Página 2 de 3

Re: Campo elétrico num cilindro com cavidade

MensagemEnviado: Terça Abr 22, 2014 7:42 pm
por joaofrme
Assim acho que fica bem, isto é o mais perceptível que eu consegui se tiverem alguma dúvida sobre o que eu escrevi não hesitem em perguntar:

Considerando uma superfície Gaussiana cilíndrica com o mesmo eixo do cilindro grande e de raio r:
Se o cilindro não tivesse um buraco:

Q_i_n_t=\rho\times\pi r^2 h
\oint\vec E*d\vec A=E(2\pi r h)
E(2\pi r h)=\dfrac{\rho\times\pi r^2 h}{\epsilon _ 0}\Leftrightarrow E=\dfrac{\rho r}{2\epsilon_0}

Considerando uma superfície Gaussiana cilíndrica com o mesmo eixo da cavidade e de raio \dfrac{r}{2} e que a cavidade tem a mesma densidade de carga:

Q_i_n_t=\rho\times\pi (\dfrac{r}{2})^2 h
\oint\vec E*d\vec A=E(2\pi (\dfrac{r}{2}) h)
E(2\pi (\dfrac{r}{2}) h)=\dfrac{\rho\times\pi (\dfrac{r}{2})^2 h}{\epsilon _ 0}\Leftrightarrow E=\dfrac{\rho r}{4\epsilon_0}
Para teres o campo total somas vectorialmente:

\vec E_t_o_t_a_l=\vec E_c_i_l_i_n_d_r_o+\vec E_c_a_v_i_d_a_d_e=\dfrac{\rho}{2\epsilon_0}\vec r+\dfrac{\rho }{4\epsilon_0}\vec a
\vec a tem a direção do raio da cavidade: \vec a=\vec r - \dfrac{r}{2}\hat r

\vec E_t_o_t_a_l=\dfrac{\rho}{2\epsilon_0}(\vec r -\vec r + \dfrac{r}{2}\hat r)=\dfrac{\rho}{4\epsilon_0}\vec r

EDIT: Já corrigi para o cilindro

Re: Campo elétrico num cilindro com cavidade

MensagemEnviado: Terça Abr 22, 2014 9:18 pm
por antonio_carneiro
Não estou a perceber porque é que sendo um cilindro estás a usar uma superfície gaussiana que é uma superfície esférica :s Nem porque consideraste o volume como sendo (4/3)pir^3 :s

Re: Campo elétrico num cilindro com cavidade

MensagemEnviado: Terça Abr 22, 2014 9:22 pm
por ajcoelho
joaofrme Escreveu:Assim acho que fica bem, isto é o mais perceptível que eu consegui se tiverem alguma dúvida sobre o que eu escrevi não hesitem em perguntar:

Considerando uma superfície Gaussiana cilíndrica com o mesmo eixo do cilindro grande e de raio r:
Se o cilindro não tivesse um buraco:

Q_i_n_t=\rho\times\dfrac{4}{3}\times\pi r^3
\oint\vec E*d\vec A=E(4\pi r^2)
E(4\pi r^2)=\dfrac{\rho\times\dfrac{4}{3}\times\pi r^3}{\epsilon _ 0}\Leftrightarrow E=\dfrac{\rho r}{3\epsilon_0}


Quando calculas a carga interna aqui, estás a considerar o volume de uma esfera... :s e na área tás a considerar a área da superfície esférica, quando na verdade isto é um cilindro. Ou seja, resolveste tudo como se fosse para uma cavidade existente numa esfera. Mas o raciocínio para este problema exato do cilindro deve ser análogo, penso eu...
Só uma questão: porque é que se define o vetor a? Porque é que o versor que multiplica pelo campo criado pela cavidade não é o mesmo que o do campor criado pelo cilindro?.. Era mesmo aí que deixava de perceber as soluções da Prof. Lucília

EDIT: Sorry, nao tinha visto a tua resposta, António, devia tar a escrever a minha :P

Re: Campo elétrico num cilindro com cavidade

MensagemEnviado: Terça Abr 22, 2014 9:51 pm
por joaofrme
Desculpem, é que tava a resolver outro exercício que era com uma esfera e baralhei os dois.

Re: Campo elétrico num cilindro com cavidade

MensagemEnviado: Terça Abr 22, 2014 9:52 pm
por joaofrme
Eu pus o vetor a porque me deu mais geito. Assim tinha uma simetria boa para fazer o campo da cavidade. Bastava depois mudar a variável. Mas é possível andar com o r de um lado para o outro.

Re: Campo elétrico num cilindro com cavidade

MensagemEnviado: Segunda Maio 05, 2014 6:38 pm
por duarte.magano
joaofrme Escreveu:\vec E_t_o_t_a_l=\dfrac{\rho}{4\epsilon_0}\vec r


Não acham curioso que o campo dentro da concavidade seja independente do raio da concavidade, mas dependa apenas da sua posição no cilindro?

Re: Campo elétrico num cilindro com cavidade

MensagemEnviado: Segunda Maio 05, 2014 8:53 pm
por joaofrme
Sim, mas faz um certo sentido, a cavidade não tem carga. Logo aquilo que vai influenciar a carga dentro da cavidade será o cilindro e o campo da cavidade dependerá apenas da sua posição dentro do cilindro.

Re: Campo elétrico num cilindro com cavidade

MensagemEnviado: Segunda Maio 05, 2014 9:01 pm
por duarte.magano
joaofrme Escreveu:Sim, mas faz um certo sentido, a cavidade não tem carga. Logo aquilo que vai influenciar a carga dentro da cavidade será o cilindro e o campo da cavidade dependerá apenas da sua posição dentro do cilindro.


Mas, uma cavidade maior implica um volume de cilindro carregado menor, isto é, menos carga… mas o campo não se altera.

Re: Campo elétrico num cilindro com cavidade

MensagemEnviado: Terça Maio 06, 2014 6:46 am
por ritamcosta
E essas questões não estão já compreendidas quando defines a densidade de carga...? É que eu diria que sim, daí não aparecer o raio na expressão final... Ou não?

Re: Campo elétrico num cilindro com cavidade

MensagemEnviado: Terça Maio 06, 2014 6:51 am
por ritamcosta
Não, esquece, tens razão :)

Re: Campo elétrico num cilindro com cavidade

MensagemEnviado: Terça Maio 06, 2014 4:55 pm
por joaofrme
Não, repara no coeficiente. Primeiramente eu calculei como se o cilindro estivesse cheio e o coeficiente era 1/2. Quando meto a cavidade fica 1/4. O que faz sentido, como não há carga vai decrescer mais rapidamente.

Re: Campo elétrico num cilindro com cavidade

MensagemEnviado: Terça Maio 06, 2014 5:54 pm
por duarte.magano
joaofrme Escreveu:Não, repara no coeficiente. Primeiramente eu calculei como se o cilindro estivesse cheio e o coeficiente era 1/2. Quando meto a cavidade fica 1/4. O que faz sentido, como não há carga vai decrescer mais rapidamente.


Não percebi isso. Ao longo da resolução, utilizas sempre a mesmo densidade de carga.
Em:
\vec E_t_o_t_a_l=\dfrac{\rho}{4\epsilon_0}\vec r
\rho não depende do tamanho da concavidade.
Imagina que tens um cilindro com densidade uniforme de carga. Aí, podes "escavar" uma cavidade de um tamanho qualquer de raio menor ou igual a R/4 que o campo lá dentro vai ser sempre o mesmo.

Re: Campo elétrico num cilindro com cavidade

MensagemEnviado: Terça Maio 06, 2014 9:06 pm
por joaofrme
Não nota que tens a expressão: E=\dfrac{\rho r}{2\epsilon_0} para o campo do cilindro se ele fosse cheio em que aparece um 2 no denominador e na expressão final:\vec E_t_o_t_a_l=\dfrac{\rho}{4\epsilon_0}\vec r, aparece um 4 no denominador porque o raio era 1/2 do raio inicial. O campo final depende do tamanho da cavidade.

Re: Campo elétrico num cilindro com cavidade

MensagemEnviado: Sexta Maio 09, 2014 7:32 pm
por duarte.magano
joaofrme Escreveu:Não nota que tens a expressão: E=\dfrac{\rho r}{2\epsilon_0} para o campo do cilindro se ele fosse cheio em que aparece um 2 no denominador e na expressão final:\vec E_t_o_t_a_l=\dfrac{\rho}{4\epsilon_0}\vec r, aparece um 4 no denominador porque o raio era 1/2 do raio inicial. O campo final depende do tamanho da cavidade.


Vou insistir (desculpa): o 4 que aparece no denominador vem do facto de o centro da cavidade estar a uma distância de R/2 do centro do cilindro, não de ter metade do raio. Uma cavidade mais pequena daria o mesmo resultado se estivesse localizada no mesmo sítio. Verifiquem as minhas contas, por favor..

Re: Campo elétrico num cilindro com cavidade

MensagemEnviado: Segunda Maio 12, 2014 1:29 pm
por joaofrme
Sim, já percebi e já sei o problema. Na minha resolução há um erro. A origem do vetor r/2 não é no centro do cilindro mas sim no centro da cavidade, é a mesma origem do vetor a. Ou seja, depende do sítio onde está a cavidade.