Exercício 1 b) da olimpíada regional de 2007

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Exercício 1 b) da olimpíada regional de 2007

Mensagempor robespierre em Terça Jan 20, 2009 11:34 pm

Os cientistas da ST (planeta) planeiam uma sonda espacial para explorar regiões fora do seu campo gravitacional. Como eles sabem que a energia potencial de interacção no campo gravitacional é Ep=-(GMm)/r , qual será o valor mínimo da velocidade de lançamento que deverão comunicar à sonda?

Resolução oficial:

A partir da conservação da energia mecânica:

1/2mv^2 - (GmM)/R=0

Substituindo pelos dados depois calcula-se v.


Ora, apesar de se conservar a energia mecânica, ela não é igual a zero.
Será igual a zero a sua variação.
Assim, não compreendo a sua solução. :(
Alguém me pode ajudar?

P.S.:porque consideramos a energia potencial com o sinal menos atrás?
P.P.S: a seguir de v, lê-se 2 mas deve-se ler ao quadrado...
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Re: Exercício 1 b) da olimpíada regional de 2007

Mensagempor jap em Terça Jan 20, 2009 11:50 pm

A energia potencial de um corpo de massa m à distância R do centro de um planeta de massa M (supondo que R é maior do que o raio do planeta) é de facto dada pela expressão

E_p = -G\frac{mM}{R}

usando a convenção de a energia potencial do corpo ser nula a uma distância muito grande (infinita) do planeta.

Isto pode parecer estranho mas repara que a energia potencial dada por aquela expressão comporta-se como seria de esperar, isto é, aumenta à medida que o corpo se afasta do planeta.

De facto, a expressão que estás habituado para a energia potencial gravítica, mgh, é uma aproximação válida apenas para distâncias h pouco superiores à do raio do planeta. Além disso, neste caso, escolhe-se para zero da energia potencial o nível em que o corpo está exactamente à superfície do planeta.

Será que algum quarkiano consegue demonstar ao incrédulo João que as duas expressões

E_p = -G\frac{mM}{R}

e

E_p = mgh

são, de facto, perfeitamente compatíveis (embora não pareça assim, à primeira vista?) :P
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Re: Exercício 1 b) da olimpíada regional de 2007

Mensagempor robespierre em Terça Jan 20, 2009 11:57 pm

De facto, elas fazem-me um pouco de confusão...

Eu acho que a energia potencial é obtida fazendo:

F=(GMm)/R2

Ep=F x D= ((GMm)/R2) x R = (GMm)/R

Assim, a energia potencial diminui com o R, pois a força vai sendo cada vez menor...o que faz sentido! :D

Acho que também percebo:

Ep=mgh

Assim, exercendo-se uma força durante uma distãncia maior, a energia correspondente também aumentaria.

Estou de facto com dificuldades! :wall:
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Re: Exercício 1 b) da olimpíada regional de 2007

Mensagempor Ângela Guerra em Quarta Jan 21, 2009 3:21 pm

robespierre Escreveu:Assim, a energia potencial diminui com o R,

Não, a energia potencial aumenta à medida que aumenta R, porque a energia potencial é sempre negativa, excepto no infinito...
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Re: Exercício 1 b) da olimpíada regional de 2007

Mensagempor Ângela Guerra em Quarta Jan 21, 2009 3:30 pm

robespierre Escreveu:A partir da conservação da energia mecânica:

1/2mv^2 - (GmM)/R=0


Vou tentar explicar-te:
Como os campos gravíticos têm um alcance infinito, para que a sonda saia do alcance do campo gravítico tem de chegar aí mesmo, ao infinito. Como o prof. jap te disse, a energia potencial no infinito é 0. Além disso, queremos calcular a velocidade mínima de lançamento, logo, como a energia cinética vai diminuir com o afastamento da sonda, o mínimo de energia cinética que queremos que a sonda tenha no infinito é 0J (v=0m/s). Assim, se a energia mecânica se mantém, a soma da Energia cinética e da energia potencial no infinito, 0J, terá de ser igual à soma delas no local de lançamento.
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Re: Exercício 1 b) da olimpíada regional de 2007

Mensagempor Ângela Guerra em Quarta Jan 21, 2009 3:37 pm

Para continuar a postar às pinguinhas:
Se me dessem esta justificação eu sentia-me insatisfeita, mas E_{p}=mgh é uma boa aproximação para casos em que a distância ao centro do campo gravítico é pequena, porque podemos considerar que g, nessa zona, é constante, o que tu sabes que não é verdade...
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Re: Exercício 1 b) da olimpíada regional de 2007

Mensagempor RicardoCampos em Quarta Jan 21, 2009 4:20 pm

jap Escreveu:Será que algum quarkiano consegue demonstar ao incrédulo João que as duas expressões

E_p = -G\frac{mM}{R}

e

E_p = mgh

são, de facto, perfeitamente compatíveis (embora não pareça assim, à primeira vista?) :P


Sim, é à partida uma fórmula pouco intuitiva, mas corresponde bem aquilo que conhecemos.

\Delta E_p = -G\frac{mM}{R}+G\frac{mM}{R+h} = -GMm (\frac{1}{R+h} - \frac{1}{R}) = GMm \frac{h}{R(R+h)} = \frac{GM}{R^2}mh = mgh

A aproximação foi R+h = R

Agora a tua questão pode ser de onde surgiu a fórmula, mas se a derivares em ordem a R, ficas com uma coisa simpática conhecida ;)
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Re: Exercício 1 b) da olimpíada regional de 2007

Mensagempor andrev em Quarta Jan 21, 2009 4:35 pm

Acho que uma forma de entender (não sei se está correcta mas pelo menos foi assim que fiz o exercicio) é pensar \frac{1}{2}m$v^2$ é a energia necessária para "sair do campo" e que -G\frac{mM}{R} é a energia que nao deixa a sonda sair do campo, logo para a sonda sair do campo a energia necessária tem de ser pelo menos igual á que o prende no campo, daí a diferença ser igual a 0, a energia mecãnica ser 0 (energia cinética compensa a gravítica).
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Re: Exercício 1 b) da olimpíada regional de 2007

Mensagempor AlexandreH em Quarta Jan 21, 2009 11:38 pm

A diferença de energia potencial entre os 2 pontos: -GmM [ 1/R+r - 1/R]

1/R+h = 1/R(1+x) tome x = h/R
x<<1 Bernoulli : (1+x)^-1 = 1-x = aproximaçao ou acoxambramento :D

logo 1/R+h = 1/R - h/R^2 g=GM/R^2

deltaU= mgh :)
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Re: Exercício 1 b) da olimpíada regional de 2007

Mensagempor jap em Quinta Jan 22, 2009 10:47 am

AlexandreH Escreveu:A diferença de energia potencial entre os 2 pontos: -GmM [ 1/R+r - 1/R]

1/R+h = 1/R(1+x) tome x = h/R
x<<1 Bernoulli : (1+x)^-1 = 1-x = aproximaçao ou acoxambramento :D

logo 1/R+h = 1/R - h/R^2 g=GM/R^2

deltaU= mgh :)



Acoxambramento! :D

Genial! :wink:
Esta tem de ir para o glossário quarkónico! :D
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Re: Exercício 1 b) da olimpíada regional de 2007

Mensagempor robespierre em Quinta Jan 22, 2009 7:48 pm

Agradeço a vossa colaboração.

Vou tentar explicar-te:
Como os campos gravíticos têm um alcance infinito, para que a sonda saia do alcance do campo gravítico tem de chegar aí mesmo, ao infinito. Como o prof. jap te disse, a energia potencial no infinito é 0. Além disso, queremos calcular a velocidade mínima de lançamento, logo, como a energia cinética vai diminuir com o afastamento da sonda, o mínimo de energia cinética que queremos que a sonda tenha no infinito é 0J (). Assim, se a energia mecânica se mantém, a soma da Energia cinética e da energia potencial no infinito, 0J, terá de ser igual à soma delas no local de lançamento.


Assumindo que Ep=-(GMm)/r , compreendi o problema :D


Relativamente à energia potencial:

O Ricardo explicou bem a equivalência das expressões :P

Se me dessem esta justificação eu sentia-me insatisfeita, mas é uma boa aproximação para casos em que a distância ao centro do campo gravítico é pequena, porque podemos considerar que g, nessa zona, é constante, o que tu sabes que não é verdade...


Ora, a expressão Ep=-(GMm)/r já traduz a variação de g, sendo por isso a mais indicada para longas distâncias certo?


Intuitivamente, sempre identifiquei a energia potencial gravítica a grandes alturas maior do que a pequenas para o mesmo corpo (deixando cair o mesmo corpo de alturas sucessivamente maiores ele cai com cada vez maior velocidade).
Será para isso que serve o sinal - ? Para satisfazer a intuição?
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Re: Exercício 1 b) da olimpíada regional de 2007

Mensagempor Ângela Guerra em Quinta Jan 22, 2009 8:07 pm

robespierre Escreveu:Ora, a expressão E_{p}=-\frac{GMm}{r} já traduz a variação de g, sendo por isso a mais indicada para longas distâncias certo?


Intuitivamente, sempre identifiquei a energia potencial gravítica a grandes alturas maior do que a pequenas para o mesmo corpo (deixando cair o mesmo corpo de alturas sucessivamente maiores ele cai com cada vez maior velocidade).
Será para isso que serve o sinal - ? Para satisfazer a intuição?


Acho que sim para as três perguntas...
Físico - quer saber como tudo funciona. Inventa o que for preciso para investigar novos fenómenos. Parte a cabeça a tentar compreender coisas que ainda ninguém percebeu. Tem grande dificuldade em interessar os amigos (que não são físicos) naquilo que faz.
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