Momento de Inércia de uma barra com densidade linear variáve

Problemas simples, mas interessantes!

Momento de Inércia de uma barra com densidade linear variáve

Mensagempor antonio_carneiro em Segunda Abr 07, 2014 3:17 pm

Boas pessoal! Eu estou com uma dúvida aqui num exercício... Eu consigo obter resposta, mas não sei se o método está correto. Para quem tem "A Bíblia", do Giancoli, é o exercício 95 da página 327. Mas eu deixo aqui à mesma. Determinar o momento de inércia de uma barra, em relação a um eixo perpendicular à barra, de reio desprezável, e comprimento l. A densidade linear da barra aumenta de Uo numa ponta até 3Uo na outra. Boa sorte :)
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Re: Momento de Inércia de uma barra com densidade linear variáve

Mensagempor ajcoelho em Segunda Abr 07, 2014 6:58 pm

Acho que percebo o que queres dizer com método correto pq a mim também me deu bem de acordo com as solução mas a forma como fiz (ou melhor como resolvi o integral) parece um bocado aldrabada :lol: Let us see:

Por definição: I=\int x^2 dm

Considerando que o centro geométrico da barra está no centro do referencial, fica:

I = \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}x^2dm

Ora \lambda=\frac{dm}{dx}<=>dm=\lambda dx

I = \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}x^2 \lambda dx = \lambda \frac{1}{3}x^3 + C

Para resolver o integral definido há que substituir o x por \frac{l}{2} e subtrair pelo -\frac{l}{2}. Agora aqui é que está a aldrabice: é que quando substituo por -\frac{l}{2} multiplico por\lambda_o e quando substituo por\frac{l}{2} multiplico por 3\lambda_o. É que não encontro mesmo outra forma que dê como que para "integrar" a densidade linear já que esta não é constante...

O que é certo é que com isto, lá se obtém I=\frac{l^3 \lambda_o}{6}...
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Re: Momento de Inércia de uma barra com densidade linear variáve

Mensagempor antonio_carneiro em Segunda Abr 07, 2014 7:07 pm

Foi exatamente isso que eu fiz xD eu tentei descobrir como variava a densidade como o comprimento, e deu me U=Uo(1+2/l), e introduzia isso no integral e depois integrava tudo, mas já dava um resultado diferente. Mas não vejo mais formas de resolver :s
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Re: Momento de Inércia de uma barra com densidade linear variáve

Mensagempor duarte.magano em Segunda Abr 07, 2014 7:27 pm

Para resolver isto devem integrar com \lambda como função de r.
Quero postar aqui uma resolução formal, mas vai-me demorar um bocado a escrever tudo em Latex. Se fizerem o favor de esperar um pouco...
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Re: Momento de Inércia de uma barra com densidade linear variáve

Mensagempor duarte.magano em Segunda Abr 07, 2014 7:29 pm

Mas, como isso vos dá bem, deve estar correto de alguma forma...
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Re: Momento de Inércia de uma barra com densidade linear variáve

Mensagempor duarte.magano em Segunda Abr 07, 2014 7:40 pm

Podemos começar por obter \lambda em função de r - distância ao eixo de rotação.

Como a densidade varia linearmente com r, temos que
y=kx+b

\lambda(-l/2)=\lambda_{0}

\lambda(l/2)=3\lambda_{0}

\begin{cases}
 \lambda_{0} = k(-l/2)+b  \\ 3\lambda_{0} = k(l/2)+b
\end{cases}

\implies
\begin{cases}
 k = \dfrac{2\lambda_{0}}{l}  \\ b = 2\lambda_{0}
\end{cases}

Assim,
\lambda(r)=2\lambda_{0}(\dfrac{r}{l} + 1)

Para calulcar o momento de inércia, partimos da definição de I, aplicada à barra:
I=\int\limits_{-l/2}^{l/2}r^2 dm

Podemos substituir dm por \lambda(r)dr:
I=\int\limits_{-l/2}^{l/2}r^2 \lambda(r)dr
\implies 
I=\int\limits_{-l/2}^{l/2}r^2 2\lambda_{0}(\dfrac{r}{l} + 1)dr
\implies 
I=2\lambda_{0}\int\limits_{-l/2}^{l/2}(\dfrac{r^3}{l}+ r^2)dr
\implies 
I=2\lambda_{0}(\dfrac{l^4}{2^4l}-\dfrac{(-l)^4}{2^4l}+\dfrac{l^3}{3*2^3l}-\dfrac{(-l)^3}{3*2^3l})
\implies 
I=2\lambda_{0}(\dfrac{2l^3}{3*2^3l})
\implies 
I=\lambda_{0}(\dfrac{l^3}{6})

Que é o mesmo resultado que vocês chegaram. :D
A vantagem desta resolução é que também funcionaria para distribuições não-lineares de densidade.
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Re: Momento de Inércia de uma barra com densidade linear variáve

Mensagempor antonio_carneiro em Segunda Abr 07, 2014 9:25 pm

Também tentei ir por aí, mas enganei me ao encontrar a expressão para a densidade em função da distância. Obrigado :)
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Re: Momento de Inércia de uma barra com densidade linear variáve

Mensagempor joaofrme em Terça Abr 08, 2014 3:34 pm

O vosso método funciona porque na realidade fizeram o mesmo que o duarte mas implicitamente. Quando põem \lambda, na realidade estão a considerar a função \lambda(r), e em -1/2 e em 1/2 substituíram pelo valor de \lambda(-1/2) e \lambda(-1/2) sem declararem explicitamente que o estavam a fazer.
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