Propulsão de um carro

Problemas simples, mas interessantes!

Propulsão de um carro

Mensagempor hexphreak em Sexta Mar 07, 2008 10:02 pm

Este é trivia conceptualmente, mas tive que fazer três integrais por isso quem quiser ajuda, poste aqui ou então peça-me no Messenger :) Aqui vai:

Por alguma estranha razão (afinal são quarkianos...), decidem atirar bolas de ténis a um carro de massa M, que se move sem atrito no chão horizontal. Atiram então as bolas à mala aberta do carro com velocidade u, a uma taxa de massa de \sigma\mbox{ kg\,s^{-1}} (assumimos uma taxa contínua por questão de simplicidade, mas depois podemos estudar o caso discreto).

Se o carro partir do repouso, encontra a sua velocidade e posição como função do tempo, assumindo claro que todas as bolas ficam dentro da mala :wink:
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Mensagempor jap em Sexta Mar 07, 2008 10:08 pm

Oh não, o Henrique é telepata! :shock:
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Mensagempor hexphreak em Sexta Mar 07, 2008 10:11 pm

jap Escreveu:Oh não, o Henrique é telepata! :shock:

Oh sheep, my cover was blown! :lol: O Prof. já ia postar este problema?
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Propulsão de um carro II

Mensagempor jap em Sexta Mar 07, 2008 10:15 pm

Imaginem a seguinte situação: um carro de massa M_c que pode deslizar sem atrito e que transporte no seu interior um quarkiano de massa M_qe que atira, de dentro do carro, bolas de ténis - o que propulsiona o carro. As bolas são atiradas uma a uma, com velocidade u em relação ao carro. Como o condutor não se quer cansar, e tem de retemperar forças, há um tempo razoável entre cada atiradela.

Sabe-se que o condutor dispõe no início de um saco com N bolas de ténis, cada uma de massa m.

Encontrar a expressão da velocidade do carro em função do número de bolas, n, que restam no saco... :lol:


PS: garanto-te que ia mesmo postar hoje este problema! :shock:
Não é exactamente igual ao teu, mas quase, quase...
última vez editado por jap s Sábado Mar 08, 2008 6:56 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor hexphreak em Sábado Mar 08, 2008 12:47 pm

Será esta a solução para o problema do Prof.?

v = \frac{m(N - n)}{M - m(N - n)} u

(n é o número de bolas no saco) :)
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Mensagempor jap em Sábado Mar 08, 2008 6:52 pm

hexphreak Escreveu:Será esta a solução para o problema do Prof.?

v = \frac{m(N - n)}{M - m(N - n)} u

(n é o número de bolas no saco) :)


Não me parece que esteja correcto... :no

Suponho que usaste a notação


M = M_c + M_q

e n para o número de bolas que restam no saco...

É isso? :roll:
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Mensagempor hexphreak em Sábado Mar 08, 2008 9:44 pm

Sim, esqueci-me de "traduzir" a notação que usei aqui no papel :) Fui pela conservação da quantidade de movimento, mas devo ter errado alguma coisa... vou verificar.
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Mensagempor hexphreak em Domingo Mar 09, 2008 3:21 am

Já que estou sem dormir e estou, aproveitei para repensar a minha resposta. Será (utilizando a notação anterior):

v = \frac{n - N}{M+nm}mu

a solução correcta? :roll: Pelo menos funciona para os casos limite n = 0 e n = N.
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Mensagempor jap em Quarta Mar 12, 2008 1:11 am

Não, ainda não é a solução correcta! :no

Se comparares com o problema dos foguetões, verás que deverá aparecer, pelo menos "tendencialmente" um logaritmo algures :lol:
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Mensagempor jap em Segunda Mar 17, 2008 10:17 pm

jap Escreveu:Não, ainda não é a solução correcta! :no

Se comparares com o problema dos foguetões, verás que deverá aparecer, pelo menos "tendencialmente" um logaritmo algures :lol:


Vamos voltar a pegar neste problema? :P

Só temos que somar os vários "piparotes" que o carro sofre sempre que é batida uma bola de ténis... :D
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Mensagempor jap em Segunda Mar 17, 2008 10:29 pm

Vou dar uma ajuda! :D

Seja M = M_c + M_q a massa do carro e seu ocupante quarkiano, e v_na velocidade do carro quando há n das N bolas dentro do carro (as restantes já foram lançadas!).

Vamos ainda definir \Delta v_n = v_{n-1} -v_n
(notem que n tende para zero há medida que lançamos as bolas, pelo que v_{n-1} > v_n!)

Assim, \Delta v_n é o incremento da velocidade do carro quando é lançada uma das n bolas que restam no carro.

Vamos lá aplicar a lei da conservação da quantidade de movimento (ou do momento linear, como preferirem!) para obter \Delta v_n.

Mostrem, aplicando esta lei, que

\Delta v_n = \frac{u}{a+n},


onde a é o parâmetro adimensional definido da seguinte forma:

a = \frac{M}{m}-1 :wink:
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Mensagempor hexphreak em Segunda Mar 17, 2008 10:34 pm

Pois, eu cheguei a algum lado, mas as séries e eu... :lol: Não é difícil obter a expressão para a variação de velocidade conseguida com cada bola:

(M + nm)v + mu = (M + (n-1)m)(v + \Delta v)

Logo

\Delta v = \frac{m}{M + (n-1)m} u

E agora a variação total de velocidade obtém-se calculando o somatório:

v = \sum_N^0 \Delta v = \sum_N^0 \frac{m}{M + nm} u

Mas eu só consigo chegar até:

v = mu \frac{\sum_N^0 M + nm}{\prod_N^0 M + nm}

Alguém com mais experiência que queira ajudar? :roll:


P.S.: Ah, o Prof. já se adiantou um bocado :lol:
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Mensagempor sagardipak em Segunda Mar 17, 2008 11:18 pm

Bem, o somatório é trivial de calcular... Não tem assim uma grande dificuldade. Agora o produtório é que dá cabo da cabeça. Podíamos usar o teorema binomial, se o n não mudasse...
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Mensagempor jap em Segunda Mar 17, 2008 11:18 pm

Henrique,

A equação


(M + nm)v + mu = (M + (n-1)m)(v + \Delta v)


deveria ser


(M + (nm))v + m(u-v) = (M + (n-1)m)(v + \Delta v),

ou seja,

(M + (n-1)m)\Delta v = mu.


Para a bola, temos de usar a velocidade absoluta em relação ao solo (u-v e não u) quando aplicamos a lei da conservação da quantidade de movimento.
Concordas? :roll:
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Mensagempor hexphreak em Segunda Mar 17, 2008 11:23 pm

Claro, deixei escapar esse termo dos parêntesis ao fazer a transcrição :? Obrigado pela correcção.

Eu tentei enquadrar o somatório entre dois integrais, para ver se pelo menos davam igual, mas no such luck :(
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