Oscilação de dipolos

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Oscilação de dipolos

Mensagempor Real em Terça Nov 28, 2006 8:13 pm

Este é um desafio que coloquei ao Flávio, mas deixo-o aqui no fórum, no caso de haver outros interessados :wink:. O problema é sobre dipolos eléctricos, por isso é mais direccionado aos veteranos... No entanto, é óbvio que toda a participação é benvinda! :wink:

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Dois dipolos iguais de momento dipolar \vec{p} e distanciados de L encontram-se fixos no plano da folha e cada um pode rodar em torno do seu ponto médio.

Imagem

a) Determina os pontos de equilíbrio estável e instável do sistema.
Nota: os pontos de inflexão do potencial são considerados pontos de equilíbrio metaestável!

Dica: o potencial de um dipolo é dado por \phi(r,\theta) = \frac{\vec{p}.\vec{r}}{4\pi\epsilon_0 r^3}

b) Calcula a energia electrostática de interacção entre os dipolos, considerando apenas pequenas rotações dos dipolos em relação ao ponto de equilíbrio.

c) Se I é o momento de inércia de cada dipolo em relação ao seu centro, mostra que as frequências próprias do sistema (para pequenas oscilações) são:

\omega_1^2 = \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 I L^3}

\omega_2^2= 3\omega_1^2
Diogo Fernandes
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Mensagempor Real em Segunda Dez 04, 2006 4:29 pm

Parece que não há muita gente interessada em mergulhar nos dipolos eléctricos :roll:
Este na verdade não é bem um problema "tricky".. Está mais próximo de um simples exercício de electromagnetismo!
Postei-o aqui porque achei interessante a mistura do campo eléctrico com osciladores acoplados! Este tipo de osciladores tem bastante piada! Um dia mostro as minhas aventuras com o pêndulo duplo nas IPhO 2005 (o quanto chateei a cabeça do Prof. Nogueira e do Prof. Paixão para obter dicas para resolver o problema :lol: bons tempos! :wink: ) e aproveito para postar outros tipos de osciladores acoplados!! :wink:
Vou ver se faço isso um dia destes e entretanto, se ninguém resolver este "exercício" posto a resolução sábado as 16h18 :D
Diogo Fernandes
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Mensagempor jmgb em Segunda Dez 11, 2006 3:38 am

Vou ver se faço isso um dia destes e entretanto, se ninguém resolver este "exercício" posto a resolução sábado as 16h18


Foste manhoso... Não disseste a qual Sábado te referias... :P


Abraço.
João Gama
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Mensagempor Real em Quinta Dez 14, 2006 10:54 pm

Para ser sincero, referia-me ao sábado passado, mas resolvi esperar mais um tempo a ver se havia feedback :P
Então aqui vai a resolução:

Um dipolo eléctrico é um conjunto de duas cargas simétricas de carga q separadas de uma distância \ell. Admitindo que as condições são tais que essa distância é fixa, o dipolo cria um campo eléctrico, apesar de o conjunto ter carga total nula! Define-se então o momento dipolar: \vec{p}=q\vec{\ell}, em que \vec{\ell} é um vector de norma \ell e que aponta da carga negativa para a carga positiva.

Imagem

Na figura estão representadas as linhas equipotenciais e o campo eléctrico.

Neste problema, temos de considerar a interacção entre dois dipolos.

Por definição, num ponto de equilíbrio a força resultante é nula. Assim sendo, sabendo que a força eléctrica é uma força conservativa, temos que:

\vec{F}=-\frac{dU}{d\vec{r}}

Então para encontrar os pontos de equilíbrio temos de procurar os máximos, os mínimos e os pontos de inflexão da energia potencial (U).

Não é muito difícil de encontrar estes pontos! Basta pensar um pouco "à físico" ;)
Para simplificar o português :wink: , vou considerar que o momento dipolar do dipolo da esquerda é \vec{p}_1 e o momento do da direita é \vec{p}_2.
Reparem na situação em que \theta_1=\theta_2=\pi/2. A seta do vector \vec{p}_1 (carga positiva) está próxima da cauda do vector \vec{p}_2 (carga negativa)! Existe atracção! (analogamente para \theta_1=\theta_2=-\pi/2).
Comparem agora com o caso -\theta_1=\theta_2=\pi/2. Agora ambas as caudas dos vectores (cargas negativas) estão próximas! Então existe repulsão entre as cargas! (analogamente para -\theta_1=\theta_2=-\pi/2: as setas estão próximas).
O que acontece se dermos um "piparote" num dos dipolos?
Bem, no primeiro caso, como existe atracção entre as cargas os dipolos irão oscilar até retomarem a sua posição inicial, pois é uma posição favorável (energia potencial mínima).
No segundo caso, como existe repulsão entre as cargas, os dipolos irão afastar-se irremediavelmente, pois eles encontravam-se numa posição desfavorável! (energia potencial máxima)
Conclusão: os primeiros dois pontos correspondem a equilíbrio estável e os dois últimos a equilíbrio instável!

As mesmas conclusões podem ser obtidas analiticamente:

1) Calcular o campo eléctrico produzido por um dipolo: \vec{E}=-\nabla\phi

\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{3(\vec{p}.\vec{r})\vec{r}-r^2\vec{p}}{r^5}

2) Calcular a energia potencial de interacção entre os dipolos: U=-\vec{p}.\vec{E}

Considerando o efeito do campo eléctrico originado pelo dipolo 2 no dipolo 1:

U=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0r^3}(3(\vec{p}_1.\vec{e}_r)(\vec{p}_2.\vec{e}_r)-\vec{p}_1.\vec{p}_2)

Sendo \vec{r} um vector que ponta do centro do dipolo 2 para o centro do dipolo 1 e \vec{e}_r o seu versor.
Como sabemos os ângulos entre os vectores dos dipolos e o eixo vertical, podemos simplificar a expressão:

U=\frac{p_1p_2}{4\pi\epsilon_0r^3}(cos(\theta_1-\theta_2)-3\sin\theta_1 sin\theta_2)

3) Agora, basta achar os pontos críticos da função: derivar e igualar a 0. Temos de tomar também atenção à segunda derivada para distinguir os pontos de máximo e mínimo. Sugiro que verifiquem os resultados como exercício (se alguém tiver paciência :wink:).


Vamos prosseguir agora para o cálculo das frequências de oscilação.
Como temos de considerar pequenas oscilações em torno de um ponto de equilíbrio, sugiro a seguinte mudança de variável:

\alpha_1=\theta_1+\pi/2 e \alpha_2=\theta_2+\pi_2

Assim, \alpha é o ângulo que cada dipolo faz com o eixo horizontal. Se estamos no limite das pequenas oscilações, então temos que \alpha << 1.
Substituindo as relações na expressão de U vem:

U=\frac{p_1p_2}{4\pi\epsilon_0r^3}(cos(\alpha_1-\alpha_2)-3\cos\alpha_1 cos\alpha_2)

No limite das pequenas oscilações, temos que:

cos \alpha \approx 1-\alpha^2/2 (caloiros tentem provar isto)

Sabemos também que os dipolos são iguais (p_1=p_2=p).
Substituindo e simplificando:

U \approx \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0r^3}(-2 + \alpha_1^2 +\alpha_2^2 + \alpha_1\alpha_2)

Para cada dipolo temos a seguinte relação para o momento da força:

M=I\ddot{\alpha}

Mas também sabemos que:

M=-\frac{dU}{d\alpha}

Então é só calcular!

M_1=-\frac{dU}{d\alpha_1}=-\frac{p^2}{4\pi\epsilon_0r^3}(2\alpha_1+\alpha_2)=-U_0(2\alpha_1+\alpha_2)

E para o dipolo 2:

M_2=-U_0(2\alpha_2+\alpha_1)

Obtendo-se:

\left\{ 
\begin{array}{l l}
  \ddot \alpha_1 = -\frac{U_0}{I} (2\alpha_1+\alpha_2)\\
  \ddot \alpha_2 = -\frac{U_0}{I} (2\alpha_2+\alpha_1)\\ \end{array} \right.

Somando e subtraindo as equações vem, finalmente (!):

\left\{ 
\begin{array}{l l}
  \frac{d^2(\alpha_1+\alpha_2)}{dt^2} = -\frac{3U_0}{I} (\alpha_1+\alpha_2)\\
  \frac{d^2(\alpha_1-\alpha_2)}{dt^2} = -\frac{U_0}{I} (\alpha_1-\alpha_2)\\ \end{array} \right.

É fácil agora de ver as frequências dos modos:

\omega_+^2=\frac{3U_0}{I}
\omega_-^2=\frac{U_0}{I}

UFFF!!
Não tinha resolvido o problema quando o publiquei! Pensava que seria mais fácil!!
Na verdade pensei que fosse classe tricky +, mas afinal parece ser tricky +\infty!! :X

A piada do problema é observar directamente a influência mútua dos dipolos na equação do movimento. Se repararem bem, há um termo no potencial (\alpha_1\alpha_2) que faz com que isto aconteça.

Do ponto de vista matemático o problema é um pouco intratável a nível de caloiros universitários, portanto para os caloiros olímpicos deve ser chinês :X Sinceramente, não estava a espera desta complicação toda!! O único aspecto interessante matemático é o primeiro sistema de equações do movimento: na equação para \ddot \alpha_1 aparece \alpha_2 e vice-versa. Normalmente para nos desfazermos deste problema somam-se e subtraem-se as equações, tal como fiz!

Vou ver se publico na secção da matemática um post sobre osciladores acoplados, mas, desta vez, com casos (mesmo) SIMPLES! :wink:
Prometo que não faço uma destas outra vez :twisted:
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Mensagempor jap em Quinta Dez 14, 2006 11:01 pm

Obrigado, Diogo!

O problema é muito interessante, sobre vários aspectos:D. Retornarei a ele mais tarde :wink:
José António Paixão
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