Propulsão de um carro

Problemas simples, mas interessantes!

Mensagempor jap em Segunda Mar 17, 2008 11:35 pm

hexphreak Escreveu:Claro, deixei escapar esse termo dos parêntesis ao fazer a transcrição :? Obrigado pela correcção.

Eu tentei enquadrar o somatório entre dois integrais, para ver se pelo menos davam igual, mas no such luck :(


Isso é uma excelente ideia :hands: e vais ver que dá resultado. Senão repara:

Seja então \Delta v_n = \frac{u}{a+n}

onde a está definido acima.

Então

v_n = \sum_{i=n+1}^{i=N} \Delta v_i, \quad  n < N

e

v_n = 0, n = N (supomos que o carro parte do repouso!).

A velocidade final do carro é, portanto,

v_f = \sum_{n=1}^{N}\Delta v_n

ou ainda

v_f = u \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{a+n}.

Reparem que, tal como nos foguetões, a velocidade final não depende da taxa de ejecção: tanto importa que o saco das N balas seja esvaziado em 10 min ou em 10 h...

A série da forma

\frac{1}{a}, \frac{1}{a+1}, \frac{1}{a+2} \dots

é bem conhecida dos matemáticos... :lol:
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6801
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Mensagempor jap em Segunda Mar 17, 2008 11:44 pm

Podemos, de facto, "encaixar" a série entre dois integrais:

Por um lado,

\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{a+n}< \int_0^N \frac{1}{a+x}dx = \ln\frac{a+N}{a}

Por outro
\frac{1}{a}+ \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{a+n} > \int_0^{N+1} \frac{1}{a+x}dx = \ln\frac{a+N+1}{a},

ou seja,
\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{a+n} > \int_0^{N+1} \frac{1}{a+x}dx = \ln\frac{a+N+1}{a} -\frac{1}{a}.


Ficamos assim a saber que

u \left(\ln\frac{a+N+1}{a} -\frac{1}{a}\right) < v_f <  u \ln\frac{a+N}{a}

:D

PS: Vou ver se arranjo umas figuras que ilustrem a lógica por detrás destes cálculos... :wink:

Talvez estas figuras ajudem a compreender as desigualdades acima :wink:

Imagem

Imagem
última vez editado por jap s Terça Mar 18, 2008 12:43 am, editado 1 vez no total
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6801
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Mensagempor hexphreak em Segunda Mar 17, 2008 11:54 pm

Ah, então não era para obtermos mesmo a expressão exacta? :roll: Ainda bem, o Sagar e eu já estávamos com dificuldades em arrancar um logaritmo ao produtório :lol:
Avatar do utilizador
hexphreak
top-Quark!
top-Quark!
 
Mensagens: 1959
Registado: Segunda Nov 05, 2007 8:52 pm
Localização: Maia/Porto

Mensagempor jap em Terça Mar 18, 2008 12:02 am

hexphreak Escreveu:Ah, então não era para obtermos mesmo a expressão exacta? :roll: Ainda bem, o Sagar e eu já estávamos com dificuldades em arrancar um logaritmo ao produtório :lol:


Bem, expressão exacta nós já temos, mas soma a forma de um somatório! :lol:

Mas podemos obter facilmente uma expressão assimptótica para v_fquando M/m \to \infty! :lol:
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6801
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Mensagempor jap em Terça Mar 18, 2008 12:44 am

Update da mensagem acima, com figuras. :wink:

E agora aqui ficam aqui para vocês resolverem:

a) Mostrar que quando M >> m, os cálculos acima conduzem à velha conhecida "fórmula dos foguetões" :lol:


v_f \sim u \ln \left(\frac{M_0}{M}\right),


onde M_0 = M_c + M_q + Nm a massa total à partida e M = M_c + M_q, a "massa final".

b) Calculem o valor exacto da velocidade final (em km/h!) e o valor aproximado (expressão a) ) para o caso em que

m = \rm 60~g

M_c = \rm 100~kg

M_q = \rm 80~ kg

N = 1000
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6801
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Mensagempor hexphreak em Terça Mar 18, 2008 1:06 pm

jap Escreveu:E agora aqui ficam aqui para vocês resolverem:

a) Mostrar que quando M >> m, os cálculos acima conduzem à velha conhecida "fórmula dos foguetões" :lol:


v_f \sim u \ln \left(\frac{M_0}{M}\right),


onde M_0 = M_c + M_q + Nm a massa total à partida e M = M_c + M_q, a "massa final".

Quando M >> m, a \approx \frac{M}{m}, e portanto podemos aproximar o limite à direita por:

u \ln \frac{a+N}{a} \approx u \ln \frac{M + Nm}{M} = u \ln \frac{M_0}{M}

Fazendo a aproximação à esquerda resulta no mesmo valor :)

jap Escreveu:b) Calculem o valor exacto da velocidade final (em km/h!) e o valor aproximado (expressão a) ) para o caso em que

m = \rm 60~g

M_c = \rm 100~kg

M_q = \rm 80~ kg

N = 1000

Acho que o Prof. se esqueceu da velocidade u :roll:


P.S.: Para u = 10\mbox{ km\,h^{-1}}, o erro é de 0.01%! :shock:
Avatar do utilizador
hexphreak
top-Quark!
top-Quark!
 
Mensagens: 1959
Registado: Segunda Nov 05, 2007 8:52 pm
Localização: Maia/Porto

Mensagempor jap em Terça Mar 18, 2008 4:12 pm

Tens razão, esqueci-me de dar a velocidade u com que é atirada a bola! :oops:

Para um bom tenista, u pode ir aos 50 m/s, mas o valor de 10 km/h é razoável! :D

Qual é a velocidade final do carro, nestas cirscunstâncias? :roll:
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6801
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Mensagempor hexphreak em Terça Mar 18, 2008 5:17 pm

Código: Seleccionar Todos
Exact velocity:         2.877237 km/h
Approx velocity:        2.876821 km/h

Espero não ter cometido nenhum erro de unidades :roll:
Avatar do utilizador
hexphreak
top-Quark!
top-Quark!
 
Mensagens: 1959
Registado: Segunda Nov 05, 2007 8:52 pm
Localização: Maia/Porto

Mensagempor jap em Terça Mar 18, 2008 6:17 pm

hexphreak Escreveu:
Código: Seleccionar Todos
Exact velocity:         2.877237 km/h
Approx velocity:        2.876821 km/h

Espero não ter cometido nenhum erro de unidades :roll:


Sim, está bem. :wink:

para um bom tenista, a velocidde u pode ser bem maior e, consequentemente, o carro poderia atingir uma velocidade maior da ordem de algumas dezenas de quilómetros por hora (mas não sei se o tenista conseguiria aguentar a mesma performance nas 1000 tacadas! :lol:.
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6801
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Re: Propulsão de um carro

Mensagempor pfc em Sexta Jan 09, 2009 3:05 pm

Só para acrescentar aqui que o serviço mais rápido foi feito a 249.4km/h que corresponde a cerca de 69.4m/s

E isto foi feito durante um jogo oficial, ou seja, com o cuidado de passar a bola por cima da rede e de ela entrar na área de serviço, contando assim como um serviço válido. Para além disso, não se pode dar lanço, o que também é capaz de diminuir a velocidade do serviço

A velocidade a que um jogador poderia servir à vontade seria então um bocado maior do que 250km/h
pfc
bottom-Quark!
bottom-Quark!
 
Mensagens: 35
Registado: Sexta Out 31, 2008 9:25 pm

Anterior

Voltar para Problemas trivia

Quem está ligado

Utilizadores a navegar neste fórum: Nenhum utilizador registado e 2 visitantes