Atravessar o mondego

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Atravessar o mondego

Mensagempor jap em Domingo Dez 17, 2006 5:00 pm

Um canoista da AAC pretende atravessar o mondego na sua canoa, partindo da doca em frente ao "Restaurante Itália" :lol:

A velocidade da água do mondego é kvezes ( k > 1) a velocidade que o canoista consegue imprimir à sua canoa (em água parada).
Quando o canoista orienta a canoa de forma a minimizar o deslocamento lateral no rio (arrastamento pela corrente do mondego), consegue atravessar o rio no tempo t. Por outro lado, pode orientar a sua canoa de forma a minimizar o tempo de travessia, e neste caso demora apenas t^\prime a atravessar o mondego.

Como é que o canoista deverá orientar a canoa nos dois casos? Conseguem estabelecer uma relação entre te t^\prime? :roll:
última vez editado por jap s Domingo Dez 17, 2006 7:03 pm, editado 2 vezes no total
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Mensagempor pmp em Domingo Dez 17, 2006 6:50 pm

A resposta certa é esta? :D

\frac{t^\prime}{t}=\sqrt{1-k^2}
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Mensagempor jap em Domingo Dez 17, 2006 7:01 pm

pmp Escreveu:A resposta certa é esta? :D

\frac{t^\prime}{t}=\sqrt{1-k^2}


Pedro,

Não é essa a resposta, nem podia ser porque k >1!
Verifica as tuas contas :wink:
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Mensagempor vbmaster em Domingo Dez 17, 2006 7:50 pm

Bem, após alguns cálculos deparei-me com este resultado:

\frac{t^\prime}{t} = \frac{1}{\cos(\alpha)}

sendo o alfa o angulo segundo o qual o canoista partia contra a corrente na trajectória em que minimizava o deslocamento face à corrente, fazendo para isso uma trajectória parabólica.

Basicamente o que pensei foi numa analogia. Virei as margens da corrente de modo a ficarem paralelas aos eixo dos yy, desse modo tinhamos uma "gravidade" provocada pela corrente de vk.

Sendo assim a primeira trajectoria era um lançamento oblíquo, a segunda um lançamento horizontal.

P.S.: agora, isto devia dar um numero...para tal eu ate estou tentado a considerar alfa = 45 graus....
P.S.D.: mas se fosse o t' iria dar maior que o t... e isso não pode ser...
C.D.S.P.P: ou seja, não pode estar certo o que eu fiz....
B.E.: tenho de ver melhor isto...
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Mensagempor pmp em Domingo Dez 17, 2006 8:11 pm

Pois, não podia :D .

Cheguei a nova resposta:

\frac{t^\prime}{t}=\sqrt{1-\frac{1}{k^2}}

E a direcção para minimizar o deslocamento lateral seria:

\theta=\arccos\frac{1}{k}
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Mensagempor jap em Domingo Dez 17, 2006 9:51 pm

Certíssimo, Pedro! :D

Quando tiveres tempo detalha aqui a solução para o pessoal poder seguir o teu raciocínio... :wink:
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Mensagempor pmp em Quinta Dez 21, 2006 8:14 pm

As águas do rio contribuem apenas para o deslocamento lateral do canonística já que se deslocam paralelamente às margens do rio. Assim, para atravessar o mais rápido possível o rio, o canonísta deve imprimir uma velocidade v ao barco cuja direcção é perpendicular às margens, e o tempo de travessia do rio Mondego de largura d será:

t^\prime=\frac{d}{v}

Imagem

Se o barco se deslocar numa direcção \theta, a velocidade com que atravessa o rio será v\sin\theta e o tempo de travessia t=\frac{d}{v\sin\theta}. A velocidade com que o barco se move lateralmente é v\cos\theta - kv. E, portanto, o deslocamento lateral será d_l=\frac{(v\cos\theta - kv)d}{v\sin\theta}. Se derivarmos o d_l em ordem a \theta, e igualarmos a expressão a zero para determinar o valor de \theta que minimiza a função, obtemos:

\cos\theta=\frac{1}{k}

\theta=\arccos\frac{1}{k}

Voltando à expressão do tempo de travessia, t=\frac{d}{v\sin\theta}, como \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\frac{1}{k^2}}, então, substituindo na expressão:

t=\frac{d}{v\sqrt{1-\frac{1}{k^2}}}

Assim:

\frac{t^\prime}{t}= \sqrt{1-\frac{1}{k^2}}
última vez editado por pmp s Quinta Dez 21, 2006 9:27 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor jmgb em Quinta Dez 21, 2006 8:55 pm

Pedro, corrige o desenho! Estando calmamente sentados no Itália (no outro lado não há boas cadeiras), vemos o Mondego a correr da direita para a esquerda... ;)

Fantástica veia olímpica :) Parabéns!
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Mensagempor Zé Teixeira em Quinta Dez 21, 2006 8:58 pm

Parabéns, de facto. Boa resolução, e, acima de tudo, concisa.
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Mensagempor miguel em Quinta Dez 21, 2006 9:00 pm

a mim dá-me a impressão que estes caloiros olímpicos já sabem mais que nós veteranos do ano passado :D :D
este ano portugal vai fazer história :D
xau chineses e coreanos !!!
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Mensagempor pmp em Quinta Dez 21, 2006 9:04 pm

jmgb Escreveu:Pedro, corrige o desenho! Estando calmamente sentados no Itália (no outro lado não há boas cadeiras), vemos o Mondego a correr da direita para a esquerda... ;)

Fantástica veia olímpica :) Parabéns!


lol, também não deixas passar nada! :P
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