Gravidade em uma linha

Problemas simples, mas interessantes!

Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor Bernardo em Terça Jan 18, 2011 5:54 pm

É possível ver qual é a força gravítica exercida em cada direcção, certo? Decompondo as distâncias conforme o eixo que estou a analisar? Se sim já concluí que a força é sempre na mesma direcção e sentido (se escolher uma secção que está no eixo Ox, a força resultante vai ser nesse eixo, mas ainda não sei a norma.
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor ampat em Terça Jan 18, 2011 5:59 pm

O problema tem simetria radial em torno do centro do anel. Logo, a força tem direcção radial.
Para resolveres o problema podes sempre colocar a partícula em estudo numa posição que te facilite a análise. ;)
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor Bernardo em Terça Jan 18, 2011 7:31 pm

Era brutal que houvesse uma maneira de desenhar aqui xD.

Desenho um circunferência e colocar o seu centro na origem de uma ceninha onde se faz os gráficos(referencial?). Divido a circunferência em N secções. Escolho um ponto, P, que se encontra no eixo Ox. Como há dois escolho o que tem de coordenadas (-r,0). Desenho um segmento de recta que começa em P e acaba em P', que tem coordenadas (r,0), logo passa pelo centro da circunferência. Divido este segmento de recta em {N\over 2}+1 secções. Como a função que dá a circunferência é algo do género f(x) = y = $\pm$\sqrt{{R^2}-{x^2}}, posso concluir que a cada x correspondem dois y, logo o segmento de recta que eu tracei pode dar a componente x da distância entre o ponto P e qualquer outro ponto na circunferência. Posso ignorar a componente y da força, porque a cada ponto do segmento de recta correspondem dois pontos da circunferência cujas coordenadas são (x,y) e (x,-y), logo a componente y anula-se...(texto incompreensível :S)

A distância, D, a que um ponto do segmento de recta se encontra do ponto P é D_k = {{k\times d}\over {N\over 2}}, k = {0, 1, ..., {N\over 2}} e d = 2R
\displaystyle\sum_{k=0}^{N\over 2} F_k = {2\times ({ {{{m\over N}\times {m\over N} \times G}\over {({D_0})^2}} + {{{m\over N}\times {m\over N} \times G}\over {({D_1})^2}} + {{{m\over N}\times {m\over N} \times G}\over {(2{D_{N\over 2}})^2}}})}
Penso que é duas vezes isso tudo porque a cada ponto do segmento de recta correspondem dois pontos (menos no último ponto).

Isto parece-me semelhante demais ao outro, por isso posso concluir que errei, podem dizer onde?
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor hexphreak em Terça Jan 18, 2011 7:44 pm

Tens razão quando dizes que as componentes em y se anulam, mas a distância usada na lei da gravidade é a distância total. Quando queres a componente da força ao longo de uma direcção projectas o módulo da força, não a distância :roll:
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor Bernardo em Terça Jan 18, 2011 9:05 pm

Bem me parecia que estava a fazer algo de estranho xD...
Então tenho que medir a distância em linha recta de uma secção para a outra certo?
Se for para fazer isso eu já comecei a trabalhar no problema, mas dá-me algo que é bastante chato de tratar ( pus \theta em função de k para poder usar o teorema de pitágoras para descobrir a distância entre duas secções)
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor rigillescherrer em Quarta Jan 19, 2011 6:40 pm

A minha resolução do primeiro problema foi essa:
Imagem
Acho que dá para resolver o segundo da mesma forma que o primeiro. Depois eu posto a minha resolução (quando eu acaba-lá)
Imagem \huge = \int
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor Bernardo em Quarta Jan 19, 2011 9:03 pm

Imagem

Alguém pode dizer-me que ângulo é aquele?
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor hexphreak em Quarta Jan 19, 2011 9:06 pm

Muito facilmente: o triângulo é isósceles e a soma dos ângulos internos é 180º, portanto o teu ângulo mistério é (\pi - \theta)/2.
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor Bernardo em Quarta Jan 19, 2011 9:42 pm

F ={{G{({m\over N})^2}{\cos ({{\pi\over 2} - {{k\pi}\over N})}}\over {{4k^2d^2\over N^2} + r^2\sin^2({{2k\pi}\over N}), k=0,1,.,.,.,{N\over 2}
d é o diâmetro é o diâmetro da circunferência
r é o raio da circunferência
N é o número de secções da circunferência
{-{G{({m\over N})^2}{\cos ({{0})}}\over {{d^2} + {0}}} + 2{\displaystyle\sum_{k=0}^{N\over 2}F_k} = 2(0 + {G{({m\over N})^2}{\cos ({{\pi\over 2} - {{\pi}\over N})}}\over {{4d^2\over N^2} + {r^2\sin^2({{2\pi}\over N})}}} + ... + {G{({m\over N})^2}{\cos ({{0})}}\over {{d^2} + {0}}}){-{G{({m\over N})^2}{\cos ({{0})}}\over {{d^2}
Pelo menos está certo para o primeiro e para o último ponto xD
Será isto?

Se for eu já começo a simplificar e a ver o que posso pôr em evidência
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor hexphreak em Quarta Jan 19, 2011 10:21 pm

Não me parece correcto... :( A projecção está bem feita, o problema está na distância entre as duas partículas, que deve ser r_k = 2R\sin(k\pi/N) (se não me tiver enganado nos ângulos; alguém confirma?). A forma mais fácil de lá chegares é considerares o triângulo formado pelas duas partículas e pelo centro do anel, e dividi-lo em dois triângulos rectângulos congruentes.

(Já agora, o co-seno no numerador pode ser escrito simplesmente como \sin(k\pi/N).)
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor Bernardo em Quarta Jan 19, 2011 11:05 pm

Estive a ver a maneira como descobriste a distância e está certo.
Curiosamente a função para a distância que eu inventei tem os mesmos valores para k=0 e k=5. Na verdade tem quase sempre valores aproximadamente iguais :S.
Tenho que pensar melhor no que fiz, depois respondo se ninguém o fizer primeiro
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor rigillescherrer em Quarta Jan 19, 2011 11:27 pm

Vetor do eixo Oy
\displaystyle\frac{\vec {|F_{p_x}|}}{2} = \displaystyle\frac {G m^2 cos (\frac{(1 -  x)180}{2n})}{(2 r n sen(\frac{x180}{n}))^2}
Força Total:
\vec {|F|} = \displaystyle\lim_{n\to\infty} 2 \sum_{x = 1}^{n-1}\displaystyle\frac {G m^2 cos (\frac{(1 -  x)180}{2n})}{(2 r n sen(\frac{x180}{n}))^2}
Nota: Eu desprezei o vetor Ox porque ele iria se anular
É \displaystyle\frac{\vec {|F_{p_x}|}}{2} por que eu lidei com o vetor na direção Oy usando o anel pela metade e depois dobrando na soma
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor hexphreak em Quarta Jan 19, 2011 11:43 pm

Rígille,

Alguns conselhos sobre como escreveres as tuas soluções:

  • Não está bem explícito aquilo que fizeste. Estás a calcular a força em relação a uma partícula sobre o eixo yy?
  • Não deves usar x para uma variável inteira, já que habitualmente x é uma incógnita real. Usa antes i,\,j,\,k\,\ldots
  • Quando trabalhas com as funções trigonométricas, deves usar radianos e não graus (\pi \leftrightarrow 180\º);
  • Em relação ao \LaTeX, podes pôr uma backslash ('\') atrás do seno e do co-seno para obteres funções assim: \sin \theta ou \cos \theta.

Quanto ao teu resultado, parece-me que tens o ângulo de projecção mal: deveria ser \displaystyle \cos \left({\pi\over 2} - {k\pi \over N}\right) = \sin {k\pi \over N}. O teu resultado é parecido; talvez te tenhas enganado a simplificar? :roll:
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor hexphreak em Domingo Jan 23, 2011 7:41 pm

Já alguém chegou a alguma conclusão sobre o anel? :roll:
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Re: Gravidade em uma linha

Mensagempor ampat em Domingo Jan 23, 2011 9:07 pm

Bem, se ninguém resolve, escrevo eu aquela que acho que é a solução :roll:

Dividimos o anel em N secções idênticas, sendo que cada uma subtende um ângulo \d\theta=\frac{2\pi}{N} e tem uma massa dm=\left (\frac{2\pi}{N}\cdot R \right )\lambda( \lambda é a densidade linear de massa do anel, suposta uniforme ). Assumimos também que a força exercida sobre a nossa partícula em estudo é exercida pelo ponto médio de cada segmento.

Para efectuarmos o cálculo, ajuda realizar uma representação geométrica do anel( que vou tentar colocar aqui ). Podemos, por exemplo, colocar no nosso esquema a partícula em estudo no topo do anel( num sistema de eixos cartesianos com origem no centro do anel, a partícula encontra-se na intersecção do anel com o eixo dos yy ).



Numeramos cada uma das secções desde 1 a N-1, sendo a numeração feita a partir da partícula e no sentido dos ponteiros do relógio. De acordo com esta notação, a distância angular do centro da secção k à partícula é

\displaystyle \theta_k=k\cdot\frac{2\pi}{N}

Pretendemos agora obter uma expressão para a distância d_k do centro da secção k à partícula. Para isso( ver esquema ), consideraramos o triângulo formado pela partícula e pelo centro da secção e dividimo-lo em dois triângulos rectângulos congruentes. Vemos, então, que a distância é

\displaystyle d_k=2R\sin\left ( \frac{k\pi}{N}\right )

Assim, o campo gravítico na posição da partícula devido à secção k do anel tem magnitude \displaystyle |\vec{E_k}|=\frac{G dm}{4R^2\sin^2\left( \frac{k\pi}{N} \right ) }
e a direcção da recta que une a partícula e o centro da secção k. Devemos agora notar que, por simetria, o campo gravítico sobre a partícula apenas tem componente vertical. Podemos ver facilmente que esta componente vertical tem magnitude

\displaystyle E_{kv}=\frac{  G dm }{ 4R^2\sin^2\left( \frac{k\pi}{N} \right ) }\sin\left( \frac{k\pi}{N} \right ) =\frac{  G dm }{ 4R^2\sin\left( \frac{k\pi}{N} \right ) }

Logo, a força total sobre a partícula de massa m^{*} é

\displaystyle F=\lim_{N\rightarrow \infty }m^{*}\sum_{k=1}^{N-1}{ E_{kv} } =\lim_{N\rightarrow \infty } m^{*}\sum_{k=1}^{N-1}{ \frac{  G \pi \lambda }{ 2NR\sin\left( \frac{k\pi}{N} \right ) } }

No caso deste problema, parece-me que consideramos a nossa partícula como sendo a secção de massa m^{*}=dm com centro no eixo vertical. Logo, a força total é

\displaystyle F=G\pi^2\lambda^2\cdot\lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{N-1}{ \frac{  1 }{ N^2\sin\left( \frac{k\pi}{N} \right ) } }
última vez editado por ampat s Domingo Jan 23, 2011 10:09 pm, editado 1 vez no total
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