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Afasta-te de mim, projéctil!

MensagemEnviado: Quinta Nov 30, 2006 8:29 pm
por jap
Bom, como o Diogo só envia problema de classe tricky++ :? , resolvi enviar um de classe tricky--, ou seja, é tricky, mas não é difícil..:lol: Está ao alcance de todos, mesmo dos caloiros (sem desprimor!) :P

Aqui vai ele.

Quando se lança um projéctil com um ângulo próximo da vertical, há uma parte do trajecto em que o projéctil se afasta de nós, para, de seguida, começar a aproximar-se de nós. Se o lançarmos a 90º, vai até cair-nos na cabeça :shock: !

Bom, mas agora o que acontece se lançarmos um projéctil com um ângulo pequeno, por exemplo, 30º? Poderão verificar que o projéctil afasta-se continuamente de nós, ou seja, se medirmos a distância entre o ponto de lançamento e o móvel, esta distância aumenta sempre com o tempo.

Ora aqui está a questão curiosa: qual é o ângulo máximo com que posso lançar um projéctil se quiser que ele se afaste sempre de nós?

Quem disse que os problemas de projécteis eram todos trivia?

Se quiserem ter uma ideia do que se passa antes de procurarem resolver analiticamente este problema, usem esta simulação de lançamento de projécteis em java que deverá correr no vosso browser:

http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/ProjectileMotion/enapplet.html

MensagemEnviado: Sexta Dez 01, 2006 12:07 am
por vbmaster
Valor obtido, por maneira analítica com recurso à calculadora no final por calanzisse matemática:

O ângulo tem de ser menor que 75.522488 para afastar-se sempre de nós.

Se estiver certo explico depois.

MensagemEnviado: Sexta Dez 01, 2006 12:16 am
por jap
vbmaster Escreveu:Valor obtido, por maneira analítica com recurso à calculadora no final por calanzisse matemática:

O ângulo tem de ser menor que 75.522488 para afastar-se sempre de nós.

Se estiver certo explico depois.


Miguel, o ângulo que encontraste não é o correcto. :cry:
O valor correcto é 70,53º.

MensagemEnviado: Sexta Dez 01, 2006 12:17 am
por vbmaster
Eu sou Miguel.... :P

Bem, vou ver o que posso ter errado... a teoria que usei pode também não estar muito certa...

MensagemEnviado: Sexta Dez 01, 2006 12:18 am
por jap
vbmaster Escreveu:Eu sou Miguel.... :P

Bem, vou ver o que posso ter errado... a teoria que usei pode também não estar muito certa...


Oops, já corrigi, sorry Miguel :oops:

MensagemEnviado: Sexta Dez 01, 2006 8:27 pm
por Joao Guerreiro
Eu fiz desta maneira:

Primeiro, as equações do movimento:

x=v_0cos(\alpha)t e y=v_0sen(\alpha)t-\frac{gt^2}{2}

Para o projectil estar sempre a afastar então r(t) é crescente logo r^2(t) também é crescente.

Ora r^2(t)=(v_0cos(\alpha)t)^2+(v_0sen(\alpha)t-\frac{gt^2}{2})^2=\frac{(gt)^2}{4}-sen(\alpha)gt^3+t^2

Derivando obtemos:

g^2t^3-3v_0sen(\alpha)gt^2+2v_0^2t

Para r^2(t) ser crescente então g^2t^3-3v_0sen(\alpha)gt^2+2v_0^2t>=0

Como t>=0 então g^2t^2-3v_0sen(\alpha)gt+2v_0^2>=0

O mínimo desta parábola é para t=\frac{3v_0sen(\alpha)}{2g}

Subtitutindo t pelo mínimo obtemos \frac{8}{9}=<sen(\alpha) ou seja \alpha=<70.53º

MensagemEnviado: Sexta Dez 01, 2006 9:18 pm
por jap
João,

A ideia geral está correcta -parabéns :D , mas as tuas equações não estão dimensionalmente correctas :cry: :

por exemplo

x = \cos(\alpha)t

tem a dimensão de um comprimento do lado esquerdo da equação e a dimensão do tempo do lado direito. Falta-te considerar a velocidade inicial!

Assim.

x = v_0\cos(\alpha)t

já estaria bem.

Queres corrigir o teu post? Podes fazer "edit". :wink:

E já agora, alguém conseguiu encontrar a solução de uma forma alternativa, quiçás mais elegante ou mais "física"? Há, pelo menos uma forma "bem" diferente de chegar ao mesmo resultado... :roll:, embora a maneira como o João atacou o problema também esteja muito bem :wink:

MensagemEnviado: Sábado Dez 09, 2006 2:51 pm
por Andre França
Bem, da forma que fiz (não sei se era desta que o professor estava a falar) basta ver que consoante a velocidade do projéctil, fará um certo ângulo com o vector posição... E quando está a afastar-se, o coseno deste ângulo será positivo, ao contrário de quando está a aproximar-se.
Desta forma, basta fazer o produto interno, e pela definição

\frac{\vec {r}.\vec {v}}{|r||v|} = cos(\alpha)
como o produto dos módulos será positivo, basta-nos certificar que o produto interno é positivo, levando-nos à expressão já calculada pelo guerreiro:

g^2t^3-3v_0sen(\alpha)gt^2+2v_0^2t > 0

MensagemEnviado: Domingo Dez 10, 2006 3:56 pm
por jap
André,

Era esse mesmo o racicício que eu tinha em mente! :D
Enquanto o ângulo entre o vector posição e o vector velocidade for menor que 90º, o projéctil está sempre a afastar-se de nós... :wink:

MensagemEnviado: Sexta Jan 19, 2007 11:04 pm
por dArkbiO
Inicialmente pensei nas derivadas, tb - o a derivada da nomra da posição teria de ser positiva para a norma ser crescente. Como dava um bocado de trabalho, depois pensei de maneira bem diferente. Lembrei-me que se o projéctil se está sempre a afastar de nós, então o alcance máximo tem de ser maior do que a norma do vector posição na altura máxima, ou seja,
x_{max} > \sqrt{\frac{x^2_{max}}{4}+h^2_{max}}
Tendo em conta as leis do movimento, facilmente se encontra que
x_{max} = \frac{2v^2_0 \sin \theta \cos \theta}{g}\\
h_{max} = \frac{v^2_0 \sin^2 \theta}{2g}
Elevando a inequação inicial ao quadrado, pondo xmax num membro e hmax noutro e concretizando, temos
\frac{3\times 4v^4_0 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}{4g^2} > \frac{v^4_0 \sin^4 \theta}{4g^2} \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow 12\cos^2 \theta > sin^2 \theta \\
\Leftrightarrow \tan^2 \theta <12\\
\Leftrightarrow \theta < 85.2^\circ

No entanto, de facto, fazendo pela derivada, o resultado deu-m 70.5 graus. Isto significa que para ângulos entre 70.5 e 85.2 a altura é suficiente grande para, mesmo diminuindo a distância entre nós e o projéctil, o alcance ser maior que a distância a nós ni pico. Mt interessante...

MensagemEnviado: Sexta Jan 19, 2007 11:16 pm
por jap
dArkbiO Escreveu:(...)
No entanto, de facto, fazendo pela derivada, o resultado deu-m 70.5 graus. Isto significa que para ângulos entre 70.5 e 85.2 a altura é suficiente grande para, mesmo diminuindo a distância entre nós e o projéctil, o alcance ser maior que a distância a nós ni pico. Mt interessante...


Pois, é de facto interessante... :roll: