Átomo hidrogénio

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Átomo hidrogénio

Mensagempor jos_moreira em Quinta Nov 04, 2010 8:40 pm

Encontro dificuldades no seguinte problema:
Num atomo de hidrogénio a probabilidade de se encontrar um electrao na area de volume dV=4pi*r^2dr é proporcional a e^(-r/a0) onde a0 é uma constante.
Quais sao os valores médios de r e o valor mais provavel.
Nao estou certo em como chegar a nenhum dos resultados o valor médio penso que devo integrar em R (r* e^(-r/a0) dr)será isso?
Para o valor mais provavel não estou a ver o que possa fazer. Talver ver qual o valor maximo de e^(-r/a0)?
Alguem me pode ajudar?
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Re: Átomo hidrogénio

Mensagempor hexphreak em Quinta Nov 04, 2010 10:16 pm

Isto é só uma questão de probabilidades, na verdade. Tens uma função densidade de probabilidade a uma dimensão, pelo que o valor médio é dado por \displaystyle \int_0^{+\infty} r \exp \left( -{r \over a_0} \right) \mathrm{d}r, como disseste.

A questão do valor mais provável está um pouco mal colocada; tecnicamente, a probabilidade de o electrão se encontrar a uma distância qualquer r é nula, uma vez que a variável é contínua. A pergunta deveria ser, portanto, qual o r que maximiza a probabilidade de a distância do electrão* se encontrar no intervalo [r, r+\mathrm{d}r[. Uma vez que, por definição de função densidade de probabilidade, este é o valor da função em r, basta maximizares a função. No caso de uma exponencial decrescente em [0,+\infty[ isto é trivial, e obténs r=0, como seria de esperar.


* Uma questão mais interessante é se faz sequer sentido falar da distância como existindo ou estando bem definida...
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Re: Átomo hidrogénio

Mensagempor jos_moreira em Quinta Nov 04, 2010 10:23 pm

entendido obrigado pela ajuda :)
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Re: Átomo hidrogénio

Mensagempor RicardoCampos em Sexta Nov 05, 2010 11:33 am

hexphreak Escreveu:* Uma questão mais interessante é se faz sequer sentido falar da distância como existindo ou estando bem definida...


E de repente estamos a falar de Física :P
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Re: Átomo hidrogénio

Mensagempor Simbelmyne em Sexta Nov 05, 2010 9:54 pm

Não te esqueças que essa função não está normalizada.
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Re: Átomo hidrogénio

Mensagempor hexphreak em Sexta Nov 05, 2010 10:25 pm

Simbelmyne Escreveu:Não te esqueças que essa função não está normalizada.

Bem visto. Tens que multiplicar a função (e os resultados) por a_0 para o integral sobre o domínio dar 1.
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Re: Átomo hidrogénio

Mensagempor jap em Sexta Nov 05, 2010 11:02 pm

hexphreak Escreveu:Isto é só uma questão de probabilidades, na verdade. Tens uma função densidade de probabilidade a uma dimensão, pelo que o valor médio é dado por \displaystyle \int_0^{+\infty} r \exp \left( -{r \over a_0} \right) \mathrm{d}r, como disseste.

...


Hum, não será antes \displaystyle \left < r \right >= \frac{ 4\pi \int_0^{+\infty} r \exp \left( -{r \over a_0} \right) r^2\mathrm{d}r}{4\pi\int_0^{+\infty} \exp \left( -{r \over a_0} \right) r^2\mathrm{d}r} = \frac{3}{2}a_0?

BTW, o valor que maximiza a função densidade de probabilidade é

a_0 = 0.529\rm \times 10^{-10}~m,

o chamado raio de Bohr.

Vejam aqui:

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hydr.html
José António Paixão
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