Força Variavel

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Força Variavel

Mensagempor jos_moreira em Terça Nov 03, 2009 10:45 pm

gostava de saber como resolver o seguinte problema: como tendo uma expressao para F(x) portanto f varialvel posso obter a expressao de x(t).
qualquer ajuda é bem vinda, caso seja necessaria a exposição do problema em causa posso faze-lo, porem parece-me que me poderão responder sem mencionar o problema em causa.
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Re: Força Variavel

Mensagempor hexphreak em Quarta Nov 04, 2009 12:04 am

É apenas aplicar a segunda lei de Newton, na verdade. A equação diferencial resultante é que pode ser mais ou menos complicada, dependendo da função. Assumindo massa constante:

\displaystyle m{d^2x \over dt^2} = F(t)

Talvez queiras postar a força em ordem ao tempo, para tentarmos resolver a equação? Dá também uma vista de olhos ao post do Zé Teixeira na secção de Técnicas matemáticas, sobre equações diferenciais.
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Re: Força Variavel

Mensagempor jos_moreira em Quarta Nov 04, 2009 2:12 pm

A força em causa é : (x(-pi)^2)/(16) se me pudessem resolver a equação diferencial para eu confirmar se o resultado que obtive está correcto seria optimo
obrigado desde ja pela resposta.
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Re: Força Variavel

Mensagempor Bruno Oliveira em Quarta Nov 04, 2009 7:34 pm

Se calhar, estou a cometer um grande erro, até porque é a primeira vez que me aventuro a integrar a sério uma expressão por via analítica, sem ser apenas primitivas abstractas...so, go easy on me, please. :P

Mas, jos_moreira, sabendo agora qual é a força em causa podemos reescrever a equação diferencial de 2ª ordem, que não é mais do que a 2ª lei de Newton:

\displaystyle m{d^2 x \over dt^2}=\,F(t) ,

na forma, e segundo entendi:

\displaystyle m\,{d^2 x \over dt^2} = {x - \pi^2 \over 16}

Creio que, a partir daqui, temos apenas de integrar ambos os membros da equação acima três vezes, em ordem ao tempo, para descobrir a nossa função incógnita, que neste caso é, x(t). Assumindo massa constante:

Primeira integração:

\displaystyle m\int\,{d^2 x \over dt^2}\,dt = \int {x - \pi^2 \over 16}\,dt

Integrando de novo:

\displaystyle m \int\,{dx \over dt}\,dt = \int {x - \pi^2 \over 16}\,t + C_1\,dt

Por fim, e após a última integração, vem finalmente:

\displaystyle x(t)= {x-\pi^2 \over 32m} t^2 + {C_1 \over m}t + {C_2 \over m}

Tenho quase a certeza que está algo mal, até porque tem ali um x na força que me está a fazer confusão, se alguém puder apontar os erros, ou, dizer que está certo, agradecia. :wink:
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Re: Força Variavel

Mensagempor jos_moreira em Quarta Nov 04, 2009 8:33 pm

está de facto algo mal, escrevi incorrectamente a expressao, esta seria x* o que resta da expressao, ou seja ((-pi)^2)/16.
de qualquer maneira obrigado pela ajuda.
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Re: Força Variavel

Mensagempor hexphreak em Quarta Nov 04, 2009 8:59 pm

Ainda mais fácil:

\displaystyle m{d^2x \over dt^2} = {\pi^2 \over 16}x \Rightarrow x(t) = Ce^{\pi t/4\sqrt m},

onde C é uma constante que depende das condições iniciais. Repara no entanto que a força que deste é dimensionalmente incorrecta, já que tem dimensão de comprimento.
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Re: Força Variavel

Mensagempor sagardipak em Quarta Nov 04, 2009 9:10 pm

Olá,

E que tal assim?

\displaystyle m\frac{d^2x(t)}{dt^2}=F(x)=\frac{(-\pi)^2}{16}x(t) \Leftrightarrow

\displaystyle \Leftrightarrow \frac{d^2x(t)}{dt^2}=\frac{(-\pi)^2}{16m}x(t)\Leftrightarrow

\displaystyle \Leftrightarrow \frac{d^2x(t)}{dt^2}=k x(t)

Repara que substitui aqueles números todos por k, para simplificar. Agora, qual é a função que derivada duas vezes dá a própria função e uma constante k a multiplicar por ela? Bem, sabemos qual é a função que derivada dá ela própria e uma constante a multiplicar, é a exponencial. Derivando a exponencial duas vezes, obtém-se a constante ao quadrado. Assim, o k desta equação é o quadrado dessa constante. Logo,

\displaystyle x(t)=e^{\sqrt{k}t} com k=\frac{\pi^2}{16m}

Claro que com cada derivação perdemos uma constante arbitrária, pelo que uma expressão mais correcta seria:

\displaystyle x(t)=C_1e^{\sqrt{k}t}

Edit: Tal como o Sr. Eng.º disse :P
Nature and nature's laws lay hid in night;
God said "Let Newton be" and all was light.

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Re: Força Variavel

Mensagempor jos_moreira em Quinta Nov 05, 2009 9:41 pm

Penso que quanto ao facto de a força em causa ser dimensionalmente uma distância, se pode argumentar em favor de quem concebeu o ex. que (1/16)*Pi^2 corresponder ao "k" da expresão da lei de hook não sendo assim adimensional mas tendo como unidades kg/s^2 dando assim coerencia dimensional a expressão. Estou certo?
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Re: Força Variavel

Mensagempor hexphreak em Quinta Nov 05, 2009 10:51 pm

Sim, estás certo. Eu prefiro especificar uma variável dimensional para conter o valor, é mais fácil de verificar se o resultado está dimensionalmente correcto.
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Re: Força Variavel

Mensagempor jos_moreira em Quinta Nov 05, 2009 11:07 pm

surgiu me uma duvida: quando eu dei a expressao errada para a força integrou a expressao considerando x como sendo uma constante, no entanto nao usou o mesmo procedimento quando eu dei a nova expressao para a força, gostava de perceber porque assim foi se me pudesse explicar. Obrigado desde ja.
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Re: Força Variavel

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Nov 05, 2009 11:27 pm

Isso creio que foi um erro da minha parte! :oops:
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Re: Força Variavel

Mensagempor jos_moreira em Sexta Nov 06, 2009 10:35 am

hoje na aula de mecanica o professor em resposta á minha duvida á questão que coloquei apresentou como solução para a equação diferencial apresentada o seguinte resultado: x= A cos(Wt+C) parece me que esta também é uma solução daquea mesma eqação diferencial estou correcto? no entanto quando ele pede x(t) posso dar a função logaritmica que também esta correcto?
Obrigado pela ajuda.
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Re: Força Variavel

Mensagempor hexphreak em Sexta Nov 06, 2009 12:31 pm

Parece-me que te enganaste a escrever a equação diferencial, nesse caso. A solução que o teu professor apresentou está de facto correcta se o menos estiver fora do quadrado. Mas as duas soluções não são de todo equivalentes, a menos que o k seja negativo, caso em que surge uma exponencial complexa, que é uma sinusóide.
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Re: Força Variavel

Mensagempor jos_moreira em Sexta Nov 06, 2009 2:13 pm

o menos esta de facto fora do quadrado seria possivel potarem a integração da drivada de segundo grau passo a passo sff? até chegar ao resultado x=acos(Wt+C)?? (p.s. caso o k seja negativo as duas soluções sao entao equivalentes?)
obrigado
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Re: Força Variavel

Mensagempor hexphreak em Sexta Nov 06, 2009 8:30 pm

A equação não se resolve por integração, na verdade. O método geral para resolver ODEs homogéneas de grau 2 é simplesmente enfiar lá uma exponencial com duas constantes que dependem das condições iniciais (no contexto do problema, a fase e a amplitude). Para k negativo, vem uma exponencial com argumento imaginário, ou seja, uma sinusóide, cuja parte real é a solução do teu professor.

A forma mais fácil de ver a solução é mesmo sabendo qual a função que derivada duas vezes dá ela própria com o sinal trocado, que é o seno ou o co-seno. Não há grandes passos a explicar...
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