Pêndulo duplo

Problemas simples, mas interessantes!

Re: Pêndulo duplo

Mensagempor gabrielvasc em Quarta Mar 09, 2011 4:52 am

rigillescherrer Escreveu:Acho que é a distância entre os dois pêndulos também


Como você resolveria isto? Eu imaginei uma solução medindo-se a energia elástica da mola num momento de deformação em que x_o+\Delta x=d, onde d é a distância, mas estou com preguiça de tentar às 1:20 da manhã :roll: .

Porém consegui desacoplar as equações com sucesso :mrgreen: .

Partindo-se de
\left\{
\begin{array}{ll}
\ddot{x}_1 + \omega_0^2x_1 = K(x_2-x_1)\\
\ddot{x}_2 + \omega_0^2x_2 = -K(x_2-x_1)
\end{array}\right.

Podemos somar os termos e chegaremos a
(\ddot{x}_1+\ddot{x}_2)+\omega_0^2\left(x_1+x_2)=0

Por sua vez, podemos subtrair:
(\ddot{x}_1-\ddot{x}_2)+\omega_0^2\left(x_1-x_2)=2K(x_2-x_1)

Se fizermos:
\left\{
\begin{array}{ll}
q_1=\frac{1}{2}(x_1+x_2)\\
q_2=\frac{1}{2}(x_1-x_2)
\end{array}\right.

Transformaremos a soma em:
\ddot{q}_1+\omega_0^2q_1=0 I

E a subtração:
\ddot{q}_2+\omega_2^2q_2=0 II

Onde:
\omega_2=\sqrt{\omega_0^2+2K}

As eqs. I e II têm soluções gerais:
q_1(t)=A_1\cos(\omega_0t+\varphi_1)
q_2(t)=A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)

De onde se tira:
x_1(t)=q_1(t)+q_2(t)
x_2(t)=q_1(t)-q_2(t)

Poderia-se concluir, já do último post, que a solução precisaria de 4 constantes, no caso A_1, A_2, \varphi_1, \varphi_2.

Ufa :P
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