Problema com orbitas

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Problema com orbitas

Mensagempor jos_moreira em Sábado Dez 12, 2009 9:13 am

Bom dia, venho aqui colocar a seguinte questão:
Um satélite de baixa altitude dá uma volta à Terra em cerca de 90 minutos. Sabendo que esse é
também o peréodo de um satélite em orbita junto à superfície da Lua, obtém uma relação entre as
densidades da Terra e da Lua.

Eu cheguei a seguinte relação usando apenas a formula pra força centripta e a lei da atração universal:
dt=densidade da terra dl=densidade da lua rt=raio da terra h= altura da orbita
dl/dt=(rt/h)^3 +3(rt/h)^2 +3rt/h +1
porem esta relação nao me parece a pretendida. Tentei entao dizer que o momento angular numa orbita é igual ao na outra(considerando orbitas circulares em que o produto vectorial se resume ao produto das normas da quantidade de movimento e do raio) porem isso resultou na afirmação que me parece absurda de que : (rt+h)^2=rl^2
gostava de obter alguma ajuda.
Agradeço desde ja.
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Re: Problema com orbitas

Mensagempor jap em Sábado Dez 12, 2009 11:34 am

jos_moreira Escreveu:Eu cheguei a seguinte relação usando apenas a formula pra força centripta e a lei da atração universal:
dt=densidade da terra dl=densidade da lua rt=raio da terra h= altura da orbita
dl/dt=(rt/h)^3 +3(rt/h)^2 +3rt/h +1
porem esta relação nao me parece a pretendida. .


É esta a ideia correcta, mas há algo errado nos teus cálculos. E tens de assumir que a altura do satélite em relação à superfície da Terra e à superfície da Lua é aproximadamente zero...por isso a altura "h" não vai aparecer no resultado...

Ora refaz os teus cálculos... :P
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Re: Problema com orbitas

Mensagempor jos_moreira em Sábado Dez 12, 2009 10:57 pm

por algum erro de raciocinio meu por certo parece me obvio que caso nao contabilize h nos calculos o resultado será 1 pois a densidade do planeta dependera apenas do periodo e da constante gravitacional(densidade=(3pi)/(T^2 x G), como a constante gravitacional é a mesma e o periodo segundo o enunciado também é as densidades serao portanto iguais e o resultado seria 1 confirmando o meu resultado anterior usando h=0.
Onde estará o meu erro? nos calculos? revi-os imensas vezes nao consigo encontrar erros, ajuda por favor
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Re: Problema com orbitas

Mensagempor jap em Domingo Dez 13, 2009 3:38 pm

Olá.

Esquece o meu comentário anterior, na realidade interpretei mal o problema numa leitura rápida - desculpa ! :oops: - porque o enunciado dá a impressão que a altura do satélite de baixa altitude em torno da Terra não entra nos cálculos, o que só verdade de certa forma...

...e a forma é esta:

a) Calcular a densidade da Lua (onde o satélite demora 90 min a dar uma volta completa a altitude h=0 em relação à superfície da Lua usando a expressão

\rho_L = \frac{3\pi}{GT^2}

one G é a constante de gravitação universal.

Dividir este valor pela densidade da Terra (assumir como dados o raio da Terra e a aceleração g da gravidade à superfície da Terra).

Neste método não usamos a altura h do satélite em torno da Terra, mas o valor conhecido da aceleração da gravidade à superfície da Terra. Mas se esta altura for dada, ou se a considerarmos como um dos dados do problema, então não precisamos de conhecer os valores de g (nem de G!) para resolver o problema pelo método que me parece que foi precisamente o que utilizaste:

b) Igualando a aceleração gravítica à altura R+h à aceleralção centrípeta vem

\frac{\rho R^3}{\left(R+h\right)^3} = \frac{3\pi}{GT^2}.

Esta expressão é válida para um satélite em torno da Terra ou da Lua, mas no caso da Lua (no exemplo dado) h =0. Assim:

\frac{\rho_T R_T^3}{\left(R_T+h\right)^3} = \frac{\rho_L R_L^3}\left(R_L+0)^3}

ou ainda,

\frac{\rho_T}{\rho_L} = \left(\frac{R_t+h}{R_T}\right)^3 = \left(1+\frac{h}{R_T}\right)^3

Podemos desenvolver a potência, como tu fizeste, ou então atendendo a que (1+x)^3 \sim 1 + 3 x quando x é pequeno, podemos escrever de forma aproximada:

\frac{\rho_T}{\rho_L} \sim 1 + 3 \frac{h}{R_T}

É claro que agora para obter um valor concreto precisamos do valor de h! :lol:
Posso, sem dúvida calcular h para que o período seja de 90 min em torno da Terra, mas para isso preciso de conhecer G e a massa da Terra, ou, em alternativa, "g", mas então estamos de volta ao método a)... :P
Ou seja, o problema devia explicitar claramente se h era um dado ou então que outros dados (G? g?) é que podem ser utilizados para resolver o problema. :wink:
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Re: Problema com orbitas

Mensagempor jos_moreira em Domingo Dez 13, 2009 9:57 pm

Entendido, obrigadissimo pela ajuda. :D
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