Um problema com alguma gravidade . . .

Problemas simples, mas interessantes!

Um problema com alguma gravidade . . .

Mensagempor antonio_carneiro em Quarta Fev 11, 2015 10:12 pm

Este problema foi inspirado num tópico já existente neste fórum. Alguém perguntou quais as condições para que num lançamento oblíquo a trajetória fosse um semicírculo perfeito. Bom, em condições normais, na Terra, só com a ação do peso, isso não seria possível (penso eu). E se nós de alguma forma pudessemos controlar a aceleração da gravidade numa determinada região do espaço? O meu desafio é: lançando um corpo com velocidade inicial v_{0}, que faz um determinado ângulo \theta com a horizontal, e descreve uma trajetória que corresponde a um arco da circunferência de centro no ponto \left( a,b \right) e de raio R, num referencial cartesiano bidimensinal, determine a aceleração da gravidade g em função da posição x de modo que este lançamento seja possível. Mesmo com este controlo gravitacional, a trajetória nunca será um semi - círculo. Porque? :wink:
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Re: Um problema com alguma gravidade . . .

Mensagempor ajcoelho em Quinta Fev 12, 2015 2:43 pm

Olá António! Tudo bem contigo?

Eu interpretei o problema da forma como está no desenho (e negligenciei o b que suponho que seja relativo ao eixo dos yy?).

Cheguei à seguinte equação de 2º grau (a incógnita é g(x) que é a aceleração da gravidade em função de x):

g^2(x)\frac{(x-a)^4}{4v_0^4cos^4\theta}-g(x)\frac{tan\theta(x-a)^3}{2v_0^2cos^2\theta}+(tan^2\theta+1)(x-a)^2=R^2
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Re: Um problema com alguma gravidade . . .

Mensagempor antonio_carneiro em Quinta Fev 12, 2015 11:02 pm

Ola António! :) Esta tudo bem comigo obrigada :P Espero que esteja contigo tambem! Confesso que o resultado que pbtive foi algo explicito mesmo :) uma função g(x) mesmo, ligeiramente mais elegante :) Se quiseres podes expôr o teu raciocínio!
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Re: Um problema com alguma gravidade . . .

Mensagempor ajcoelho em Sexta Fev 13, 2015 1:48 pm

Agora é que reparei na parvoíce de desenho que fiz. Não é nada daquilo que eu queria.

O novo desenho está no anexo a este post e a expressão a que cheguei é:

g(x)=\frac{2v_0^2cos^2\theta}{x^2}[xtan\theta-\sqrt{R^2-(x-a)^2}]

Já está mais parecido ao que obtiveste?
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Re: Um problema com alguma gravidade . . .

Mensagempor antonio_carneiro em Sexta Fev 13, 2015 2:54 pm

Bom, confesso que a minha expressão também não é nada fácil, e não sei se elas serão equivalentes xD Podes só dizer o procedimento que adotaste?
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Re: Um problema com alguma gravidade . . .

Mensagempor ajcoelho em Sexta Fev 13, 2015 8:40 pm

De uma forma bastante breve:

- Equações paramétricas do movimento para lançamento "oblíquo"
- Eliminar o tempo das equações e ficar com uma expressão do tipo y(x)
- Equação da circunferência num referencial bidimensional cartesiano e substituir no y pela expressão de y(x) obtida
- Resolver em ordem a g(x)
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Re: Um problema com alguma gravidade . . .

Mensagempor antonio_carneiro em Domingo Fev 15, 2015 6:54 pm

Podes me só dizer qual foi a tua equação paramétrica para o movimento segundo o eixo dos yy? :)
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Re: Um problema com alguma gravidade . . .

Mensagempor manuelbrandao99 em Quarta Fev 18, 2015 1:53 pm

Será g(x)=v_0^2*cos\theta^2*(x^2/(R^2-x^2)^3^/^2+1/(R^2-x^2)^1^/^2)?
Posso me ter enganado nos cálculos. Note-se que esta expressão, na verdade, depende de x e y, uma vez que R^2-x^2=y^2 e pode, portanto, ser escrita como:
g(x)=v_0^2*cos\theta^2*(x^2/y^3+1/y)
Aguardo comparação de resultados.
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Re: Um problema com alguma gravidade . . .

Mensagempor antonio_carneiro em Quinta Fev 19, 2015 4:38 pm

Sim, é quase isso :hands: O único senão é que pedia para um caso geral de uma trajetória circular com centro em (a,b) e resolveste para o caso particular de centro na origem do referencial. E creio que te falta um sinal negativo no início da expressão. Na verdade este problema era mais um problema de matemática bruteforce que um problema genuinamente de física. Claro que o conceito e o pensamento físico estão lá presentes ;)
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Re: Um problema com alguma gravidade . . .

Mensagempor manuelbrandao99 em Quinta Fev 19, 2015 6:36 pm

antonio_carneiro Escreveu:Sim, é quase isso :hands: O único senão é que pedia para um caso geral de uma trajetória circular com centro em (a,b) e resolveste para o caso particular de centro na origem do referencial. E creio que te falta um sinal negativo no início da expressão. Na verdade este problema era mais um problema de matemática bruteforce que um problema genuinamente de física. Claro que o conceito e o pensamento físico estão lá presentes ;)


Sim, de facto assumi a=0 e b=0. Sim, falta um sinal negativo se pensares no eixo dos yy a apontar para cima, mas a escolha é arbitrária. Mas sim, convencionalmente deveria ter sinal negativo.
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