Altura máxima de um balão de hélio

por **jap** em Quarta Mar 19, 2008 7:59 pm

A propósito de balões de hélio :lol:

...

... lembrei-me deste problema.

Se largarmos em Coimbra um balão de He, qual é a altitude máxima que ele pode (teoricamente) atingir? :roll:

É bem mais tricky to que parece. Darei alguns dados para um balão em concreto mais logo. Mas podem ir pensando no assunto...

Stay tuned.

por **hexphreak** em Quarta Mar 19, 2008 8:02 pm

Humm, assim de repente os factores que me parece poderem influenciar a altura máxima são a densidade dos gases, a resistência e a pressão do ar e a força gravítica :roll:

Sinto-me tentado a dizer que o balão fica em MHS, mas nada de conclusões precipitadas - os balões de hélio podem não fazer parte de uns certos 90% da Física :lol:

por **jap** em Quinta Mar 20, 2008 12:14 am

Ok, aqui vai um conjunto de dados realistas para um grande balão de He como os que se usam em publicidade - vamos assumir que se trata de um balão esférico.

Em primeiro lugar, saberão que a pressão no interior de um balão é superior à pressão atmosférica devido à tensão superficial da membrana elástica (de borracha). É por isso que é preciso fazer força para encher um balão, não é? :lol:

Por isso, se a pressão no exterior do balão for

, no seu interior será $P + \Delta P$ .

Vou dividir o problema por alíneas (contrariamente ao que é hábito e não se vai tornar hábito!) para se tornar um pouco mais fácil...

a) Comecem por calcular a força de impulsão que actua no balão em função de

, $\Delta P$ ,

, do número de moles

do gás aprisionado e da "massa molar do ar", $M_A =\rm 28,9\times 10^{-3}~kg/mol$

b) De seguida, tenham em conta que a temperatura do ar varia com a altitude seguindo de forma aproximada a expressão

T(z) = T_0 (1-z/z0)

,

onde $T_0 =\rm 303~K$ e $z_0 =\rm 49~km$

(esta expressão só é válida até $z =\rm~15 km$ , mas é suficiente...)

A pressão por seu lado, varia da forma

$P(z) = P_0 (1-z/z0)^\eta$

onde P_0

é $\rm 1~atm =1,01\times 10^5~Pa$ .

A constante $\eta$ pode ser determinada em função de z_0

, $\rho_0=\rm 1,16\times 10^3~kg/m^3$ , P_0

e

(que se considera que não varia de forma significativa com a altura).

Ora determinem lá $\eta$ ! :wink:

Fico à espera que resolvam estas alíneas para prosseguirmos...

por **Raquelinha** em Quinta Mar 20, 2008 12:48 am

Uma pergunta... está-se a ter em conta o facto do balão provavelmente "rebentar" a uma dada altitude devido ao facto
->da pressão do ar diminuir com a altitude;
->o que provoca uma "expansão do balão ;
->chegando-se a um ponto em que a borracha passa a ter um comportamento plástico, atingindo, por fim, o seu ponto de fractura (não sei se é assim que se diz :oops:

)
???

por **jap** em Quinta Mar 20, 2008 12:52 am

Raquelinha Escreveu:Uma pergunta... está-se a ter em conta o facto do balão provavelmente "rebentar" a uma dada altitude devido ao facto
->da pressão do ar diminuir com a altitude;
->o que provoca uma "expansão do balão ;
->chegando-se a um ponto em que a borracha passa a ter um comportamento plástico, atingindo, por fim, o seu ponto de fractura (não sei se é assim que se diz )
???

Não, antes de ocorrer qualquer desses acidentes (supondo que a borracha é de boa qualidade e o balão não parte muito cheio) o balão atinge uma altura onde o peso vai igualar a impulsão - não porque o peso do balão varie, mas porque a impulsão sobre ele vai diminuir substancialmente... :lol:

Repara: a pressão diminui, é certo, e concluis que o balão expande - mas será sempre assim? Não te esqueças de que a temperatura também diminiui com a altitude... :lol:

por **jap** em Terça Abr 22, 2008 11:08 pm

Esta notícia

Padre pendurado em balões desaparece no ar!

fez-me lembrar esta thread adormecida... :lol:

por **RicardoCampos** em Quarta Abr 23, 2008 10:31 am

Isto só pode ser a gozar suponho eu

por **jap** em Quarta Abr 23, 2008 12:01 pm

RicardoCampos Escreveu::omg:
Isto só pode ser a gozar suponho eu

Não é não, é a sério.

Vamos lá a resolver o problema para sabermos a altitude máxima a que andará o Padre a pairar! :shock:

por **hexphreak** em Quarta Abr 23, 2008 12:52 pm

jap Escreveu::omg:

Esta notícia

Padre pendurado em balões desaparece no ar!

fez-me lembrar esta thread adormecida...

Hahaha

Tenho de voltar ao problema, nem que seja só para procurar o padre no Google Earth

por **jap** em Domingo Abr 27, 2008 3:14 pm

Alguém sabe alguma novidade do padre? :roll:

por **hexphreak** em Domingo Abr 27, 2008 3:26 pm

jap Escreveu:Alguém sabe alguma novidade do padre?

Sim, encontraram os balões, mas nada de padre :roll:

Quanto ao problema, ambas as alíneas parecem fáceis, posto a resposta mais logo quando acabar de estudar Biologia

P.S.: Na alínea a), apenas em função de

, $\Delta P$ e M_A

?

por **jap** em Domingo Abr 27, 2008 3:46 pm

hexphreak Escreveu:
jap Escreveu:Alguém sabe alguma novidade do padre?

Sim, encontraram os balões, mas nada de padre

Quanto ao problema, ambas as alíneas parecem fáceis, posto a resposta mais logo quando acabar de estudar Biologia

P.S.: Na alínea a), apenas em função de , $\Delta P$ e ?

Obrigado pelo link - coitado do padre, depois da aventura, e de um ponto de vista optimista, estará encharcado nalgum ilhéu a sobreviver a barras de cereais...

Quanto aos dados da alínea a), alterei o enunciado, vê acima. :wink:

por **hexphreak** em Domingo Abr 27, 2008 5:16 pm

Estou a ter alguns problemas com $\eta$

Os resultados que obtive são:

$F_B = \frac{P}{P+\Delta P}M_A\,n\,g$

e

$\eta = \frac{\rho_0}{P_0} (z_0 - z) g + 1$

Mas obviamente $\eta$ não deveria depender de

! O que eu fiz foi igualar as duas expressões para a derivada dP/dz

, uma a partir da pressão dada e outra obtida a partir da pressão hidrostática...

por **jap** em Domingo Abr 27, 2008 7:37 pm

A primeira expressão está correcta! :hands:

Relativamente à segunda, procede-se como dizes, ou seja partindo da expressão para a derivada da pressão em relação à altura,

$\frac{dP}{dz}=-\rho(z)g$

e sabendo que da lei dos gases perfeitos que

$\rho(z) = M_A \frac{P}{RT},$

ou seja, a densidade é directamente proporcional à pressãoe inversamente proporcional à temperatura, podemos escrever

$\rho(z) =\rho_0\frac{P/P_0}{T/T_0}= \rho_0\frac{T_0}{P_0}\frac{P}{T}.$

Mas por outro lado é dado que

$T(z) = T_0 (1-\frac{z}{z_0})$

e que

$P(z) = P_0(1-\frac{z}{z_0})^\eta = P_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^\eta$

de onde se conlcui que

$\frac{dP}{dz}= -\frac{\eta}{z_0}P_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\eta-1}.$

Substituindo esta derivada em

$\frac{dP}{dz}=-\rho(z)g = -\rho_0g\frac{T_0}{P_0}\frac{P(z)}{T(z)}$ e substituindo P(z)

e

pelas expressões dadas obtemos uma expressão para $\eta$ que não depende de

!

Ora verifica lá, e diz-me quanto vale $\eta$ ... :wink:

por **hexphreak** em Domingo Abr 27, 2008 8:01 pm

jap Escreveu:(...)

ou seja, a densidade é directamente proporcional à pressãoe inversamente proporcional à temperatura, podemos escrever

$\rho(z) =\rho_0\frac{P/P_0}{T/T_0}= \rho_0\frac{T_0}{P_0}\frac{T}{P}.$

Acho que o Prof. quer dizer:

$\rho(z) = \rho_0 \frac{T_0}{P_0} \frac{P}{T}$

Utilizando então esta relação, obtenho:

$\eta = \frac{\rho_0 z_0}{P_0} g$

Altura máxima de um balão de hélio

Altura máxima de um balão de hélio

Quem está ligado