Hidrolançamento surpreendente

Problemas simples, mas interessantes!

Hidrolançamento surpreendente

Mensagempor miguel_amaral em Quinta Set 29, 2011 5:50 pm

Temos um reservatório de água, de topo aberto, montado num suporte.

a) A que altura devemos fazer um furo no reservatório de maneira a que o jacto de água resultante atinja o solo com o máximo alcance horizontal?

b) Qual o volume de água por metro de ''superfície'' (estamos a fazer um modelo a 2 dimensões) molhada?
Ou seja: depois de se furar o reservatório, a água começa a escoar e o alcance vai diminuindo; consequentemente, vamos ter áreas atingidas durante mais ou menos tempo por água consoante a taxa de variação do alcance. O que eu estou a pedir é a densidade linear do volume de água em função da distância horizontal ao furo. Ou seja, peço \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d} x}, em que V é o volume de água que saiu do reservatório e x o alcance correspondente.
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Re: Hidrolançamento surpreendente

Mensagempor jap em Terça Out 04, 2011 12:48 am

Bom problema, Miguel! :D

Alguém quer tentar resolver? :roll:
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Re: Hidrolançamento surpreendente

Mensagempor gabrielvasc em Segunda Out 17, 2011 3:23 am

A letra (a) me saiu desta forma:
A = tv_{horizontal} (I)
Podemos fazer o seguinte:
Achar o tempo como sendo o tempo de queda da água:
t=\sqrt{\frac{2h}{g}}

E a velocidade por outra equação clássica:
v_{horizontal}=\sqrt{2gy}

Onde y é a diferença y=H-h, sendo H a altura da caixa
Jogando isto na equação inicial:
A=\sqrt{\frac{2h}{g}}\sqrt{2gy}=2\sqrt{hy}=2\sqrt{-h^{2}+Hh}

Então, só nos basta achar o valor máximo do polinômio P(h)=-h^{2}+Hh. Como é um polinômio do segundo grau, o gráfico é uma parábola, e como o coeficiente do termo de h^{2} é negativo, a parábola está voltada para baixo. Portanto, a vértice da parábola é o seu valor máximo. Podemos então usar a relação x_{Vertice}=-\frac{b}{2a}, o que nos dá:

h_{alc.max}=\frac{H}{2}

Achei a solução em função da altura da caixa, acho que está correto... assim espero.
Já a letra (b) não compreendi bem do que se trata :( .
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Re: Hidrolançamento surpreendente

Mensagempor miguel_amaral em Segunda Out 17, 2011 9:59 am

Está correcto...quase. H/2 pode não estar tão alto como o ponto mais baixo do tanque! Mas chegas lá!
Uma nota sobre maximizar -h^2+Hh=h(H-h): a soma dos dois factores é constante, e quem sabe AM-GM
(http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means) sabe que o máximo se atinge quando esses factores são o mais iguais possível.
Sobre B):ver edit.
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Re: Hidrolançamento surpreendente

Mensagempor gabrielvasc em Segunda Out 17, 2011 1:30 pm

Mas o polinômio que achei era -h^{2}+Hh :?. E só ocorre de \frac{H}{2} ser tão alto quanto o ponto mais baixo quando H=0. A letra (b) eu enrolei um pouco e cheguei ao resultado q(x)=\rho xA_{f}\sqrt{2gh}
Onde:
q é a quantidade de água que chegará ao tal ponto
\rho é a densidade da água
x a distância
A_{f} a área do furo na caixa
h altura do furo.

Acho que não está consistente, pois admite resultado se aplicarmos um x tal que:
x > H\sqrt{2}, que é o alcance máx, mas não consegui nada melhor até agora.
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Re: Hidrolançamento surpreendente

Mensagempor rigillescherrer em Segunda Out 17, 2011 3:05 pm

Qual foi a derivação da formulav_{horizontal} = \sqrt {2gy} ? Estou um pouco curioso, achar a velocidade horizontal foi onde mais me atrapalhei no problema
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Re: Hidrolançamento surpreendente

Mensagempor gabrielvasc em Segunda Out 17, 2011 3:17 pm

rigillescherrer Escreveu:Qual foi a derivação da formulav_{horizontal} = \sqrt {2gy} ? Estou um pouco curioso, achar a velocidade horizontal foi onde mais me atrapalhei no problema


Está no livro de Moysés esta fórmula.

Partindo-se da forma equivalente da equação de Bernoulli:
C=y+\frac{v^2}{2g}+\frac{p}{\rho g}

Como C é constante ao longo do filete, podemos igualar em alturas diferentes:
y+\frac{v^2}{2g}+\frac{p_0}{\rho g}=y_0+\frac{v^{2}_0}{2g}+\frac{p_0}{\rho g}
Sendo y_0-y=h, temos que:
v=\sqrt{2gh}.

Não sei explicar bem, mas tem tudo explicado no vol. 2 de Moysés, no cap. 2. Eu simplesmente chamei o h da formula de y, pra encaixar na resolução.
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Re: Hidrolançamento surpreendente

Mensagempor miguel_amaral em Segunda Out 17, 2011 3:32 pm

Já editei (efeio fim-de-semana, desculpe). Mas mesmo assim temos um tanque e um suporte, ou seja nova variável, a altura do suporte, que pode ser maior do que H/2, e então não dá para fazer um furo a essa altura, pois não há água a essa altura!
Já vejo o resto.
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Re: Hidrolançamento surpreendente

Mensagempor gabrielvasc em Segunda Out 17, 2011 3:45 pm

miguel_amaral Escreveu:Já editei (efeio fim-de-semana, desculpe). Mas mesmo assim temos um tanque e um suporte, ou seja nova variável, a altura do suporte, que pode ser maior do que H/2, e então não dá para fazer um furo a essa altura, pois não há água a essa altura!
Já vejo o resto.


Isto explica tudo! Pois bem, creio que a alteração é bem simples: h=\frac{H_t-H_s}{2} Onde H_t é a altura do tanque e H_s a altura do suporte. :wink:
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Re: Hidrolançamento surpreendente

Mensagempor miguel_amaral em Segunda Out 17, 2011 9:13 pm

Não.
Imagine: um tanque a 2 metros de altura, água até ao chão, dá que a melhor altura é um metro.
Esta situação é equivalente a um tanque com uma altura de água de 1 metro, com um suporte de um metro de altura.
Mas a sua fórmula dá que devemos furar a meio do tanque, a 1.75m!

Quanto ao B):
O x não é o problema, pois depende de h numa raiz e isso limita os seus valores.
Mas esse resultado não está certo (e não é surpreendente o suficiente!). Tente relacionar as variações no volume de água, no alcance e na altura.
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Re: Hidrolançamento surpreendente

Mensagempor gabrielvasc em Terça Out 18, 2011 4:57 pm

miguel_amaral Escreveu:Não.
Imagine: um tanque a 2 metros de altura, água até ao chão, dá que a melhor altura é um metro.
Esta situação é equivalente a um tanque com uma altura de água de 1 metro, com um suporte de um metro de altura.
Mas a sua fórmula dá que devemos furar a meio do tanque, a 1.75m!

Quanto ao B):
O x não é o problema, pois depende de h numa raiz e isso limita os seus valores.
Mas esse resultado não está certo (e não é surpreendente o suficiente!). Tente relacionar as variações no volume de água, no alcance e na altura.


Não... Ao meu ver, se o tanque estiver a um metro e o suporte também a um metro, o resultado será 0 (Vale-se lembrar que estou fazendo com a altura em relação ao tanque). Devemos apenas salientar que quando Hs > Ht, o resultado ficará fixo no 0, para evitar confusões. A altura em relação ao solo muda apenas um sinal: h=\frac{H_t + H_s}{2}. Para tal: Ht > Hs => h = Hs

Já o B) tirarei mais um tempo para pensar bem sobre ela. :)
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Re: Hidrolançamento surpreendente

Mensagempor miguel_amaral em Terça Out 18, 2011 5:48 pm

Convém não mudar de referencial entre posts, isso pode induzir alguém em erros...
gabrielvasc Escreveu:A letra (a) me saiu desta forma:
A = tv_{horizontal} (I)
Podemos fazer o seguinte:
Achar o tempo como sendo o tempo de queda da água:
t=\sqrt{\frac{2h}{g}}


gabrielvasc Escreveu:Não... Ao meu ver, se o tanque estiver a um metro e o suporte também a um metro, o resultado será 0 (Vale-se lembrar que estou fazendo com a altura em relação ao tanque).


Mas como escreveu no fim dá certo, por isso parabéns! :hands:

PS: não arquivar, falta questão B)!
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Re: Hidrolançamento surpreendente

Mensagempor gabrielvasc em Terça Out 18, 2011 6:47 pm

miguel_amaral Escreveu:Convém não mudar de referencial entre posts, isso pode induzir alguém em erros...
gabrielvasc Escreveu:A letra (a) me saiu desta forma:
A = tv_{horizontal} (I)
Podemos fazer o seguinte:
Achar o tempo como sendo o tempo de queda da água:
t=\sqrt{\frac{2h}{g}}


gabrielvasc Escreveu:Não... Ao meu ver, se o tanque estiver a um metro e o suporte também a um metro, o resultado será 0 (Vale-se lembrar que estou fazendo com a altura em relação ao tanque).


Mas como escreveu no fim dá certo, por isso parabéns! :hands:

PS: não arquivar, falta questão B)!


Pois bem, é que no meu primeiro post eu não considerava a existência do suporte... Falha minha não ter notado isso após a correção :wall:. O (b) não me sai fácil :x.
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Re: Hidrolançamento surpreendente

Mensagempor miguel_amaral em Sexta Out 21, 2011 6:33 pm

Editei a pergunta B) um pouco.
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