Super-bola!

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Re: Super-bola!

Mensagempor hexphreak em Sábado Fev 05, 2011 7:13 pm

josepedrocf Escreveu:A minha resolução ficava mais completa se deduzisse a expressão univocamente aceite pelos físicos, que vem em vários livros de física, do coeficiente de restituição?

Claramente não percebeste o que eu disse :? Não há nada para deduzir acerca do coeficiente de restituição. Ele é definido dessa forma e ponto final. A questão é porquê, e a resposta é precisamente a relação que existe entre as velocidades relativas numa colisão elástica, que, essa sim, era suposto provarem. Mais uma vez, uma colisão elástica é definida como sendo uma colisão com conservação de energia cinética, e não uma colisão com coeficiente de restituição 1.

josepedrocf Escreveu:Por essa ordem de ideias, antes de usar a Lei da Gravitação Universal num exercício tinha de a provar :roll:

A lei da gravitação universal, como o nome indica, é uma lei, um facto experimentalmente comprovado (e que na verdade só se aplica no domínio newtoniano). O coeficiente de restituição é uma definição. Se me apetecer defino o teu coeficiente de Batman como sendo C_b = {LQ \over Q_b}, onde L é o grau de semelhança entre o teu carro e o Batmobile, entre 0 e 1, Q_b é a fortuna do Bruce Wayne e Q \le Q_b é a tua fortuna pessoal. Se disseres que como o Batman tem coeficiente de Batman 1 então L = 1 e Q = Q_b estás a andar para trás, não estás a provar absolutamente nada :?
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Re: Super-bola!

Mensagempor josepedrocf em Sábado Fev 05, 2011 7:28 pm

Ok, tens razão hexphreak, mas do que me lembro, acerca deste problema, só nos pediram para provar h=9h_o e assumir colisões elásticas. Não me recordo de ser necessário provar nada mais.
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Re: Super-bola!

Mensagempor jap em Sábado Fev 05, 2011 7:29 pm

O Henrique tem razão, quando diz que a definição "canónica" de colisão elástica é a da conservação da energia (cinética) na colisão, e o coeficiente de restituição é 1 nesta situação.

Como o coeficiente de restituição é 1 e só é 1 para uma colisão elástica, então podes também dizer que "uma colisão elástica é aquela que tem coeficiente de restituição igual a 1". Mas manda a boa lógica epistemológica que as definições devem assentar em princípios fundamentais, pelo que, de facto, embora matematicamente as proposições

"colisão é elástica" e "colisão tem coeficiente de restituição 1"

sejam equivalentes, os físicos tomam, geralmente, a primeira como definição e não a segunda. :wink:

De qualquer forma, não há nenhum problema em utilizar a relação

v_1^\prime -v_2^\prime = - (v_1 -v_2) ( e = 1)

para resolver o problema, aliás eu tinha sugerido que o podiam fazer. Mas também pedi para demonstrarem essa relação, porque aí é que está " a piada" - provar que esta equação resulta, naturalmente, da conservação do momento linear e da energia cinética.

Já agora, aproveito para dizer que já me chegou (por email) a resolução do problema das n+1 bolas empilhadas. :hands:

Pedi ao Rodrigo (o autor da resolução) para que postasse aqui.

já agora, prestem bem atenção ao truque da mudança de referencial para simplificar equações neste tipo de problemas. Como disse na lição, passar para o referencial do CM ou para um referencial "montado" sobre uma das partículas em movimento permite simplificar brutalmente a álgebra (não a física!) do problema. :wink:

Em geral, compensa fazer o pino! (ver glossário quarkónico) :lol:
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Re: Super-bola!

Mensagempor jap em Sábado Fev 05, 2011 7:37 pm

Um nota ainda:

Para Descartes o "filósofo" que estudou todo o tipo de colisões entre "bolas de bilhar" e que (creio) inventou os conceitos de momento linear (a que chamou quantidade de movimento) e o de coeficiente de restituição, este último era um conceito primitivo - a noção de energia cinética era ainda algo obscura e a sua relevância nas colisões menos óbvia.

Descartes dizia: nas colisões há conservação da quantidade de movimento

Leibniz, outro filósofo-matemático que se dedicou também a este assunto dizia: o que é importante é a conservação da força viva (que definia como mv^2).

Quem tinha razão??? :lol:
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Re: Super-bola!

Mensagempor Cynary em Sábado Fev 05, 2011 8:11 pm

Bom, como me foi pedido, vou colocar aqui a minha solução :P
Vamos usar as relações dadas pelo professor José no quark (não vou pôr aqui a resolução do sistema, pois não é difícil de resolver, e é um pouco longa :P):
u1 -- velocidade inicial do corpo em movimento
v1 -- velocidade final do corpo anteriormente em movimento
v2 -- velocidade final do corpo anteriormente parado.
v1 = \frac{m1-m2}{m1+m2} u1

v2 = \frac{2m1}{m1+m2} u1
(sendo o corpo 2 o que estava parado antes da colisão).

Vamos começar pelo problema simples: 2 bolas.
Como já foi dito neste tópico, as duas bolas chegam ao solo com velocidade \sqrt[2]{2gh}. A primeira colisão que se dá, é da maior bola com o solo. O solo está parada, logo m2 >> m1. Isto implica que a nova velocidade da bola será o simétrico da anterior.
Logo após esta colisão, dá-se uma nova colisão: entre a bola maior e a menor.
Vou usar o referencial de baixo para cima. Assim, a bola maior tem velocidade u1 e a bola menor -u1.
Podíamos resolver o sistema de equações, em que tanto a enercia cinética e o momento linear se conservam, mas isso é muita complicação, para uma coisa simples.
Vamos usar um referencial em que a velocidade da bola menor é 0. Assim, a velocidade da bola maior é u1-(-u1) = 2u1.
Assim, como m1 >> m2, usando as equações dadas antes, a nova velocidade da bola menor, neste referencial especial, é 4u1 (2*2u1).
Vamos então voltar para um referencial centrado no solo, e descobrir a velocidade da bola menor: 4u1+(-u1) = 3u1 = 3 \sqrt[2]{2gh}.
Vou assumir que todos sabem como chegar à altura a partir daqui, e dá 9h.

Resolver este problema para 2 bolas é simples. Vamos complicar mais um pouco: resolver para n bolas. Para isso, temos simplesmente de encontrar uma expressão para a velocidade da última bola, em função de n.
A primeira coisa que temos de fazer é pensar no seguinte: este problema pode ser resolvido se pensarmos no problema global como um conjunto de sub-problemas iguais: várias sub-colisões entre duas bolas, em que m1 >> m2 (1 -- bola em "baixo"; 2 -- bola em "cima").
Notemos então, o que fazemos para cada problema: pegamos na velocidade de cada uma das bolas, transformamos o referencial para que uma tenha velocidade nula (visto que colocamos a velocidade da bola menor como nula, basicamente acrescentamos u1 à velocidade anterior), duplicamos a velocidade, e voltamos ao referencial normal. Podemos traduzir isto numa sucessão:

v(n) = 2(v(n-1)-v(0))+v(0), n > 0
v(0) = - \sqrt[2]{2gh}
(sendo n a colisão que estamos a estudar -- a colisão 0 é a colisão entre a bola de base e o solo).

Isto no fim, dá a seguinte equação para a velocidade final, em função de n:
v(n) = (2^n-1) \sqrt[2]{2gh}

Depois de resolvido para descobrir a altura a que ela vai subir, descobrimos esta expressão:
h(n) = (2^n-1)^2 h
Como é um crescimento exponencial, não precisamos de um grande número de bolas para chegar a grandes alturas.
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Re: Super-bola!

Mensagempor zenunoteixeira em Sábado Fev 05, 2011 8:27 pm

Ok, usaste a mesma resolução que eu para 2 bolas, é verdade que para n bolas complica um pouco, mas quem fez para 2 faz para n acho eu, por acaso ainda nao tinha experimentado :).
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Re: Super-bola!

Mensagempor Cynary em Domingo Fev 06, 2011 2:32 am

Estive a ver o tutorial de VPython, e como primeira brincadeira, decidi fazer uma simulação deste problema com duas bolas:
Código: Seleccionar Todos
from visual import *

g = 9.8
h = 10.0
dt = 0.01
r1 = 5.0
r2 = 1.0

b1 = sphere(pos=(0.,h+r1,0.), radius=r1, color=color.red)
b2 = sphere(pos=(0.,h+2*r1+r2,0.), radius=r2, color=color.blue)

b1.vel = vector(0.,0.,0.)
b2.vel = vector(0.,0.,0.)

scene.background=color.white
scene.autoscale=0
scene.center=(0,50,0)
scene.range=(50,5,5)

while 1:
  rate(100)
  b1.pos = b1.pos+b1.vel*dt
  b2.pos = b2.pos+b2.vel*dt
  if (b2.pos.y-b2.radius) < (b1.pos.y+b1.radius): #colisao de b1 com b2
    u1 = b1.vel.y-b2.vel.y
    b1.vel.y = u1+b2.vel.y
    b2.vel.y = 2*u1+b2.vel.y
  if b1.pos.y < b1.radius: #colisao de b1 com solo.
    b1.vel.y = -b1.vel.y
  b1.vel.y = b1.vel.y - g*dt
  b2.vel.y = b2.vel.y - g*dt


Se tiver tempo, ainda acrescento aí uns loops, para se poder utilizar um número n de bolas :P
Notem como neste caso o raio da bola influencia a altura a que a bola mais pequena sobe, devido ao facto de ser metade da altura a que as bolas são largadas! Se tentarem colocar um raio como 0.1 para as duas bolas, verão que toca mesmo nos 9h (se ainda conseguirem ver as bolas xD).
Nota: Algum do código é redundante, mas deixei-o lá apenas para reflectir o resultado das equações e para ser menos confuso.
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Re: Super-bola!

Mensagempor jap em Domingo Fev 06, 2011 5:31 pm

Rodrigo,

Obrigado pelo post com a resolução do problema. Fixe essa simulação em VPython!. :hands:
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Re: Super-bola!

Mensagempor miguel_amaral em Quinta Fev 17, 2011 6:33 pm

Hem-tímido, não falta por a fórmula para coef. restituição geral?
A recorrência deu-me:
v_{n+1}=-e\sqrt{2gh}+v_n(1+e)
\Rightarrow H_n=(2(1+e)^{n-1}-1)^2h
Acertei?
já agora, obrigado ao Pedro pelos desenhos! são clarissímos!
Participem e inscrevam-se numa experiência de convívio entre físicos e de ciência de topo única!
ENEF 2011 -> http://algol.fis.uc.pt/quark/viewtopic.php?f=4&t=2093&p=25810#p25810
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