Uma questão de neutralidade

[jap]

Na obra "Da Terra à Lua", de Júlio Verne, o autor dá uma importância especial ao chamado ponto neutro - o ponto entre a Terra e a Lua onde a atracção gravítica dos dois corpos se compensam.

Conseguem calcular a que distância do centro da Terra se encontra esse ponto? E haverá só um ponto neutro entre o centro da Terra e o centro da Lua ou haverá mais do que um?

[Bruno Oliveira]

Considerando que é a distância do centro da Terra ao suposto ponto neutro, e que, é a massa da Terra, e a massa da Lua, e ainda que , é a distância do centro da Terra ao centro da Lua e que não me enganei em nas contas/raciocinio, obtenho que:



Só considerei a solução positiva por me parecer ser a única com significado físico, no entanto, não verifiquei de forma rigorosa, caso a solução com o sinal de -, dê valores coerentes, poderemos assumir que existem 2 Pontos Neutros entre a Terra e a Lua... Por outro lado, não tenho total certeza de que o que fiz está correcto... Pareceu-me muito fácil..

[jap]

Obrigado, Bruno!

Alguém verifica as contas?

Convinha dar a expressão numa forma simplificada e elegante, em função de D e de .

E analisem lá bem a questão curiosa: entre o centro da Terra e o centro da Lua haverá um ou mais pontos neutros?

[joao_moreira]

Fiz este cálculo numa aula de Física, mas com valores concretos. Não me recordo do valor exacto da distância, mas lembro-me que só havia um ponto, sobre a recta que unia os centros, onde o campo gravítico era exactamente 0. Não estou a ver mesmo como seria possível haver um 2º ponto onde tal se verificasse.

[Bruno Oliveira]

Se a fórmula acima estiver certa torna-se claro que só pode haver 1 ponto neutro sobre a recta hipotética que une os centros da Terra e da Lua...

Quanto á hipótese de haver mais pontos, apesar de por intuição não me parecer possível, nunca se sabe...

[jap]

Pois eu acho que há dois pontos neutros na recta que une o centro da Terra com o centro da Lua...

Ora pensem lá bem...

Any ideas?

[Bruno Oliveira]

Fiz uma simulação muito rápida e toscamente, e deu-me de facto, 1 distância minimamente plausivel para os pontos, uma deu-me entre a Terra e a Lua (como seria de esperar!) e a outra deu-me "atrás" da Lua, ou para lá da Lua... o que me parece absurdo e nada plausivel...

Amanhã confirmo isto!

Boa noite a todos!

[jap]

Para trás da Lua não vale!

A busca dos pontos neutros (2) deve ser feita na linha recta que une o centro da Terra ao centro da Lua, mas penas entre o centro da terra e o centro da Lua!

Boa noite, pensem no assunto, e até amanhã!

[Bruno Oliveira]

Sim, claro que não vale!

Era impossível verificar-se tal situação obviamente, amanhã logo se vê!

[Bruno Oliveira]

Estive a fazer umas consultas na Wikipedia, e será que estes 2 pontos neutros estão relacionados com a Esfera de Hill?

[joao_moreira]

Não estou a ver mesmo onde fica o 2º Ponto. Não me ocorre nenhuma ideia, mas vou dormir sobre o assunto...
Já agora, o que é a esfera de Hill?

[Bruno Oliveira]

Está tudo na wikipedia, , mas basicamente é uma aproximação que diz que a região que domina a atracção de satélites é esférica, e não me parece, que tenha que ver propriamente com isto...

Em contrapartida, ontem à noite só conseguia pensar em termos de relatividade, i.e., existiria apenas um ponto neutro, mas, para um extraterrestre lunar, este ponto está a uma distância x, enquanto que para um "terráqueo" este mesmo ponto está a uma distância y, maior do que x... Poderia dar a ideia de que são 2 pontos por estarem a distâncias diferentes, quando tomados relativamente à Lua ou quando tomado relativamente à Terra, mas não deve ser nada disto...

[RicardoCampos]

Hum, agora até eu estou confundido.

Quando li isto ainda pensei no ponto do infinito , mas esse não está entre a Terra e a Lua (ainda que esteja na recta que os une )

[RicardoCampos]

Hum... Pensando melhor, seja a força que a terra exerce em nós e a força que a Lua exerce em nós, em função da distância de nós ao centro da Terra (estou a considerar que nos movemos só na recta que une os centros).

Ora, se o sinal de for negativo, estamos a ser atraídos pela Lua. Se for positivo, estamos a ser atraídos pela Terra.

Seja o raio da Terra.

Ora, obviamente . Mas por outro lado .

Logo, pelo teorema do valor intermédio, há um ponto algures no interior da Terra onde as duas forças são iguais.

Mas pelos vistos poderíamos fazer um raciocínio semelhante para a Lua e haveria um ponto neutro dentro da Lua também, não?

[ampat]

Parece-me que temos de considerar também o movimento de rotação do sistema Terra-Lua em torno do centro de massa comum.

E como é que defines e ?
Este não é um ponto singular onde a função não está definida?