Uma questão de neutralidade

Problemas simples, mas interessantes!

Uma questão de neutralidade

Mensagempor jap em Quarta Fev 10, 2010 9:50 pm

Na obra "Da Terra à Lua", de Júlio Verne, o autor dá uma importância especial ao chamado ponto neutro - o ponto entre a Terra e a Lua onde a atracção gravítica dos dois corpos se compensam. :lol:

Conseguem calcular a que distância do centro da Terra se encontra esse ponto? E haverá só um ponto neutro entre o centro da Terra e o centro da Lua ou haverá mais do que um? :roll:
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor Bruno Oliveira em Quarta Fev 10, 2010 10:56 pm

Considerando que u é a distância do centro da Terra ao suposto ponto neutro, e que, M_T é a massa da Terra, e M_L a massa da Lua, e ainda que D, é a distância do centro da Terra ao centro da Lua e que não me enganei em nas contas/raciocinio, obtenho que:

u = { -{2\,D \over {\eta}} + \sqrt{\left(-{2\,D \over {\eta}\right)^2 - {4\,D^2 \over {\eta}}} \over 2}

Só considerei a solução positiva por me parecer ser a única com significado físico, no entanto, não verifiquei de forma rigorosa, caso a solução com o sinal de -, dê valores coerentes, poderemos assumir que existem 2 Pontos Neutros entre a Terra e a Lua... :roll: Por outro lado, não tenho total certeza de que o que fiz está correcto... Pareceu-me muito fácil.. :roll:
última vez editado por Bruno Oliveira s Quarta Fev 10, 2010 11:38 pm, editado 4 vezes no total
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor jap em Quarta Fev 10, 2010 11:18 pm

Obrigado, Bruno! :wink:

Alguém verifica as contas? :roll:

Convinha dar a expressão numa forma simplificada e elegante, em função de D e de \eta =\frac{M_L}{M_T}.

E analisem lá bem a questão curiosa: entre o centro da Terra e o centro da Lua haverá um ou mais pontos neutros? 8)
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor joao_moreira em Quarta Fev 10, 2010 11:40 pm

Fiz este cálculo numa aula de Física, mas com valores concretos. Não me recordo do valor exacto da distância, mas lembro-me que só havia um ponto, sobre a recta que unia os centros, onde o campo gravítico era exactamente 0. Não estou a ver mesmo como seria possível haver um 2º ponto onde tal se verificasse. :mock:
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor Bruno Oliveira em Quarta Fev 10, 2010 11:44 pm

Se a fórmula acima estiver certa torna-se claro que só pode haver 1 ponto neutro sobre a recta hipotética que une os centros da Terra e da Lua...

Quanto á hipótese de haver mais pontos, apesar de por intuição não me parecer possível, nunca se sabe... :P
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor jap em Quarta Fev 10, 2010 11:45 pm

Pois eu acho que há dois pontos neutros na recta que une o centro da Terra com o centro da Lua... :lol:

Ora pensem lá bem... :roll:

Any ideas? :mock:
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Fev 11, 2010 12:07 am

Fiz uma simulação muito rápida e toscamente, e deu-me de facto, 1 distância minimamente plausivel para os pontos, uma deu-me entre a Terra e a Lua (como seria de esperar!) e a outra deu-me "atrás" da Lua, ou para lá da Lua... o que me parece absurdo e nada plausivel... :roll:

Amanhã confirmo isto!

Boa noite a todos! :D
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor jap em Quinta Fev 11, 2010 12:17 am

Para trás da Lua não vale! :lol:

A busca dos pontos neutros (2) deve ser feita na linha recta que une o centro da Terra ao centro da Lua, mas penas entre o centro da terra e o centro da Lua! :mock:

Boa noite, pensem no assunto, e até amanhã! :wink:
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Fev 11, 2010 12:20 am

Sim, claro que não vale! :lol:

Era impossível verificar-se tal situação obviamente, amanhã logo se vê! :wink:
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Fev 11, 2010 12:26 am

Estive a fazer umas consultas na Wikipedia, e será que estes 2 pontos neutros estão relacionados com a Esfera de Hill? :roll:
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor joao_moreira em Quinta Fev 11, 2010 12:39 am

Não estou a ver mesmo onde fica o 2º Ponto. :( Não me ocorre nenhuma ideia, mas vou dormir sobre o assunto...
Já agora, o que é a esfera de Hill?
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Fev 11, 2010 9:31 am

Está tudo na wikipedia, :wink: , mas basicamente é uma aproximação que diz que a região que domina a atracção de satélites é esférica, e não me parece, que tenha que ver propriamente com isto... :wink:

Em contrapartida, ontem à noite só conseguia pensar em termos de relatividade, i.e., existiria apenas um ponto neutro, mas, para um extraterrestre lunar, este ponto está a uma distância x, enquanto que para um "terráqueo" este mesmo ponto está a uma distância y, maior do que x... :roll: Poderia dar a ideia de que são 2 pontos por estarem a distâncias diferentes, quando tomados relativamente à Lua ou quando tomado relativamente à Terra, mas não deve ser nada disto... :lol:
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Mensagempor RicardoCampos em Quinta Fev 11, 2010 10:01 am

Hum, agora até eu estou confundido.

Quando li isto ainda pensei no ponto do infinito :lol:, mas esse não está entre a Terra e a Lua (ainda que esteja na recta que os une :P )
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor RicardoCampos em Quinta Fev 11, 2010 10:09 am

Hum... Pensando melhor, seja F_T(d) a força que a terra exerce em nós e F_L(d) a força que a Lua exerce em nós, em função da distância d de nós ao centro da Terra (estou a considerar que nos movemos só na recta que une os centros).

Ora, se o sinal de F_T(d)-F_L(d) for negativo, estamos a ser atraídos pela Lua. Se for positivo, estamos a ser atraídos pela Terra.

Seja R_T o raio da Terra.

Ora, obviamente F_T(R_T)-F_L(R_T)>0. Mas por outro lado F_T(0)-F_L(0)= -F_L(0)<0.

Logo, pelo teorema do valor intermédio, há um ponto algures no interior da Terra onde as duas forças são iguais.

Mas pelos vistos poderíamos fazer um raciocínio semelhante para a Lua e haveria um ponto neutro dentro da Lua também, não?
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Re: Uma questão de neutralidade

Mensagempor ampat em Quinta Fev 11, 2010 10:23 am

Parece-me que temos de considerar também o movimento de rotação do sistema Terra-Lua em torno do centro de massa comum.

E como é que defines F_T(0) e F_L(0) ?
Este não é um ponto singular onde a função F_T(d) não está definida?
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