Resistência quadrada!

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Resistência quadrada!

Mensagempor jap em Quarta Out 21, 2009 9:46 pm

Considerem um sistema de 2N(N-1) resistências idênticas de 1 Ohm ligadas de forma semelhante à da figura (que ilustra o caso N=4).

Imagem

Qual é a resistência equivalente do circuito para N=10?

Nota: o caso N= 2 temos 2\times 2(2-1)=4 resistências de 1 Ohm dispostas segundo as arestas de um quadrado. A resposta é R_{\rm eq} =\rm 1~\Omega. (verifiquem).

O caso N = 3 são 2\times3(3-1)=12 resistências dispostas nas arestas de 4 quadrados adjacentes; também neste caso a resposta é fácil de calcular, R_{\rm eq} =\rm 3/2~\Omega. Para N= 4 (caso da figura) a resposta é R_{\rm eq} =\rm 13/7~\Omega.

Agora falta calcular a resistência equivalente para o caso N= 10! :XD

NB: Qualquer método de atacar o problema, inclusivé computacional/pitónico será bem-vindo! Mãos à obra! :D
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Re: Resistência quadrada!

Mensagempor Bruno Oliveira em Quarta Out 21, 2009 10:19 pm

A fórmula para o nº de resistências do sistema, não deveria ser:

2N(N-1)? :roll:
última vez editado por Bruno Oliveira s Quinta Out 22, 2009 11:01 pm, editado 1 vez no total
e^{ix}=cos x + i\,sin x
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Re: Resistência quadrada!

Mensagempor jap em Quarta Out 21, 2009 10:34 pm

Bruno Oliveira Escreveu:A fórmula para o nº de resistências do sistema, não deveria ser:

2N(2(N-1))? :roll:



Desculpa, havia de facto uns erros nas expressões acima, que já corrigi. :oops:

A expressão correcta para o número de resistências é

2N(N-1)

Assim, para N = 2 (caso do quadrado), vem efectivamente 4 resistências, para N = 3 vem 12 resistências e por aí adiante.

Nota que nesta notação, N-1 é o número de quadrados pequenos por lado do quadrado grande.
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Re: Resistência quadrada!

Mensagempor Bruno Oliveira em Quarta Out 21, 2009 10:42 pm

Não tem mal, prof. :)

Realmente, nem me apercebi do 2 extra na expressão, pois por coincidencia, com os parentesis alterados, dava o mesmo valor que lá estava, ou então, fui mesmo eu que me baralhei nas contas. :lol:

De qualquer forma, assim já bate tudo certo de acordo com os valores indicados nas expressões :wink: .

Vou-me debruçar a sério sobre o problema no Sábado, assim que tiver feito o meu teste de Química :wink: . Vou-me entreter com o meu livro de Física de 12º a rever circuitos :D .

Só um aparte: como na semana a seguir ao meu teste de Química, vou ter teste de Programação em C++, será que podia deixar aqui um eventual código feito em C++? :roll:

Depois, não me importo nada de o converter para Python! :lol:
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Re: Resistência quadrada!

Mensagempor jap em Quarta Out 21, 2009 10:46 pm

Bruno Oliveira Escreveu:(...)
Só um aparte: como na semana a seguir ao meu teste de Química, vou ter teste de Programação em C++, será que podia deixar aqui um eventual código feito em C++? :roll:

Depois, não me importo nada de o converter para Python! :lol:


Claro que sim, podes praticar o teu C++ neste problema! :wink:
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Re: Resistência quadrada!

Mensagempor jap em Sábado Out 24, 2009 11:42 am

Encontrei uma forma gira de resolver este problema! :XD
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Re: Resistência quadrada!

Mensagempor hexphreak em Sábado Out 24, 2009 11:55 am

jap Escreveu:Encontrei uma forma gira de resolver este problema! :XD

Analítica ou computacional? Eu encontrei formas giras para todos os casos dos quais o Prof. deu o valor, mas para o caso seguinte já é feio :(
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Re: Resistência quadrada!

Mensagempor jap em Sábado Out 24, 2009 3:50 pm

hexphreak Escreveu:
jap Escreveu:Encontrei uma forma gira de resolver este problema! :XD

Analítica ou computacional? Eu encontrei formas giras para todos os casos dos quais o Prof. deu o valor, mas para o caso seguinte já é feio :(


Computacional, e confesso que é uma aplicação descarada do método SPSS, celebrizado por Feynman. :oops:
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Re: Resistência quadrada!

Mensagempor hexphreak em Sexta Maio 07, 2010 10:45 pm

Para quem quiser tentar resolver este problema computacionalmente, sugiro que dê uma vista de olhos às discussões aqui no fórum sobre a equação de Laplace discreta e a tente aplicar a este caso.

Para quem quer perder a cabeça analiticamente, aqui vai um problema relacionado, mas para o qual eu de facto sei a resposta :wink: Considerem um conjunto de N pontos, todos ligados entre si por resistências de valor R (em teoria de grafos, aquilo a que se chama um grafo completo). Provem que a resistência equivalente entre quaisquer dois pontos da rede é 2R/N. Notem que não interessa quais dois pontos escolhem, já que estão todos ligados entre si e portanto quaisquer dois pares são equivalentes.

A resposta é extraordinariamente simples, mas a maneira de chegar lá pode não ser :P
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Re: Resistência quadrada!

Mensagempor xavier-s-f-r em Domingo Maio 16, 2010 3:31 pm

Depois de alguns cálculos manuais (chamem-me info-excluído... :lol: ), acho que cheguei a uma sequência engraçada.

R_{eq[N]}=  \left\{\begin{array}{II} 1 \Omega             ,  quando   N=2 \\ 1 + \frac{1}{\frac{1}{N-2}+ \frac{1}{R_{eq[N-1]}}}       ,  quando   N>2 \end{array}\right}


Expandindo-a, temos:

R_{eq[N]} = 1+ \frac{1}{\frac{1}{N-2}+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{1}{N-3}+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{1}{N-4}+\frac{1}{\frac{...}{1+\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}}}}}}}}}


E portanto, para N=10 vem: R_{eq[10]}=\frac{4 596 553}{1 441 729}=3,19 \Omega

...poderá ser?? :D
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Re: Resistência quadrada!

Mensagempor pfc em Domingo Maio 16, 2010 8:34 pm

Cheguei exactamente à mesma conclusão ;)
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Re: Resistência quadrada!

Mensagempor jap em Domingo Maio 16, 2010 10:06 pm

Hum, acho que para N = 10 o valor da resistência equivalente é 3.01167 Ohm... (ao que julgo saber) :roll:

A fórmula acima dá o resultado correcto para N = 3 e N = 4.... :roll:

Onde estará o :cat:?
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