Gravidade em uma linha

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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor hexphreak em Domingo Jan 23, 2011 10:07 pm

ampat Escreveu:\displaystyle F=\frac{G\pi^2}{R}\lambda^2\cdot\lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{N-1}{ \frac{  1 }{ N^2\sin\left( \frac{k\pi}{N} \right ) } }

Está quase certo, mas parece-me que deixaste um R a mais no denominador :wink:

Ora, mostrar que este limite existe é fácil: basta ver que \displaystyle \min_{1 \le k < N} \sin (k\pi/N) = \sin (\pi/N), e portanto

\displaystyle F_N \le G\pi^2 \lambda^2 {1 \over \sin (\pi/N)} {N-1 \over N^2} = G\pi\lambda^2 {\pi/N \over \sin (\pi/N)} {N-1 \over N} \to G\pi\lambda^2

Mas este não é o valor exacto do limite... Quem o consegue calcular? :P

(Délficos estão à vontade para ajudar.)
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor rigillescherrer em Segunda Mar 14, 2011 11:58 pm

Pelo que deu lá no delfos parece que esse limite é igual a 0 ( :shock: ), alguém pode explicar porque?
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor gabrielvasc em Quarta Mar 16, 2011 7:00 pm

Porque N está no denominador. De forma geral:
\[\lim_{x\to\infty}\frac{k}{x}=0\], onde k é uma constante.

Como N está multiplicando, todo o denominador tende ao infinito, e portanto a fração a 0. Uma soma de 0s, por maior que seja, sempre será 0.

Estou certo? :roll:
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor rigillescherrer em Quarta Mar 16, 2011 7:51 pm

Acho que não, porque se tens por exemplo \displaystyle\lim_{x\to\infty} \sum^{x} \frac {k}{x} = k mesmo com k/x tendendo a 0 :roll:
Parece que a soma diminui mesmo, para $N = 3, 4e 5 temos aproximadamente 0.2566, 0.239277, 0.220221 como somas parciais
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor gabrielvasc em Quinta Mar 17, 2011 2:15 am

rigillescherrer Escreveu:Acho que não, porque se tens por exemplo \displaystyle\lim_{x\to\infty} \sum^{x} \frac {k}{x} = k mesmo com k/x tendendo a 0 :roll:
Parece que a soma diminui mesmo, para $N = 3, 4e 5 temos aproximadamente 0.2566, 0.239277, 0.220221 como somas parciais


Pois bem, não me parece fazer sentido isto! seria por acaso \displaystyle\lim_{x\to\infty}\sum^x\frac{k}{x}\ne\sum^\infty\left(\lim_{x\to\infty}\frac{k}{x}\right) ? isso não me parece lógico. Estou só começando a aprender cálculo, mas não me parece certo...

Além de que os valores experimentais se aproximam cada vez mais de 0.

Estou convencido que 0 seja realmente o valor do limite.

Vale ressaltar que k\ne x
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor gabrielvasc em Sábado Mar 19, 2011 1:04 am

Não parei para observar o seno no denominador. Ele muda toda a história (por conter N)
Aplicando o que pude imaginar, cheguei à mesma série infinita de frações 1/0\times\infty, que não fazem sentido. Uma das atrocidades que imaginei para tentar sair:

\displaystyle\lim_{N\to\infty}\sum^{N-1}_{k=1}\frac{1}{N^2sin\left(\frac{k\pi}{N}\right)}=
\displaystyle=\max_{1\le k < N}\sum^{\infty}_{k=1}\lim_{k\to\infty}\frac{1}{k^2sin\left(\frac{k\pi}{k}\right)}=
\displaystyle=\sum^{\infty}_{k=1}\lim_{k\to\infty}\frac{1}{k^2sin\pi}=\sum^{\infty}\frac{1}{0\times\infty}

Ao empregar o mínimo, me deparo com a mesma incerteza. Das muitas formas que imaginei, não há uma que determine algo. Ainda tenho muito de aprender

Algúem consegue sair?
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