Cordas...

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Mensagempor Irakian Monkey em Terça Fev 06, 2007 12:25 am

Eu tinha feito com a tensão da corda, mas a equação final era muito grande e não me estava a apetecer derivar aquilo tudo por isso pus na calculadora. Acontece que me enganei e pus apenas o numerador da equação certo (o denominador estava errado), o que me dá o ângulo certo mas a porção errada. Deste modo agora já dá a porção 0,172. Se quiserem posso expor aqui tudo mas a solução do Pedro é muito mais simples.
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Mensagempor jap em Terça Fev 06, 2007 12:30 am

Parabéns, por também teres encontrado a solução! :D

Se tiveres paciência, escreve aqui também a tua solução, que utiliza a tensão da corda...até para vermos que dá o mesmo resultado! :wink:
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Mensagempor Irakian Monkey em Terça Fev 06, 2007 1:31 pm

Imagem

N=F_{g2}\cos \theta  \Leftrightarrow N=\rho Al_2g \cos \theta

F_{g2} \sin \theta +T=F_a     \Leftrightarrow     N=\rho Al_2g \sin \theta +T~~( \mu _e=1)

F_{g1}=2T\sin \theta \Leftrightarrow T=\frac{\rho Al_1g}{2\sin \theta }

\rho Al_2g \cos \theta =\rho Al_2g \sin \theta +\frac{\rho Al_1g}{2\sin \theta }~\Leftrightarrow~l_2\cos \theta = l_2\sin \theta + \frac{l_1}{2\sin \theta }

l_2=\frac{L-l_1}{2}

Depois de substituir e simplificar deu me:

\displaystyle\frac{l_1}{L}=\frac{\cos \theta \sin \theta -\sin ^2\theta}{1+\cos \theta \sin \theta -\sin ^2\theta}

Ao pôr esta equação na calculadora e calcular o máximo dá-me:

\theta =22,5º,~\frac{l_1}{L}\approx 0,172
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Mensagempor jap em Terça Fev 06, 2007 2:20 pm

Obrigado Pedro, está óptimo! :D
:wink:
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Mensagempor jap em Quarta Fev 07, 2007 6:55 pm

Continuando com cordas....

Corda 2: Uma corda homogénea, de secção constante, e comprimento L, está em repouso, esticada na horizontal sobre uma mesa alta. Não há atrito entre a mesa e a corda. Puxa-se uma pontinha da corda que fica a tombar da mesa. A corda entra em movimento e escapa da mesa. Com que velocidade sai a corda da mesa? :wink:


Imagem
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Mensagempor jmgb em Quarta Fev 07, 2007 9:53 pm

Considerando que:
P.x=m dá a massa de fio "pendente"
P.L=M dá a massa de fio total.

Temos que:
M.a=P.L.a em que a é a aceleração da corda.

Logo, como a unica força a actuar no conjunto é o peso da corda que pende da beira da mesa:
m.g=P.L.a
P.x.g=P.L.a
a=\frac{x.g}{L}

Integrando a de 0 a L obtém-se v_{final}=L.g

Enganei-me nas contas?


Até amanhã, caloiros olímpicos!
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Mensagempor Joao Barros em Quarta Fev 07, 2007 10:20 pm

Gama, por acaso acho que te enganas-te nas contas porque L.g não tem unidades de velocidade, o meu resultado é \sqrt{L.g}.

Se a minha estiver certo posso escrever a solução...

Abraço
última vez editado por Joao Barros s Quarta Fev 07, 2007 10:45 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor jmgb em Quarta Fev 07, 2007 10:28 pm

O meu erro foi ter considerado a velocidade como o integral da aceleração em ordem a x, quando o integral é na verdade em ordem ao tempo.

Vou rever o meu raciocínio. Penso que a expressão que obtive para a aceleração é válida. Daí para a frente, não.


Abraço.
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Mensagempor Joao Barros em Quarta Fev 07, 2007 10:29 pm

Pois, eu acredito mesmo que sim, alias, tenho consciencia que percebes muito mais disto do que eu, por isso acredito que estejas certo...

Aliás, eu a integrar sou tão fraquinho... :?
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Mensagempor jmgb em Quarta Fev 07, 2007 10:38 pm

Se a minha expressão para a aceleração estiver certa:
\frac{x.g}{L}=\frac{d^2x}{dt^2}
\frac{g}{L}dt^2=\frac{dx^2}{x}

Integrando uma vez (em cada membro):
\frac{g.t}{L}dt=ln(x).dx
\frac{dx}{dt}={g.t}{L.ln(x)}

Se tudo estiver certo até este ponto (sérias dúvidas...), temos para x=L:
v_{final}=\frac{gt}{L.ln(L)}


NOTA: dx/dt=velocidade...

PS: Como se faz o sinal de equivalência em LaTex?
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Mensagempor jap em Quarta Fev 07, 2007 10:41 pm

jmgb Escreveu:Se a minha expressão para a aceleração estiver certa:
\frac{x.g}{L}=\frac{d^2x}{dt^2}
\frac{g}{L}dt^2=\frac{dx^2}{x}

Integrando uma vez (em cada membro):
\frac{g.t}{L}dt=ln(x).dx
\frac{dx}{dt}={g.t}{L.ln(x)}

Se tudo estiver certo até este ponto (sérias dúvidas), temos para x=L:
v_{final}=\frac{gt}{L.ln(L)}


NOTA: dx/dt=velocidade...


Sorry, a solução não está certa :cry:

O resultado e o raciocínio para encontrar a resposta correcta são bem simples, muito simples mesmo! :P
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Mensagempor jmgb em Quarta Fev 07, 2007 10:44 pm

Sorry, a solução não está certa


Já calculava. Se cometi o erro absurdo da integração em ordem a x, talvez outros tenham passado no crivo mental (ao que parece muito tolerante neste momento)...
Voltarei a rever o problema mais tarde!
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Mensagempor jap em Quarta Fev 07, 2007 11:37 pm

Joao Barros Escreveu:Gama, por acaso acho que te enganas-te nas contas porque L.g não tem unidades de velocidade, o meu resultado é \sqrt{L.g}.

Se a minha estiver certo posso escrever a solução...

Abraço


A resposta certa não é v_f = \sqrt{Lg}, mas não estsará muito longe disso - se pensares um bocadito verás que a solução é óbvia, quase trivial, ... mas o problema é tricky, pelo que só é trivial visto pelo ângulo certo! :?


EDIT: A RESPOSTA DO JOÃO BARROS ESTÁ CORRECTA - VER ADIANTE!
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Mensagempor Joao Barros em Quarta Fev 07, 2007 11:44 pm

Ok :)

Vou continuar a pensar no problema, mas nao o devo conseguir resolver ate amanha.

Veremos... :roll:
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Mensagempor jmgb em Quinta Fev 08, 2007 12:01 am

Pela expressão do trabalho (\int_{0}^L F.dx), cheguei a que K_{final}=\frac{1}{2}MgL, em que g é a aceleração da gravidade, M a massa da corda, L o seu comprimento (total) e K a energia cinética.

Portanto, v_{final}=\sqrt{gL}.



Abraço.
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