Cordas...

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Cordas...

Mensagempor jap em Quinta Fev 01, 2007 8:02 pm

Bom, como já percebi que há por aqui muitos fãs do Brian Greene (ah, O Universo Elegante, é mesmo espantoso... :D ), e que provavelmente estão interessados em saber mais sobre string theory, estou com vontade de iniciar a minha saga de problemas que têm tudo a ver com as ditas cordas :shock: .

Mas há que aplicar a B-rule do fórum :cry: , ou seja, é preciso fechar algum dos problemas pendentes para iniciar a nova saga.

Temos para terminar:

- a idade do universo
- planeta titanium
- esfera no plano em rotação
e o interessante problema do Diogo (Real) sobre a curvatura dos raios de luz, que deve estar muito frustado e triste por ninguém pegar no problema (Diogo, por onde andas? afogado em exames? :roll: ).

Posso ajudar com alguma dica? :roll:

Que tal revisitar o problema da idade do universo? Logo mais tarde darei uma ajuda para terminarmos este problema. Afinal, já pensaram que podem responder lá em casa à pergunta "O que andas para ai a magicar?"

"Nada de especial, estou só a desenvolvar uns cálculos para determinar a idade do universo!"

:P
José António Paixão
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Mensagempor Real em Domingo Fev 04, 2007 10:34 pm

Olá!

"Eu ando por aí..." :P Os exames não deixam muito tempo livre. Mesmo assim, leio com alguma frequência os posts aqui do fórum. Quando o trabalho acalmar prometo regressar ao activo :wink:
Já estive a ver e não vou poder estar em Coimbra este fim de semana. Tenho mais uma exame... (Ondas) No entanto, vão surgindo alguns problemas interessantes na minha cabeça, qualquer dia posto alguma coisa.

Quanto ao problema sobre a curvatura dos raios de luz, nem frustração nem tristeza! :P Sei que não é fácil de pegar. Um dia destes meto lá umas dicas :wink:

Abraço a todos!

(e boa sorte para a sessão do próximo fim de semana)
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Mensagempor jap em Domingo Fev 04, 2007 10:51 pm

Real Escreveu:Olá!

"Eu ando por aí..." :P Os exames não deixam muito tempo livre. Mesmo assim, leio com alguma frequência os posts aqui do fórum. Quando o trabalho acalmar prometo regressar ao activo :wink:

(...)
(e boa sorte para a sessão do próximo fim de semana)


Diogo,

Um grande abraço amigo :D e força para esses exames! Ficamos à espera da tua inestimável colaboração activa para um período de maior acalmia... :wink:
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Mensagempor jap em Segunda Fev 05, 2007 12:22 am

E aqui vai então o 1º problema sobre cordas :P :

Uma corda está em repouso numa plataforma em forma de cunha constituída por dois planos inclinados que fazem ângulo \theta com a horizontal, tal como mostra a figura.


Imagem


A corda é homogénea e de secção constante. O coeficiente de atrito estático entre a corda e a plataforma é \mu_{\rm e} = 1. Suponha que pode variar o ângulo \theta, e que o sistema mantém a simetria em relação a um plano vertical que passa pelo meio da corda.

Qual é a porção máxima de corda que pode ficar em equilíbrio sem tocar na plataforma? E para que ângulo \theta ocorre esta situação? :roll:
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Mensagempor pmp em Segunda Fev 05, 2007 1:36 pm

Obtive:

A porção máxima de corda que pode ficar em equilíbrio sem tocar na plataforma é (1-\frac{1}{\sqrt{2}})l, sendo l o comprimento da corda, e \theta=45^\circ.
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Mensagempor jap em Segunda Fev 05, 2007 7:06 pm

pmp Escreveu:Obtive:

A porção máxima de corda que pode ficar em equilíbrio sem tocar na plataforma é (1-\frac{1}{\sqrt{2}})l, sendo l o comprimento da corda, e \theta=45^\circ.


Pedro,

A resposta correcta para a fracção livre do comprimento da corda é

f_{\rm max} = \frac{\sqrt 2 -1}{\sqrt 2 + 1} \sim 0.172

para um ângulo máximo

\theta_{\rm max} = \rm 22,5^\circ.


Verifica as tuas contas. Andas lá perto! :wink:
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Mensagempor manuelmarque em Segunda Fev 05, 2007 8:38 pm

pmp Escreveu:Obtive:

A porção máxima de corda que pode ficar em equilíbrio sem tocar na plataforma é (1-\frac{1}{\sqrt{2}})l, sendo l o comprimento da corda, e \theta=45^\circ.


Pois, a mim também me deu \theta=45º. Não consegui calcular o comprimento da corda... posta aí o teu raciocínio para ver se pensei da mesma maneira que tu.
Eu pensei apenas numa partícula da corda, e coloquei a força de atrito estática + componente peso = 0. A partir daí, fiz as contas... e deu-me 45 graus.

Mas, se não é isso... deve-me faltar alguma coisa :(
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Mensagempor pmp em Segunda Fev 05, 2007 9:16 pm

O meu erro foi de raciocínio porque, desta vez, não me enganei nas contas. :D

Portanto, o que fiz foi representar as duas forças normais, a da direita e a da esquerda, e as duas de atrito estático. Depois para estar em equilíbrio a resultante segundo y deve ser 0. O equilíbrio segundo x é garantido pela simetria.

Vou ver agora se detecto o meu erro. :lol:
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Mensagempor Irakian Monkey em Segunda Fev 05, 2007 9:34 pm

Consegui obter um ângulo de 22,5º mas a porção de corda dá-me aprox. 0,261. Será possível ter acertado no ângulo e falhado na porção ou é só coincidência?
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Mensagempor jap em Segunda Fev 05, 2007 10:00 pm

Irakian Monkey Escreveu:Consegui obter um ângulo de 22,5º mas a porção de corda dá-me aprox. 0,261. Será possível ter acertado no ângulo e falhado na porção ou é só coincidência?


Possível, é, mas improvável! :D Só se postares aqui a tua solução é que poderei adiantar mais. :?
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Mensagempor jap em Segunda Fev 05, 2007 10:14 pm

pmp Escreveu:O meu erro foi de raciocínio porque, desta vez, não me enganei nas contas. :D

Portanto, o que fiz foi representar as duas forças normais, a da direita e a da esquerda, e as duas de atrito estático. Depois para estar em equilíbrio a resultante segundo y deve ser 0. O equilíbrio segundo x é garantido pela simetria.

Vou ver agora se detecto o meu erro. :lol:

Repara que a corda está sob tensão, devido ao peso da parte que está "solta"... :wink:
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Mensagempor pmp em Segunda Fev 05, 2007 10:17 pm

Sou um idiota, enganei-me nas contas afinal, lol. :D

Cheguei aos 22.5^\circ e f \approx 0.172.
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Mensagempor jap em Segunda Fev 05, 2007 10:36 pm

pmp Escreveu:Sou um idiota, enganei-me nas contas afinal, lol. :D

Cheguei aos 22.5^\circ e f \approx 0.172.


Parabéns! :D
Como chegaste à resposta certa, não és, de certeza, um idiota! :lol: :lol:

Quando puderes, escreve a resolução!
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Mensagempor pmp em Segunda Fev 05, 2007 11:20 pm

Comecei por fazer um diagrama de forças.

Imagem

Para a corda estar em equilíbrio a resultante das forças segundo y deve ser nula, então:

\sum F_y=F_g - 2N\cos\theta - 2F_a\sin\theta=0

\sum F_y=\rho ALg - 2\rho A\frac{k}{2}Lg\cos\theta\cos\theta - 2\mu_{\rm e}\rho A\frac{k}{2}Lg\cos\theta\sin\theta=0, k é a fracção de corda assente na plataforma e L o comprimento da corda.


Isso vai dar:

k=\frac{1}{\mu_{\rm e}\cos\theta\sin\theta + \cos^2\theta}

Só que o meu k é a fracção de corda que está assente na plataforma. Logo:

f=1-k=1-\frac{1}{\mu_{\rm e}\cos\theta\sin\theta + \cos^2\theta}

Derivando k em ordem ao ângulo (e fazendo \mu_{\rm e} = 1 como diz o enunciado do problema) vamos obter os valores já mencionados ou indo à calculadora .

Foi a solução possível, fiquei preguiçoso desde o estudo para o teste de português do Álvaro de Campos. Mas qualquer dúvida, façam favor de dizer. :D
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Mensagempor jap em Segunda Fev 05, 2007 11:34 pm

Palavras para quê? 8)

Está perfeito! :D


Nota: uma outra forma de resolução seria considerar a parte da corda que está solta e a resultante das forças que actuam só nesta parte. Aí entraria a tensão da corda, que teria de ser calculada a partir da condição de equilíbrio da parte da corda que está apoiada nos planos inclinados. Mas considerando a corda como um todo, como fez o Pedro, a tensão da corda "desaparece" - é uma força interna, e podemos obter o mesmo resultado que considerando os pedaços de corda solta e em apoio separadamente.
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