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Momento angular + régua = confusão

MensagemEnviado: Quarta Maio 07, 2008 9:45 pm
por RicardoCampos
Imaginemos que temos uma régua numa mesa (sem atritos), de comprimento L e massa M.

Fazemos um impulso num ponto P a uma distância d do Centro de Massa e a régua ganha movimento de rotação (à volta do CM) e translação.

O objectivo era calcular a velocidade angular.


A minha dúvida era na resolução do problema, se considerássemos como referencia o ponto P, então o torque é zero. Então o momento angular antes do impulso era igual ao depois do impulso, ou seja, igual a zero!
O momento não pode ser zero, pois o corpo está em rotação, portanto estou a fazer algo errado e não sei o quê. Podem-me ajudar?

Re: Momento angular + régua = confusão

MensagemEnviado: Quinta Maio 08, 2008 11:43 am
por jap
RicardoCampos Escreveu:Imaginemos que temos uma régua numa mesa (sem atritos), de comprimento L e massa M.

Fazemos um impulso num ponto P a uma distância d do Centro de Massa e a régua ganha movimento de rotação (à volta do CM) e translação.

O objectivo era calcular a velocidade angular.


A minha dúvida era na resolução do problema, se considerássemos como referencia o ponto P, então o torque é zero. Então o momento angular antes do impulso era igual ao depois do impulso, ou seja, igual a zero!
O momento não pode ser zero, pois o corpo está em rotação, portanto estou a fazer algo errado e não sei o quê. Podem-me ajudar?


Há um problema subtil nesse teu raciocínio... :lol:

...alguém está a ver onde está o gato? :P

Re: Momento angular + régua = confusão

MensagemEnviado: Quinta Maio 08, 2008 4:04 pm
por hexphreak
jap Escreveu:Há um problema subtil nesse teu raciocínio... :lol:

...alguém está a ver onde está o gato? :P

Talvez do ponto P vejamos o Ricardo com momento angular, devido à força de reacção exercida pela régua :roll: Não tenho a certeza, é algo confuso para mim também :?

MensagemEnviado: Quinta Maio 08, 2008 6:13 pm
por Nuno Aguiar
Ricardo, o momento pode ser 0 e o corpo estar em rotação, basta que a sua velocidade angular seja constante.

M=I*a, em que M é o momento da força, I é o momento de Inércia e a é a aceleração angular.

Fazendo M=0, então a=0 (visto que I<>0), logo dw/dt=0, o que significa que w=constante (Equilibrio dinâmico rotacional)

Nota: w designa a velocidade ou frequência angular

MensagemEnviado: Quinta Maio 08, 2008 6:23 pm
por Dynamis
Não sou especialista em Física!

Em todo o caso...

Se:
1 - a régua tem massa;
2 - a régua estava inicialmente parada;
3 - depois ganhou velocidade angular;

Então:
houve um aumento do seu momentum angular (ou quantidade de movimento angular), após a aceleração;

Pelo que:
houve aceleração angular tangencial;
houve aplicação de Força, através de um momento de torção (ou torque);

[Prefiro utilizar o termo momentum quando se fala em quantidade de movimento, e momento quando se fala em momento de uma Força ou em momento de Inércia, para não confundir, embora possam estar correctas as duas aplicações...]

Se não estou equivocado, a derivada do momentum angular em relação ao tempo é o momento de torção:

\tau=\frac{dL}{dt}

L=r.p

p=m.v

//

\tau = momento de torção (torque)
L = momentum angular
p = momentum linear
r = raio
t = tempo
m = massa
v = velocidade
F = Força

Se a aceleração obtida foi angular, é porque houve aplicação de um momento de torção. Só através de um momento de torção - ou ainda de um binário de Forças opostas em sentido em torno de um fulcro - é possível aplicar movimento rotativo a um objecto estático no seu estado inicial.

\tau =F.r

A régua tem a sua massa distribuida. Mesmo que o eixo rotativo passe pelo centro de massa, em condição de aumento da sua velocidade angular, pela conservação do momentum, o momento de inércia I de massa implica a aplicação de um momento de torção respectivo.

\tau =\alpha .I

\alpha =\frac{d\omega }{dt}

\omega =\frac{d\theta }{dt}

//

\alpha = aceleração angular
\omega = velocidade angular
\theta = ângulo
I = momento de Inércia

Esta animação está muito bem conseguida:

Imagem

Posto isto, não percebo muito bem a questão colocada. Parece-me que há uma confusão de referenciais. O ponto "p" do enunciado é um ponto de aplicação de Força em relação ao centro "c", sendo a distância entre estes dois pontos o braço do momento (raio). Só existe momento de torção se houver braço do momento. Ora, o eixo é o centro "c" e não o ponto "p".

No exemplo, se bem percebi o enunciado, a velocidade angular aumenta (houve aceleração angular), uma vez aplicada Força (ou Impulso que é F.dt ), que é o mesmo que dizer que houve aplicação de um momento de torção.

O facto de não haver torque em torno do ponto "p" (porque este é ponto de aplicação da Força e não centro da rotação) não invalida que o momentum possa ter aumentado. Talvez seja uma confusão de referenciais, ou então não fui suficientemente inteligente para compreender a questão colocada.

MensagemEnviado: Quinta Maio 08, 2008 7:15 pm
por RicardoCampos
Pois, mas considerando o ponto de referência P, parece-me que o torque é zero :?
Eu posso considerar o ponto que eu quiser.

MensagemEnviado: Quinta Maio 08, 2008 7:58 pm
por hexphreak
Nuno Aguiar Escreveu:Ricardo, o momento pode ser 0 e o corpo estar em rotação, basta que a sua velocidade angular seja constante.

M=I*a, em que M é o momento da força, I é o momento de Inércia e a é a aceleração angular.

Fazendo M=0, então a=0 (visto que I<>0), logo dw/dt=0, o que significa que w=constante (Equilibrio dinâmico rotacional)

Nota: w designa a velocidade ou frequência angular

O Ricardo estava a falar do momento angular, não do momento da força :)

Dynamis, o problema é precisamente essa questão de referenciais: é que visto do ponto P, parece não haver torque, e no entanto o momento angular varia! Temos é de encontrar o erro :lol:

MensagemEnviado: Quinta Maio 08, 2008 8:00 pm
por RicardoCampos
Subtil erro, sublinho eu! :P

Vamos lá achar a velocidade angular usando o ponto P!

MensagemEnviado: Quinta Maio 08, 2008 8:34 pm
por jap
RicardoCampos Escreveu:Subtil erro, sublinho eu! :P

Vamos lá achar a velocidade angular usando o ponto P!


Pois é subtil e tem tudo a ver com referenciais, de facto. :lol:

Imagino que o Fernando vos tenha chamado a atenção para essas subtilezas das equações do movimento do corpo rígido, quiçá sob o olhar esfomeado do lobo mau...:P

...num certo problema mítico...

... toc .. toc .. toc .. toc ..

8)

MensagemEnviado: Sexta Maio 09, 2008 2:05 pm
por RicardoCampos
Acho que não posso usar o ponto P, é esse o problema :P

MensagemEnviado: Sexta Maio 09, 2008 11:49 pm
por jap
RicardoCampos Escreveu:Acho que não posso usar o ponto P, é esse o problema :P


Podes, mas...

MensagemEnviado: Domingo Maio 11, 2008 4:08 pm
por jap
Continuamos à espera que alguém vislumbre uma boa explicação para a questão colocada pelo Ricardo :lol:

MensagemEnviado: Segunda Maio 12, 2008 11:25 am
por necromancer
Bem vou a ver se inda me recordo da cinematica do corpo rigido.

A meu ver o uso do ponto P nao e mt bom, podemos usar o ponto C.

E o momento angular (L) e igual a

L = (integral)[ (torque) *dt]

(perdao pela fraca representaçao mas nao os meus conhecimentos de informatica sao poucos)

e se dissermos que I(impulso) =F*t e se dissermos que torque = |F|*|r|*sin (teta) temos:

L = (integral)[ (r*I*sin(teta))/t) * dt)


o que nos da:

L=r*I* log t*sin(teta)


Nao sei se esta resoluçao estara correcta ou nao.

Usando o ponto P penso que da usando o teorema de eixos paralelos, penso eu, mas nao sei bem como

PS: E nao esquecendo que apenas estamos a estudar a rotaçao da regua, pois a contribuiçao da componente de velocidade de translaçao para o momento angular e nula. (Isto parece-me nao estar muito bem dito fisicamente, mas nao encontrei melhores palavras)

MensagemEnviado: Segunda Maio 12, 2008 9:09 pm
por jap
Em breve, a resposta... :P

MensagemEnviado: Segunda Maio 12, 2008 10:56 pm
por jap
Bem, então aqui vai a resposta.

A equação

\vec M_{\rm P} = \frac{d\vec L_{\rm P}}{dt}

onde \vec L_P é o momento angular do sistema em relação a um ponto P NÃO é uma equação geral se o ponto P não estiver fixo - mas há uma notável excepção: esta equação funciona sempre se o ponto P escolhido for o centro de massa (CM). :D Esta é uma grande vantagem de "trabalhar no centro de massa".

A equação acima também funciona, é claro, se o ponto P for um qualquer ponto fixo no espaço, mas essa não é a situação do ponto P do problema posto pelo Ricardo. :lol:

Em geral, e para um ponto P com um movimento arbitrário, é válida a equação

\vec M_{\rm P} = \frac{d \vec L_{\rm CM}}{dt} + \vec r_{\rm CM/P} \times \frac{d \vec P}{dt}

onde \vec P = M \vec v_{\rm CM}.

e \vec r_{\rm CM/P} significa o vector posicional do CM em relação a P.

Se aplicarem esta equação, já não há parodoxo nenhum: \vec M_{\rm P} = 0 implica apenas que

\frac{d \vec L_{\rm CM}}{dt} =  -\vec r_{\rm CM/P} \times \frac{ d \vec P}{dt} = \vec r_{\rm P/CM} \times \frac{ d \vec P}{dt}

ou, se preferirem,

\frac{d \vec L_{\rm CM}}{dt} =  \vec r_{\rm P/CM} \times \vec F = \vec M_{\rm CM} :wink: