \frac{2\pi r}{dz w}

É daqui que vem a dependência em w na expressão acima. A dependência em r provém não só daqui, mas também da dependência em r da indução provocada pelo campo magnético do magnete...

E, já agora, queres saber quanto vale a constante adimensional,\eta? :roll:
Any guess?
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Mensagempor hexphreak em Sábado Abr 26, 2008 7:47 pm

jap Escreveu:(...)

PS: se imaginares as correntes induzidas a circularem num pequeno elemento do tubo com a forma de um anel de espessura w, altura dz e raio r, a resistência, dR, do anel, é

dR =\rho \dfrac{l}{S} = \rho \frac{2\pi r}{dz w}

Não deveria ser dR = \rho \dfrac{dz}{\pi (2rw - w^2)}? :roll: A área seccional é a área do círculo de raio r+w menos a do de raio r, e o comprimento é dz.

Quanto a querer saber \eta, até quero, mas convém também saber porquê :lol: Eu adivinharia \sqrt 2 / \pi, mas isso são influências do Ricardo :P O Prof. não quer dar alguma pista?
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Mensagempor jap em Sábado Abr 26, 2008 8:30 pm

hexphreak Escreveu:Não deveria ser dR = \rho \dfrac{dz}{\pi (2rw - w^2)}? :roll: A área seccional é a área do círculo de raio r+w menos a do de raio r, e o comprimento é dz.


As correntes são circulares e não ao longo do tubo. Por isso o comprimento ao longo da corrente é o comprimento da circunferência 2\pi r; a secção, por seu lado, é a secção perpendicular à corrente, ou seja, é a secção rectangular w\times dz e não a secção em que estás a pensar...

hexphreak Escreveu:(...)

Quanto a querer saber \eta, até quero, mas convém também saber porquê :lol: Eu adivinharia \sqrt 2 / \pi, mas isso são influências do Ricardo :P O Prof. não quer dar alguma pista?


Não é \frac{\sqrt 2}{\pi}, é um número muito mais exótico! :lol:

Se o magnete for um pequeno cilindro de comprimento muito menor do que o raio do anel, este número é...

\eta = \frac{45}{1024} :shock:

Quem diria? :P
última vez editado por jap s Sábado Abr 26, 2008 8:56 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor hexphreak em Sábado Abr 26, 2008 8:46 pm

jap Escreveu:As correntes são circulares e não ao longo do tubo. Por isso o comprimento ao longo da corrente é o comprimento da circunferência 2\pi r; a secção, por seu lado, é a secção perpendicular à corrente, ou seja, é a secção rectangular w\times dz e não a secção em que estás a pensar...

Ah claro, deixei o hábito estragar-me o raciocínio :oops:

jap Escreveu:Não é \frac{\sqrt 2}{\pi}, é um número muito mais exótico! :lol:

Se o magnete for um pequeno cilindro de comprimento muito menor do que o raio do anel, este número é...

\eta = \frac{45}{1024} :shock:

Quem diria? :P

Uau :shock: De onde diabo é que isso vem?!
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Mensagempor jap em Sábado Abr 26, 2008 9:13 pm

Bem, fazendo os cálculos para a constante k usando as leis do electromagnetismo (vocês vão fazer esses cálculos, não vão? :P), obtém-se a seguinte expressão


k = \frac{\mu_0^2 M^2\sigma w f(d/r)}{8\pi r^2 d^2}


onde

d é o comprimento do magnete (com a forma de um pequeno cilindro) e f(x=d/r) a seguinte função

f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}g(x,y) dy

sendo
g(x,y) = \left(\frac{1}{(y^2+1)^{2/3}} - \frac{1}{((y+x)^2+1)^{3/2}\right)^2}


Este integral pode ser calculado numericamente para um certo valor de d/r, mas pode mostrar-se que quando d/r é muito pequeno


f(\frac{d}{r}) \sim \frac{45\pi}{128}\left(\frac{d}{r}\right)^2

Substituindo acima na expressão de k o \pi cancela e obtém-se o tal número estranho... :D
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Mensagempor jap em Sábado Abr 26, 2008 9:52 pm

Aqui fica o gráfico de f(x) (integral calculado numericamente) e da função quadrática aproximada para verificarem que funciona bem para x pequenos...


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