Rolamento puro

Problemas simples, mas interessantes!

Rolamento puro

Mensagempor ajcoelho em Domingo Mar 23, 2014 12:07 am

Não sabia se havia de colocar isto aqui ou nas "Questões"... É um problema trivia mas que estou a falhar nalguma parte. Vejemos...

Um disco maciço e uniforme de raio R é posto em rotação em torno de um eixo que passa pelo seu centro. Enquanto roda com uma velocidade angular wi o disco é colocado em contacto com uma superfície horizontal e largado. O coeficiente de atrito entre o disco e a superfície é \mu.

a) Calcular o tempo que a esfera demora até atingir o rolamento puro

Ora bem, para que se verifique a condição de rolamento puro tem que se ter:

v=\omega R

vo + at = (\omega i + \alpha t)R

\frac{-mg\mu}{m}t=(\omega i + \frac{2g\mu}{R}t)R

-g\mu t=\omega iR+2g\mu t

t=-\frac{wiR}{3g \mu}

Ora bem, é óbvio que não existem tempos negativos! Então para isto dar positivo, teria que, inicialmente, ter posto um sinal menos na velocidade angular inicial. E é essa situação que eu nao compreendo. Tao eu ponho a rodar um disco e depois coloco-o na mesa e o seu vetor velocidade angular tem sinal contrário ao da sua aceleração angular??

Onde estou a interpretar mal?

PS: Já agora, existem mais duas questões relacionadas com o problema que, tendo o valor de tempo positivo!!, se resolvem bem...

b)Qual é a fração de energia cinética dissipada desde que o disco toca a mesa até que atinge a situação de rolamento puro?
c) Calcular a distância percorrida pelo disco até ao momento em que começa a rolar sem deslizar


PS2: Isto é de um desafio teórico do quark! do ano passado

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Re: Rolamento puro

Mensagempor duarte.magano em Domingo Mar 23, 2014 12:49 pm

A ideia é essa, tens é de ter atenção aos sinais.
Assumamos que a rotação tem o sentido positivo - quando é colocado em contacto com a superfície ele roda para a esquerda (acho que era isto que tu estavas a pensar, mas claro que se pode também considerar a contrário). Temos que

\omega_i tem sinal positivo
\alpha tem sinal negativo
a tem sinal positivo

Só pode ser assim porque o disco vai adquirir velocidade translacional e, pelo princípio do não aumento da energia (já que a energia também não se vai manter constante, uma vez que há deslizamento), a velocidade angular tem de diminuir. Assim temos uma aceleração angular negativa e uma aceleração translacional positiva.

Aqui está uma imagem improvisada no powerpoint: (mas fiz mal este esquema, na medida em que a aceleração angular "a_r" está ao contrário)
Slide1.jpg
Slide1.jpg (14.31 KiB) Visualizado 7578 vezes

Pode parecer estranho porque é que a força de atrito tem o sentido do deslocamento. Mas na verdade, apesar do o centro de massa se deslocar para a esquerda, uma vez que há deslizamento, localmente, no ponto de contacto do disco com o solo a superfície do disco está a "ir para a direita" e o solo no sentido contrátrio.

Assim, os teus cálculos ficam:
v=\omega R

vo + at = (\omega i - \alpha t)R

\frac{+mg\mu}{m}t=(\omega i - \frac{2g\mu}{R}t)R

+g\mu t=\omega iR-2g\mu t

t=+\frac{wiR}{3g \mu}

Está mais claro agora?
última vez editado por duarte.magano s Segunda Mar 24, 2014 9:31 pm, editado 1 vez no total
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Re: Rolamento puro

Mensagempor duarte.magano em Domingo Mar 23, 2014 1:53 pm

Deixo agora uma resolução de todas as alíneas, mais uma outra que tu omitiste, mas que também é interessante e ajuda na resolução das outras.

a0) Qual a velocidade angular do disco quando este atinge a situação de rolamento puro?


a) Calcular o tempo que o disco demora até atingir o rolamento puro.


b) Qual é a fração de energia cinética dissipada desde que o disco toca a mesa até que atinge a situação de rolamento puro?


c) Calcular a distância percorrida pelo disco até ao momento em que começa a rolar sem deslizar


Se encontrarem algum erro ou tiverem alguma dúvida, por favor, digam. :D
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Re: Rolamento puro

Mensagempor duarte.magano em Domingo Mar 23, 2014 3:13 pm

Nas minhas resoluções assumi que a força de atrito é constante e penso que é assim que se deve resolver o problema. Contudo, acho que, na realidade, o coeficiente de atrito cinético varia ligeiramente quando a força de atrito tende para a estática. Estou correto?
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Re: Rolamento puro

Mensagempor duarte.magano em Domingo Mar 23, 2014 3:14 pm

ajcoelho Escreveu:a) Calcular o tempo que a esfera demora até atingir o rolamento puro

Tu queres dizer "disco", não é? :wink:
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Re: Rolamento puro

Mensagempor duarte.magano em Domingo Mar 23, 2014 11:29 pm

duarte.magano Escreveu:Aqui está uma imagem improvisada no powerpoint:
Slide1.jpg



Reparei que há um erro na imagem. "a_r" deveria ser no sentido oposto ao que está desenhada… :oops: Desculpem.
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Re: Rolamento puro

Mensagempor ajcoelho em Terça Mar 25, 2014 6:55 pm

duarte.magano Escreveu:
Só pode ser assim porque o disco vai adquirir velocidade translacional e, pelo princípio do não aumento da energia (já que a energia também não se vai manter constante, uma vez que há deslizamento), a velocidade angular tem de diminuir. Assim temos uma aceleração angular negativa e uma aceleração translacional positiva.


Obrigado!! Na verdade, pensar assim foi como consegui perceber...

duarte.magano Escreveu:Pode parecer estranho porque é que a força de atrito tem o sentido do deslocamento.


Foi por essa mesma razão que pus os sinais ao contrário... Non-intuitive.

duarte.magano Escreveu:
ajcoelho Escreveu:a) Calcular o tempo que a esfera demora até atingir o rolamento puro

Tu queres dizer "disco", não é? :wink:


Sim claro :D
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Re: Rolamento puro

Mensagempor ajcoelho em Quarta Abr 02, 2014 6:28 pm

Hás de ver que aquilo na alínea b) dá 2/3...
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Re: Rolamento puro

Mensagempor duarte.magano em Quarta Abr 02, 2014 7:50 pm

ajcoelho Escreveu:Hás de ver que aquilo na alínea b) dá 2/3...


É possível, mas agora não estou a ver um erro nas minhas contas… Explicas, por favor?
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Re: Rolamento puro

Mensagempor ajcoelho em Quarta Abr 02, 2014 8:50 pm

duarte.magano Escreveu:
ajcoelho Escreveu:Hás de ver que aquilo na alínea b) dá 2/3...


É possível, mas agora não estou a ver um erro nas minhas contas… Explicas, por favor?


Pá, aquilo chegas ali a um ponto em que fica: [(1/2) - ((1/18)+(1/3^2)) ] / (1/2)

E esta conta dá 2/3...


Em relação à c) hás de ver se me conegues explicar isto: porque é que aplicando o teorema do trabalho-energia cinética, nao dá uma distancia igual? Este teorema so pode ser aplicado p movimento transl?
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Re: Rolamento puro

Mensagempor antonio_carneiro em Quarta Abr 02, 2014 10:34 pm

Mas consideraste as energias cineticas translacional e rotacional?
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Re: Rolamento puro

Mensagempor ajcoelho em Quarta Abr 02, 2014 10:54 pm

antonio_carneiro Escreveu:Mas consideraste as energias cineticas translacional e rotacional?


ya, has-de fazer e ver se nao te dá também diferente...
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Re: Rolamento puro

Mensagempor duarte.magano em Quarta Abr 02, 2014 11:15 pm

Tens razão! Erro de aritmética. :wall:
Obrigado!
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Re: Rolamento puro

Mensagempor duarte.magano em Quarta Abr 02, 2014 11:16 pm

ajcoelho Escreveu:Em relação à c) hás de ver se me conegues explicar isto: porque é que aplicando o teorema do trabalho-energia cinética, nao dá uma distancia igual? Este teorema so pode ser aplicado p movimento transl?


Mostra-me as tuas contas, por favor, para eu poder perceber o problema.
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Re: Rolamento puro

Mensagempor ajcoelho em Domingo Abr 06, 2014 8:49 pm

Ora bem,

W_F_r=\Delta K <=>F_a d=\Delta K

A variação da energia cinética é -\frac{2}{12}MR^2\omega_i^2 e a força de atrito é -\mu Mg

Resolvendo a equação, fica d=\frac{\omega_i^2R^2}{6\mu g} quando, na verdade, d=\frac{\omega_i^2R^2}{18\mu g}
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